martes, 16 de diciembre de 2014

PERFIL DEL PROCESAMIENTO

Cuando se marca un objetivo se tiene que trabajar hasta que se consigue. El procesamiento es el esfuerzo que hay que hacer hasta lograr el fruto. El procesamiento tienen sus fases.  Hay que ir corrigiendo y madurando hasta llegar al producto final. Para conseguirlo hay responder a la pregunta de: ¿cómo funciona? El problema es que siempre que queramos conseguir algo hay que evitar hacer un gran esfuerzo, para llegar a una producción adecuada hay que ver como mecanizar el procesamiento.

lunes, 15 de diciembre de 2014

El cuadrado del binomio

Tanto el cuadrado de la suma como el de la resta son dos clásicos del álgebra necesarios para desarrollar muchos cálculos algebraicos que surgen en la resolución de ecuaciones y sistemas. En sistemas no lineales como es el caso de:
x+2y=5
x2+y2=5

Se despeja x, se sustituye en el cuadrado y sale el cuadrado de la resta:
x=5-2y
(5-2y)2+y2=5

Siempre se puede hacer el cuadrado multiplicando (5-2y)(5-2y), sin embargo nos apoyamos en la fórmula genérica:
(a-b)2=a2-2ab+b2  

Se tienen entonces:
(5-2y)2=25-20y+4y2

Con lo que queda:
25-20y+4y2+y2=5
5y2-20y+20=0
......................

Muchos alumnos se olvidan del término central y ponen:
(5-2y)2=25-4y2

Cometiendo el típico error en el desarrollo y ya les va mal.


martes, 9 de diciembre de 2014

PERFIL DE LA CONCEPTUALIZACIÓN

Después de la experimentación viene la síntesis, hay que estructurar el conocimiento alcanzado y establecer los conceptos de fondo que permiten resolver el problema. Se hacen paralelismos. La pregunta clave es: ¿cuál es el sentido? Aun así la estructura o idea necesita convertirse en logro, por lo que se pasa a la fase de procesamiento.

lunes, 8 de diciembre de 2014

PERFIL DE LA EXPERIMENTACIÓN

Para resolver un problema tenemos que contar con experiencia previa sobre el tema. Lo primero es recurrir a la memoria de algo que ya hemos experimentado anteriormente. Si estamos en una situación completamente nueva hay que experimentar con algo. La pregunta que hacemos es: ¿ésto que significa? Normalmente utilizamos cosas sencillas que ya dominamos y, poco a poco, vamos razonando en una dirección que nos lleva a la solución. Suele ocurrir que el razonamiento que surge para encontrar la solución se hace muy extenso y hay que intentar resumirlo.

domingo, 7 de diciembre de 2014

PERFIL DE LA MOTIVACIÓN

La motivación debe de contener un situación de aprendizaje real, donde el alumno encuentra una utilidad en lo que tiene que aprender. Debe de responder a la pregunta de: ¿para que sirve?
Debe de contener elementos que ayuden a orientar la forma de encontrar la solución al problema que se plantea. En este apartado se resalta la importancia de utilizar las matemáticas. Evidentemente identificar un problema, por muy importante que sea, no implica solucionarlo, de ahí que sea necesaria la siguiente etapa, la experimentación.

miércoles, 3 de diciembre de 2014

UNIDAD DIDÁCTICA: SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

MOTIVACIÓN:
Toda empresa tiene que saber cuál es la cifra de ventas anuales que debe de tener para nivelar gastos y a partir de ahí empezar a tener beneficios. A esta cantidad se le conoce como "punto de equilibrio".

Supongamos que una empresa tiene unos costos fijos en fabricar un determinado producto anualmente de 500 euros (estos costos son por tener la fábrica abierta). Si cada producto que fabrica cuesta 3 euros y fabrica x productos, tiene un costo variable de 3x euros. El coste total y es la suma del coste fijo más el variable:
y=500+3x
Ahora supongamos que los x productos los vende a 4 euros cada uno, los ingresos son 4x. Como queremos averiguar cuándo los ingresos son coincidentes con los costes de fabricación:
y=4x
Por lo tanto tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. El resultado de x es el número de productos que debe vender, e y el coste total de fabricación de esos x productos que es igual al ingreso por la venta de esos x productos. En ese momento la fabrica no pierde ni gana nada, pero sabe a partir de qué cantidad de productos o gasto, empieza a ganar dinero.

El inconveniente está en que hay que tener una forma de resolver un sistema.

ACTIVIDAD: Imaginar ejemplos de empresas que tienen que buscar el punto de equilibrio planteando sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

EXPERIMENTACIÓN:
Para resolverlo vamos simulando valores de producción x, y calculamos costes e ingresos hasta que coincidan

Nº de Productos
Coste
Ingreso
 10
 530
 40
 20
 560
 80
 100
 800
 400
 300
 1400
 1200
 400
 1700
 1600
 500
 2000
 2000



Entonces, a partir de 500 productos, un coste de producción de 2000 euros y de ingresos de 2000 euros, es cuando se empezaría a ganar dinero.

El inconveniente está en que puede ser muy largo el encontrar la solución y puede que no sean soluciones enteras.

ACTIVIDAD: Resolver los ejemplos de la actividad anterior con ayuda de tablas.

CONCEPTUALIZACIÓN:
Si representamos en una gráfica las dos ecuaciones con algunos de los valores de las tablas anteriores vemos que cuando coinciden Costes e Ingresos es en x=500. La gráfica puede llevar a imprecisión cuando los resultados son altos o no enteros.
Los gastos ya empiezan con 500 euros, en el eje Y para los pares (Nº de Productos, Gastos). Mientras que para los pares (Nº de Productos, Ingresos) empiezan en el origen de coordenadas. Conforme aumentan los productos los gastos se incrementan de 3 en 3, la recta tiene pendiente 3, mientras que los ingresos de 4 en 4, pendiente 4, por lo que es de esperar que los ingresos lleguen a alcanzar a los costes, en el punto de corte de las rectas (punto de equilibrio)
El punto de corte de las dos rectas (solución las ecuaciones lineales) se obtiene igualando las y:
y=500+3x=4x
despejando
500=4x-3x; x=500; y=4·500=2000























El sistema tiene solución única cuando las rectas se cortan en un punto. Si las rectas son paralelas el sistema no tiene solución. Y si la rectas son coincidentes hay infinitas soluciones.

El inconveniente es que encontrar la solución de forma gráfica no tiene precisión.

ACTIVIDAD: Representar gráficamente las ecuaciones de la actividad anterior y encontrar las soluciones de forma gráfica

RECURSOS: Utilizar una hoja de cálculo para la tabla y la representación gráfica

PROCESAMIENTO:
Cuando tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales, en general serán dos rectas que si vienen dadas por sus ecuaciones explícitas:
y=2x+4
y=-3x-6
se pueden resolver igualando las y:
2x+4=-3x-6; 2x+3x=-6-4; 5x=-10; x=-2; y=2(-2)+4=0

En general las rectas pueden estar definidas por ecuaciones implícitas:
2x+3y=-4
3x-5y=13
En cuyo caso podemos resolver el sistema por este proceso de igualación pasando a las ecuaciones explícitas, despejando y e igualando:
3y=-2x-4; y=(-2x-4)/3; -5y=-3x+13; 5y=3x-13; y=(3x-13)/5; (-2x-4)/3=(3x-13)/5; 5(-2x-4)=3(3x-13)
-10x-20=9x-39; -10x-9x=-39+20; -19x=-19; x=1; 2·(1)+3y=-4; 3y=-4-2; 3y=-6; y=-6/3=-2

Ante un sistema de ecuaciones lineales donde las rectas están definidas por las ecuaciones implícitas puede resultar engorroso despejar la y en las dos ecuaciones. Como el objetivo es convertir el sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas en uno de una ecuación y una incógnita, podemos despejar una vez una incógnita en una ecuación y sustituirla en la otra.

En el sistema anterior si se despeja y en la primera ecuación y se sustituye en la segunda,
y=(-2x-4)/3; 3x-5(-2x-4)/3=13; 9x+10x+20=39; 19x=19; x=1 
Con lo que se abrevian los cálculos

El inconveniente es que hay que llevar los cálculos con precisión sin cometer un error que ya se propagaría.

ACTIVIDAD: Plantear y resolver sistemas de ecuaciones lineales por igualación o sustitución. partir de soluciones enteras dadas para plantearlos.


MECANIZACIÓN:
Supongamos un sistema escrito en forma implícita:
a1x+b1y=c1
a2x+b2y=c2
y=(c1-a1x)/b1; y=(c2-a2x)/b2
Igualando
(c1-a1x)/b1=(c2-a2x)/b2; b2c1-b2a1x=b1c2-b1a2x; -b2a1x+b1a2x=-b2c1+b1c2; x(a2b1-a1b2)=b1c2-b2c1
Ordenamos
x(a1b2-a2b1)=c1b2-c2b1
Y despejando
x=(c1b2-c2b1)/(a1b2-a2b1)
si hacemos lo mismo con la y sale como fórmula:
y=(a1c2-a2c1)/(a1b2-a2b1)
Se puede mecanizar el proceso con ayuda de los coeficientes del sistema y los términos independientes, usando los productos cruzados.
Como es un cociente hay solución si a1b2-a2b1<>0

Por ejemplo:
-2x+5y=7
3x+2y=-1
No fijamos en los coeficientes de x e y. El denominador es el producto de las dos diagonales restado, y el numerador par x también pero usando termino independientes en lugar de los coeficientes de x. Para y se usa en el numerador el producto cruzado pero sustituyendo los coeficientes de y por los términos independientes.
x=(7·2-(-1)·5)/(-2·2-3·5)=-1
y=(-2·(-1)-3·7)/(-2·2-3·5)=1

El inconveniente está en que se puede perder el fundamento y no ser capaces de repetir el procedimiento.

ACTIVIDAD: Resolver los sistemas de ecuaciones lineales de la actividad anterior con ayuda de la fórmula

RECURSOS: Utilizar Microsoft Mathematics para resolver los sistemas y comprobar las soluciones

CONSOLIDACIÓN:
1º) En primer lugar cuando se tienen un sistema lineal de ecuaciones debemos de comprobar si a1b2-a2b1 es cero. Si fuese así indicaría que los coeficientes de las dos ecuaciones son proporcionales:
a1b2=a2b1
a1/a2=b1/b2

  • Y si además los numeradores son distintos de cero entonces no puede haber solución, las rectas son paralelas.
  •  Pero si los numeradores son cero es que las dos ecuaciones son proporcionales: a1/a2=b1/b2=c1/c2

Luego las dos ecuaciones son la misma recta, hay infinitas soluciones.

2º) Si el denominador no es cero es que las rectas se cortan en un punto, hay solución única.

Para solucionarla acudimos a la fórmula, o bien, elegimos los coeficientes de una de las dos variables y multiplicamos ambas ecuaciones por dichos coeficientes intercalados. Restando las ecuaciones resultantes tenemos una reducción del sistema a una sola incógnita y ya se puede resolver.

  • En el caso de no solución desaparecerían las dos incógnitas.
  • En caso de infinitas soluciones desaparecería todo.
Por ejemplo:
4x-5y=-11
3x+2y=9
Multiplicamos la primera por 3 y la segunda por 4
12x-15y=-33
12x+8y=36
Restamos
-23y=-69; y=3
3x+6=9; x=1

El problema es cómo establecer esos coeficientes para construir los sistemas a partir del contexto de los problemas.

ACTIVIDAD: Resolver los sistemas de ecuaciones lineales de la actividad anterior por reducción

EVALUACIÓN:
Los problemas que se resuelven con sistemas de ecuaciones lineales usan dos variables. Las relaciones que existen suelen ser de proporcionalidad directa y la suma o resta da un valor conocido.
Cada ecuación puede referirse a conceptos diferentes, nº de productos y precios, o pesos y precios, ....
El método de resolución a emplear depende bastante de cómo estén escritas las ecuaciones. Antes de ponerse a resolverlo se debe de arreglar para que esté escrito en forma estandar.

Resolver los siguientes problemas:

1) Un tendero tiene café del tipo natural a 15 euros/kg y del tipo torrefacto a 10 euros/kg. Quiere preparar 20 kg de mezcla de ambos tipos y que le salga el precio a 12 euros/kg, ¿qué cantidad debe mezclar de cada tipo?

2) He comprado 5 latas de refresco y 4 botellas de agua por 6 €. Posteriormente, con los mismos precios he comprado 4 latas de refresco y 6 botellas de agua y me han costado 6,20 €. Halla los precios de ambas cosas.

3) En un examen de 20 preguntas la nota de Juan ha sido un 8. Si cada acierto vale un punto y cada error resta dos puntos, ¿cuántas preguntas ha acertado Juan?, ¿cuántas ha fallado?

martes, 18 de noviembre de 2014

UNIDAD DIDÁCTICA: La recursividad en el recuento

MOTIVACIÓN:
Supongamos que queremos contar cuantas monedas de un euro tenemos en un grupo en fila:
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
Esto nos ha pasado alguna vez, por ejemplo cuando recogemos dinero en la escuela para hacer una excursión. Podemos contar en pequeños grupos y juntar los subtotales.
Actividad: Relata situaciones reales en las que hay que hacer recuentos
EXPERIMENTACIÓN:
Podemos ir contando de una en una desde el principio, pero lo que solemos hacer habitualmente, sobre todo para no equivocarnos, es contar no todo el grupo sino subgrupos más pequeños, por ejemplo de cinco en cinco:
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
En realidad sumamos de cinco en cinco mientras haya subgrupos y añadimos las últimas monedas restantes. Da un total de 33
Actividad: ¿Qué formas de recuento empleas usualmente?
CONCEPTUALIZACIÓN:
Reducimos el problema de contar a un tamaño más pequeño, el caso base es cuando hay menos de cinco monedas que contar y  al final podemos tener el recuento total.
El algoritmo queda así:
Total=0
Cuenta(el grupo que hay)
            si hay monedas suficientes tacha 5
            Total = Total+5
            Cuenta(el grupo que hay-5 tachadas)
                  sino
            Total=Total+ las monedas sobrantes
            fin si
fin Cuenta
Actividad: ¿Cómo ampliarías la estructura si además tienes que hacer el recuento automático del número de subgrupos?
PROCESAMIENTO:
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
Total=0
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
Total=0+5=5
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
Total=5+5=10
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
Total=10+5=15
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
Total=15+5=20
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
Total=20+5=25
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
Total=25+5=30
Monedas sobrantes=3
Total=30+3=33
MECANIZACIÓN:
Podemos esperar al final para contar.
Tachamos y cuando llegamos a las monedas sobrantes empezamos a contar
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
Ahora contamos el número de subgrupos de cinco que hay, salen 6, y sobran 3, por lo tanto el total de monedas de un euro que tenemos es: 5·6+3=33.
Total=5·número de subgupos de cinco+monedas sobrantes
Puede utilizarse un ábaco o regletas para tal fin si no se puede tachar lo que contamos.
Actividad: ¿Cónoces otras herramientas que se puedan utilizar para hacer un recuento?
CONSOLIDACIÓN:
Ante una nueva situación de recuento los pasos a seguir son:
1º. Elegir de cuanto en cuanto queremos contar. Lo habitual es contar de cinco en cinco, pero según lo que contemos y el tamaño también podemos variar esta cantidad. Si hay que contar 358 unidades podemos agrupar de 10 en 10, o de 20 en 20.
2º. A continuación ver el número que nos va a sobrar en el último paso. Si contamos de 10 en 10 sobraran menos de 10 en el último caso. Incluso se pueden hacer recuentos recursivos de 100 en 100 , pero en este caso hay que tener en cuenta que tengamos una buena técnica para no equivocarse.
3º. Hay contar bien el número de grupos y multiplicar por la cantidad que contamos por grupo. Y finalmente sumar lo que sobra.
Actividad: ¿Qué pasos seguirías si tuvieras que hacer el recuento de un número determinado de puntos del plano?
EVALUACIÓN:
¿En qué casos emplear un recuento recursivo?
Evidentemente si son pocas unidades se cuentan de seguido. A partir de cantidades de más de dos cifras se hace necesario hacerlo de forma recursiva.  También es importante asignar nombre a los subgrupos, por ejemplo lustros para años, docenas para productos alimenticios, .. Tiene que haber un compromiso entre la cantidad de cada subgrupo y el número de subgrupos, puesto que también hay que contar el número de subgrupos.
Actividad: ¿Ha habido distintas formas de contar según las civilizaciones? ¿El sistema de numeración decimal tiene que ver algo con el recuento?

sábado, 15 de noviembre de 2014

Probabilidad condicionada

En los experimentos aleatorios empezamos por hacer una extracción, por ejemplo sacar una carta de una baraja de 40. Si encadenamos experimentos aleatorios o hacemos extracciones consecutivas estamos ante un experimento compuesto, por ejemplo sacar una segunda carta de la baraja suponiendo que la primera quedó fuera. La probabilidad en las extracciones consecutivas puede quedar condicionada por lo que ocurre con anterioridad, así, por ejemplo, supongamos que extraemos dos cartas sin reemplazamiento, la probabilidad de sacar una figura la segunda vez puede variar según lo que haya salido la primera vez:
  • Si la 1ª vez no salió figura, en la 2ª vez la probabilidad es 12/39, ya que hay 12 figuras en las 39 cartas que quedan. Decimos que la probabilidad de salir figura condicionada por haber salido "no figura" es P(figura2ª/no_figura1ª)=12/39=4/13.
  • Si la 1ª vez sale figura, en la 2ª extracción la probabilidad de salir figura condicionada por ese hecho es P(figura2ª/figura1ª)=11/39, ya que en la 2ª extracción sólo quedan 11 figuras de 39 cartas.
¿Ahora cómo calculamos la probabilidad encadenada?¿Cuál es la probabilidad de sacar figura1ª y figura2ª? Supongamos que hacemos el experimento encadenado 100 veces. El número de veces que esperamos que ocurra figura1ª es (12/40)·100=30 y en la segunda extracción, de esas 30 ocurrencias que salio figura1ª, esperamos que salga figura2ª (11/39)·30=8.46 veces (aprox.), o sea, el 8.46% de las veces, entonces P(figura1ª y figura2ª)=(12/40)·(11/39), y se cumple que:

P(figura 1ª y figura 2ª)=P(figura 1ª)·P(figura2ª/figura1ª)


lunes, 10 de noviembre de 2014

Matemáticas en "El buscón"

.............
Preguntóme si iba a Madrid por línea recta, o si iba por camino circumflejo. Yo, aunque no lo entendí, le dije que circumflejo. Preguntóme cúya era la espada que Ilevaba al lado.
Respondíle que mía, y mirándola, dijo: -"Esos gavilanes habían de ser más largos, para reparar los tajos que se forman sobre el centro de las estocadas". Y empezó a meter una parola tan grande, que me forzó a preguntarle qué materia profesaba. Díjome que él era diestro verdadero, y que lo haría bueno en cualquiera parte. Yo, movido a risa, le dije: -"Pues, en verdad, que por lo que yo vi hacer a v. m. en el campo denantes, que más le tenía por encantador, viendo los círculos". -"Eso" -me dijo- "era que se me ofreció treta por el cuarto círculo con el compás mayor, cautivando la espada para matar sin confesión al contrario, porque no diga quién lo hizo, y estaba poniéndolo en términos de matemática". -"¿Es posible" -le dije yo- "que hay matemática en eso?". -"No solamente matemática" -dijo-, "mas teología, filosofía, música y medicina". -"Esa postrera no lo dudo, pues, se trata de matar en esa arte". -"No os burléis" -me dijo-, "que ahora aprendo yo la limpiadera contra la espada, haciendo los tajos mayores, que comprehenden en sí las aspirales de la espada". -"No entiendo cosa de cuantas me decís, chica ni grande". -"Pues este libro las dice" -me respondió-, "que se llama Grandeza de la espada, y es muy bueno y dice milagros; y, para que lo creáis, en Rejas que dormiremos esta noche, con dos asadores me veréis hacer maravillas. Y no dudéis que cualquiera que leyere en este libro, matará a todos los que quisiere". -"U ese libro enseña a ser pestes a los hombres, u le compuso algún doctor". -"¿Cómo doctor? Bien lo entiende" -me dijo-: "es un gran sabio, y aun, estoy por decir, más"
..................
Francisco de Quevedo (El buscón) 

sábado, 8 de noviembre de 2014

Un producto igual a cero implica que algún factor debe de ser cero

Esta ley matemática suele ser difícil de comprender por parte de los alumnos: si un producto es cero algún factor debe de ser cero.
Cuando multiplicamos números en la aritmética y el resultado es cero, necesariamente algunos de los factores debe de ser cero, 4·5·0·8=0. No es posible que de cero si ninguno no lo es. No puede quedar la duda de que haya algunos números "tramposos" que sin ser cero hagan que el producto sea cero.
En ecuaciones polinómicas se suele factorizar el polinomio para utilizar esta ley, x^2-5x+6=0 se convierte en (x-3)(x-2)=0. Ahora razonamos, un producto de dos factores igual a cero implica que alguno de ellos debe de ser cero. Si x-3=0, entonces x=3, y si x-2=0 entonces, x=2, por tanto 2 y 3 son las soluciones. El razonamiento es correcto, sin embargo algunos alumnos no están convencidos y preguntan, si siempre que tengan la factorización deben de igualar a cero cada factor, prefieren afianzar su aprendizaje en una ley garantizada por el profesor.

martes, 4 de noviembre de 2014

Expandir y contraer, dos estrategias matemáticas

En muchas ocasiones interesa expandir las expresiones matemáticas, en otras contraerlas. Las reglas permiten hacer este proceso: por ejemplo, la regla del logaritmo del producto dice que, log(x·y) = log(x)+log(y) (esto es válido en cualquier base). Aplicar la regla de izquierda a derecha se puede considerar una expansión, mientras que hacerlo de derecha a izquierda sería una contracción. Pues bien, en determinados casos se aplica la expansión como cuando queremos simplificar cálculos haciendo sumas en lugar de productos, log(2·100) = log(2)+log(100) = 0' 0.301029996+2 = 2' 0.301029996 y el antilogaritmo es en este caso 200 (este caso es trivial pero ejemplifica el que fue uno de los propósitos iniciales de los logaritmos en sus comienzos (Neper)). Otras veces es necesario contraer como ocurre cuando se resuelve una ecuación logarítmica, como es el caso del siguiente ejemplo: log(x+3)+log(5) = log(x), log(5x+15) = log(x), 5x+15 = x, x = 15/4.
Entonces aparte de reglas también existen estrategias matemáticas que sería conveniente definir junto con las reglas, como puede ser la expansión o la contracción de expresiones matemáticas.

viernes, 24 de octubre de 2014

Siete operaciones

En aritmética hay siete operaciones, con su relación de inversión y su repetición.
Suma y resta:
2+3=5//5-2=3 ó 5-3=2
Multiplicación (suma repetida) y división (resta repetida)
2·3=6//6:2=3 ó 6:3=2
Potencia (producto repetido) y raíz y logaritmo (división repetida)
2^3=8//raíz cúbica(8)=2  y  log2(8)=3 (el 8 es divisible por 2 tres veces repetidamente)
La primera cuestión es averiguar por qué se rompe la simetría y salen dos operaciones diferentes. El caso es que se distingue en la potencia la base del exponente, entonces en el proceso inverso hay que distinguir si se busca la base o el exponente. En las restas y las divisiones, averiguar los sumandos o los multiplicandos es indistinto por la propiedad conmutativa, pero en el caso de la potencia base y exponente no son intercambiables salvo que coincidan. En este caso se ve que aparte de la operación inversa o la repetición influye la posición, estos tres factores están en las operaciones y por tanto en toda la aritmética.

viernes, 18 de julio de 2014

Las cuatro reglas cartesianas, ¿son suficientes?

1) Evidencia: No admitir jamás como verdadero cosa alguna sin conocer con evidencia que lo era.
2) Análisis: Dividir cada una de las dificultades que examinase en tantas partes como fuera posible y como requiriese para resolverlas mejor.
3) Síntesis: Conducir por orden los pensamientos, comenzando por los objetos más simples y más fáciles de conocer para ascender poco a poco, como por grados, hasta el conocimiento de los más compuestos.
4) Comprobación: Realizar en todo unos recuentos tan completos y unas revisiones tan generales que pudiese estar seguro de no omitir nada.

Estableciendo un paralelismo con el APC:

Evaluación: Establece los criterios para que las cosas estén bien hechas
Mecanización: Piensa los resultados para que se puedan automatizar
Conceptualización: Establece la estructura que soporta el conocimiento
Procesamiento: Explica como funcionan las cosas
Experimentación: Asocia el nuevo conocimiento con lo que ya has vivido
Consolidación: Establece un método para que se pueda volver a obtener el repetir
Motivación: Busca la utilidad de las cosas

Evidencia vs Evaluación

Análisis vs Mecanización
Síntesis vs Conceptualización
Comprobación vs Procesamiento

Faltarían las reglas que se corresponden con la experimentación, la consolidación y la motivación.

La correspondiente a la experimentación diría así:
5) Causa-efecto: Enlaza todos las razones de forma que de desarrolles un razonamiento válido desde la causa hasta el efecto.
La de la consolidación diría así:
6) Completitud: Establece una lista de situaciones diferentes con un hilo conductor de forma que se contemplen todos los casos.
Y para la motivación:
7) Relacionabilidad: Identifica y establece las relaciones espaciales posibles de forma que quede orientado el camino a seguir.

jueves, 17 de julio de 2014

Recursividad, las matemáticas de la repetición

MOTIVACIÓN
La recursividad es una forma de resolver problemas basada en la repetición de la misma rutina disminuyendo la dificultad de la resolución de los mismos hasta llegar a un punto en que se resuelven fácilmente. Deshaciendo el camino se puede resolver el problema general. Esta forma de proceder está en la raíz de todas las matemáticas puesto que como vamos a ver está en la definición de la propia multiplicación.
EXPERIMENTACIÓN
Supongamos que tenemos que sumar diez veces tres:
Suma(10,3)=3+3+3+3+3+3+3+3+3+3
entonces podemos calcular primero la suma de nueve tres y sumarle otro tres:
Suma(10,3)=Suma(9,3)+3
y proceder así sucesivamente:
Suma(n,3)=Suma(n-1,3)+3
Hasta que al final podemos resolver el problema:
Suma(2,3)=Suma(1,3)+3=3+3=6
A partir de aquí se retrocede en el camino y se llega al resultado final que es 30.
CONCEPTUALIZACIÓN
Al resolver un problema usando la recursividad necesitamos averiguar cuál es el término general:
Suma(n,3)=Suma(n-1)+3
y cuál es el caso base:
Suma(1,3)=3
El término general nos indica como ir disminuyendo la dificultad del problema y el caso base cómo resolverlo en una situación sencilla.
PROCESAMIENTO:
Veamos como funciona el proceso:
Suma(10,3)=Suma(9,3)+3=(Suma(8,3)+3)+3=((Suma(7,3)+3)+3)+3=(((Suma(6,3)+3)+3)+3)+3=((((Suma(5,3)+3)+3)+3)+3)+3=(((((Suma(4,3)+3)+3)+3)+3)+3)+3=((((((Suma(3,3)+3)+3)+3)+3)+3)+3)+3=(((((((Suma(2,3)+3)+3)+3)+3)+3)+3)+3)+3= ((((((((Suma(1,3)+3)+3)+3)+3)+3)+3)+3)+3)+3=(((((((6+3)+3)+3)+3)+3)+3)+3)+3=((((((9+3)+3)+3)+3)+3)+3)+3=(((((12+3)+3)+3)+3)+3)+3=((((15+3)+3)+3)+3)+3=(((18+3)+3)+3)+3=((21+3)+3)+3=(24+3)+3=27+3=30
MECANIZACIÓN
Si queremos automatizar la ejecución debemos de establecer una cola de espera, donde el último en entrar es el primero en salir. La cola es esperar en este orden S(10,3), S(9,3), S(8,3), S(7,3), S(6,3), S(5,3), S(4,3), S(3,3), S(2,3), S(1,3). Ahora va saliendo desde el final y al último resultado le sumamos 3, S(1,3)=3, S(2,3)=6, S(3,3)=9, S(4,3)=12, S(5,3)=15, S(6,3)=18, S(7,3)=21, S(8,3)=24, S(9,3)=27, S(10,3)=30
CONSOLIDACIÓN
El primer paso es resolver el caso base, resolver el problema en su caso más sencillo, sumar una vez 3, S(1,3). A continuación hay que ver como se hace el siguiente caso más sencillo desde el paso anterior, sumar dos veces 3, S(2,3)=S(1,3)+3, el siguiente, S(3,3)=S(2,3)+3, así ya se puede sacar la fórmula del término general, S(n,3)=S(n-1,3)+3. A partir de ahí se va aplicando está fórmula repetidamente hasta completar el número de veces que se desea sumar 3.
EVALUACIÓN
¿Cuál es la clave para que el problema se pueda hacer de forma recursiva? Es la repetición como su propio nombre indica. Sumar tres diez veces solo se puede hacer sumando tres de uno en uno y acumulando los resultados, diez veces. En este caso es evidentemente la multiplicación de 10 por 3 que se tiene tabulada.
S(1,3)=3=1·3
S(2,3)=S(1,3)+3=3+3=2·3
S(3,3)=S(2,3)+3=S(1,3)+3+3=3+3+3=3·3
S(n,3)=n·3 (regla)
S(10,3)=10·3=30

miércoles, 16 de julio de 2014

Demostraciones: Mágia y matemáticas

Es interesante enseñar demostraciones matemáticas en secundaría, y aquí se muestra un ejemplo de lo que se puede hacer en el aula.
Vamos a hacer un pequeño número de magia de adivinación: Si pedimos a una persona que piense un número de tres cifras (que no sea capicúa) y que lo reste del mismo número cambiado de orden de las cifras (restar el mayor del menor), que coja las cifras del resultado y las sume, entonces le podemos decir que le tiene que dar 18 y acertaremos.
La demostración matemática de que esto es así se basa en lo que representa la notación polinómica de los números y es la siguiente:
Suponiendo que el número es abc y lo resta de cba, entonces lo que estamos haciendo en la resta tradicional es:
100a+10b+c-100c-10b-a=99a-99c=99(a-c)=100(a-c)-(a-c)=100(a-c-1)+9·10+(10-(a-c))
Con lo cual el resultado es un número como sigue:
[a-c-1][9][10-(a-c)]
Sus cifras suman:
a-c-1+9+10-(a-c)=18
Como se quería demostrar.

viernes, 23 de mayo de 2014

Medir el radio del Sol. Una investigación científica

Problema: Averiguar cuánto mide el radio del Sol sabiendo que la distancia media de la Tierra al Sol es de 149 600 000 km.
Material: Utilizar un tubo de cartón, papel de aluminio, papel transparente, una regla y elásticos.
Método: Se cubre un extremo del tubo con papel aluminio y se sujeta con un elástico. El otro extremo se cubre con el papel translucido, sujetado con el elástico. Se hace un agujero redondo en el centro del papel aluminio. Se pone el tubo paralelo a los rayos de Sol de forma que un rayo incida por el agujero y se refleje en el papel translúcido. Se utilizan triángulos semejantes como se indica en el gráfico.
Los triángulos OPQ, ORS y OP'Q' son semejantes. 

 Se mide el diámetro del agujero (RS=c) y el del Sol reflejado en el otro extremo (PQ=a). También se mide la longitud del tubo (TM=b).
Se cumple que OM=OT+TM, siendo OM y OT desconocidos. Por la semejanza de triángulos se cumple que OM/PQ=OT/RS. Con estas dos ecuaciones se calcula OM y OT. Ahora también se cumple que OM/PQ=OM'/P'Q'. De aquí se despeja P'Q' que es el diámetro del Sol
Resultados: Los que obtengan los alumnos.
Discusión: La que establezcan los alumnos.
Conclusiones: Las que obtengan los alumnos.

jueves, 1 de mayo de 2014

Metodología matemática vs enseñanza de las matemáticas

Cojamos la organización de la materia en el tema de resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se empieza por resolver ecuaciones de una incógnita: 2x+6=2. Se añaden paréntesis y denominadores y se busca simplificar las ecuaciones: 3(x-3)/4+5x/2=5. El método general en esta parte es eliminar denominadores, quitar paréntesis y despejar la incógnita. Se pasa a sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. 3x-4y=7; -5x+y=7. Siempre se referencia a escribir las ecuaciones de esta forma estándar, las incógnitas a la izquierda de las igualdades y los términos independientes a la derecha. Si hay paréntesis, denominadores u otra distribución de las incógnitas se arreglan las ecuaciones para tenerlas en forma estándar. A partir de aquí tres métodos: igualación, sustitución y reducción. El método de reducción se generaliza para obtener el método general para cualquier número de incógnitas y de ecuaciones, el llamado método de Gauss. Se hace la triangulación del sistema. También se puede mejorar el método completándolo con el método de Jordan. Sin embargo la introducción de matrices y determinantes permite obtener otro método general que evita hacer cálculos estudiando previamente la existencia de soluciones con los rangos. Primero se resuelven Sistemas de Cramer identificando los sistemas con ecuaciones matriciales. Si el sistema es cuadrado y la matriz de coeficientes es regular, entonces, es un sistema de Cramer, se puede calcular la matriz inversa y despejar  la matriz de las incógnitas. El proceso se concreta en el método de Cramer usando determinantes, proceso que está conectado, también, con el método de reducción. El teorema de Rouché-Frobenius permite dedicir la existencia de solución en un sistema general y a partir del rango se simplifica el sistema a uno de Cramer y se resuelve con su método. Esto cierra el problema de resolver cualquier sistema de ecuaciones lineales. Hasta aquí la organización algebraica y la metodología matemática. Ahora, la reflexión es que esto es la consolidación del estudio de este problema matemático en la que intervinieron muchos matemáticos en la historia. La cuestión es: ¿Nuestros estudiantes sólo tienen que aprender estos métodos?¿Deben de descubrir los métodos?¿Deben de aprender solamente a aplicarlos?¿Deben de aprender los conceptos implicados y las estructuras profundas que los sostienen?¿Deben de aprender criterios para saber cuándo y cómo emplearlos?
La cuestión más honda del problema es: ¿La metodología del aprendizaje es diferente a la metodología de la materia?¿Hay que aprender los métodos, o cómo se obtiene, o cómo y cuándo se emplean?

lunes, 28 de abril de 2014

La organización y la consolidación matemática

¿Como se organiza el conocimiento matemático? Pues se organiza por niveles de complejidad. Cualquier teoría matemática se va consolidando pasando a formar parte de la organización de la misma empezando por los casos sencillos y combinando cada vez más los niveles de dificultad hasta llegar, si es posible, a métodos generales. 
Por ejemplo, primero se aprende a resolver las ecuaciones lineales con una incógnita, después se pasa a los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, después a los sistemas de Cramer y, a partir de ahí, a los sistemas de n ecuaciones con m incógnitas. En cada paso se fundamenta la resolución del problema en los casos anteriores. Este es el camino que recorren los estudiantes en secundaria y bachillerato. Esto está consolidado, en cada nivel de complejidad hay métodos para hacer las cosas, llegándose al método general con ayuda de matrices y determinantes.
Los estudiantes aprenden las rutinas ya establecidas, la cuestión es si deberían de aprender a volver a redescubrir las rutinas. Lo que está ya consolidado no da margen a variación, y es verdad que hay que aprender rutinas si se quiere avanzar, la cuestión es determinar si el aprendizaje de las matemáticas se debe vertebrar sólo con las rutinas.

sábado, 26 de abril de 2014

Un problema local con las guaguas

LA LÍNEA 22
La línea 22 va desde Santa Catalina a La Paterna y de La Paterna a Santa Catalina en Las Palmas de Gran Canaria. Une La Paterna con Santa Catalina por la Ciudad Alta (Las Chumberas, Altavista, Barranquillo de Don Zoilo) y la Ciudad Baja (Ciudad Jardín y Alcaravaneras). Si visitas la página web de GUAGUAS (http://www.guaguas.com/) puedes ver su itinerario así como el horario. Con ayuda de la información ahí contenida responde a las siguientes cuestiones:
  • Si estás en la calle Galicia (junto al Mercado Central) y quieres subir en la 22 al instituto Alonso Quesada, que está en la Avenida de Escaleritas 113, ¿en qué parada te tienes que subir y en cuál te tienes que bajar?
  • Si es un martes y son las 12:20, suponiendo un retraso desde la salida hasta la parada de subida, entre 5 y 10 minutos, ¿a qué hora tiene que pasar la guagua?
  • Si supones que el viaje hasta el instituto tarda entre 10 y 15 minutos, ¿a qué hora esperas llegar? 



Tema: Números reales. Intervalos.

lunes, 7 de abril de 2014

Sistemas de ecuaciones lineales para mezclar café de forma justa

En el mercado hay un puesto de café, tienen varios cajones con cafés de diferentes tipos, el comprador elige una cantidad en grano y pide que se lo muelan y se lo entregan en un sobre herméticamente cerrado. Hay un tipo que es mezcla, contiene grano natural con grano torrefacto. El vendedor puede establecer el precio de la mezcla si sabe un poco de álgebra. Supongamos que el cajón tiene una capacidad para 20 kg, y que el precio del café natural es de 8 euros/kilo, y el del torrefacto de 12 euros/kilo. Si quiere que el precio de mezcla esté en 10 euros/kilo, ¿qué cantidad de uno y otro tipo debe juntar?
Si "x" es la cantidad del natural e "y" del torrefacto, entonces, se cumple que x+y=20.
Por precio, los "x" kilos del natural cuestan 8x y los "y" kilos del torrefacto 12y, pero como al final todo tiene que costar 10·20=200 euros, se cumple que, 8x+12y=200. Ya tenemos el sistema. Por sustitución despejando x, x=20-y, y sustituyendo, 8(20-y)+12y=200, 4y=40, y=10 kilos. Entonces x=10 kilos. De esta forma se demuestra el reparto justo, porque también las matemáticas tienen que ver con ser justo.

viernes, 21 de febrero de 2014

De la observación nace la idea

La integral de una función es la operación inversa de la derivación. Mientras que la derivada de una función es única, la integral da infinitos resultados que sólo se diferencian en una constante.
Si tenemos f(x)=sen(x), su derivada es f'(x)=cos(x). La integral de f(x)=cos(x), es F(x)=sen(x)+C

Supongamos que queremos calcular la integral,




Lo primero es observar la expresión del radicando. El denominador tiene una forma que recuerda a algo, si hemos trabajado anteriormente con identidades notables podemos caer en la cuenta que es el cuadrado de la suma: 

Gracias a este hecho reescribimos la integral,





Ahora nos nace la idea de cómo resolver la misma. Tiene estructura de integral potencial compuesta,




¿Cómo integrar una función potencial compuesta? Si tenemos f(x)=(g(x))n, su derivada es, usando la regla de la cadena, f'(x)=n(g(x))(n-1)·g'(x). Entonces si tenemos que integrar una expresión que tenga una potencia por la derivada de la función base, por el exponente más uno, el resultado es la potencia incrementada en una unidad.
Ahora sólo tenemos que aplicar la regla de integración de una función potencial compuesta para obtener la solución:




Lo importante es que si no hay experiencia de haber trabajado con las identidades notables, guardada en la memoria a largo plazo, no puede surgir la idea para resolver la integral.

sábado, 8 de febrero de 2014

Pasos para resolver un problema algebraico

Un plátano y una manzana cuesta 3 euros, una manzana y una manga cuestan 5 euros y un plátano y una manga cuestan 4 euros. ¿Cuánto cuesta una manzana?

1) Leer el enunciado y comprobar que es un problema que se puede resolver con pensamiento algebraico: Hay datos numéricos y hay que usar letras para poder representar los datos desconocidos, como es el precio del plátano, el de la manzana y el de la manga.
2) Llamar x al valor desconocido que se quiere averiguar (usaremos siempre el menor número posible de letras): el precio de la manzana=x
3) Escribir las expresiones algebraicas en función de la x de todo lo que desconocemos aún: el precio de un plátano=3-x; el precio de una manga=5-x
4) Buscar una igualdad entre los datos conocidos y desconocidos del problema: hay tres igualdades, plátano y manzana cuestan 3 euros, manzana y manga cuestan 5 euros y la que no se ha usado todavía es la de que un plátano y una manga cuestan 4 euros. Relaciona datos conocidos (4 euros) y desconocidos (el precio del plátano y la manga).
5) Construir una ecuación: Entonces queda la igualdad,
(3-x)+(5-x)=4
que constituye la ecuación que se buscaba.
6) Resolver la ecuación para obtener x:
-x-x=4-3-5
-2x=-4
x=2
7) Verificar el resultado:
El precio de una manzana es 2, el de un plátano 3-2=1 y el de la manga 4-2=3. Sumando plátano y manzana dan 3, manzana y manga 5 y, por último, plátano y manga 4. Coinciden con los datos del enunciado

sábado, 18 de enero de 2014

Igualdades

La igualdad es una relación entre dos objetos matemáticos.
Los objetos de la aritmética son los números. Cuando tenemos dos números parece obvia la comprobación de si son iguales o no. Por ejemplo 4=5 es falso y 4=4 es verdadero. A veces requiere un poco más de tiempo comprobar si la igualdad es verdadera o falsa, por ejemplo 4=8/2 ó 4=raiz(16). Y no digamos si ponemos 4=3'9999...
En el álgebra los objetos son los polinomios. Si tenemos dos polinomios el comprobar si son iguales o no ya plantea algún que otro interrogante. Así, por ejemplo, es cierto que 2x+5=x+3+x+2, y lo comprobamos fácilmente. La cuestión es que la igualdad puede ser cierta siempre, para todo valor de la variable, o puede ser cierta para ciertos valores de la variable. Por ejemplo 3x+4=8x-6, solo es cierta cuando x vale 2 (la solución). En este caso la igualdad es una ecuación y no una identidad.
En el caso del análisis los objetos matemáticos son las funciones. Comprobar si dos funciones son iguales puede reducirse al problema anterior de igualdad de expresiones algebraicas. Por ejemplo f(x)=3x+4 es igual a g(x)= x-2 sólo cuando x vale -3, es el punto de corte de ambas funciones. Pero también puede ocurrir que las funciones sean iguales en tramos enteros de valores de x. ¿Cómo tienen que ser estas funciones? Por ejemplo si f(x)=sen(x) y g(x) coincide con f(x) en el intervalo [3,6], entonces g(x) se define como g(x)=sen(x) si x pertenece a [3,6] y toma otro valor diferente fuera de este intervalo (una función definida a trozos).