sábado, 31 de octubre de 2009

Contar el conocimiento

Los numerales arábigos:

Es de todos conocidos que las representaciones numéricas de los números que empleamos nos llegaron con los árabes a Europa a través de la invasión por el sur de España, por eso se les llaman también números arábigos, y que a su vez éstos los habían extraído de los hindúes. La genealogía de los numerales actuales empieza con las formas de representar los números en la civilización hindú de los Brahmi (300 a.C), pasa a los Gwalior (500 d.C) y de ahí a los árabes. Éstos tienen dos ramas, los orientales (800) y los occidentales (950), estos últimos son los que vienen a España. Matemáticos árabes como al-Sizji (945-1020), al-Biruni (973-1048) o al-Banna al-Marrakushi (1256-1321) difunden con sus tratados estos nuevos numerales que llegan a occidente. Aunque suele corresponder a al-Khwarizmi (780-850), por parte árabe, y a Leonardo de Pisa (Fibonacci, 1170-1250), por parte europea, todo el protagonismo del traspaso.

Calculistas vs abaquistas:

En el transcurso histórico los números van sufriendo transformaciones en su forma de escribirlos. Hay varios factores que influyen en esta evolución. Uno de ellos es el sentido de la escritura, según se escriba de izquierda a derecha o al revés, de arriba abajo o al revés, esto influye en la grafía, de ahí que los primeros números árabes occidentales y orientales sólo difieren en un giro de 90º. Otra de las influencias es el medio de cálculo que se emplea, por ejemplo, en Europa desde el principio de milenio hasta varios siglos después, se desarrolló toda una lucha entre los calculistas con ábaco y los que usaban las cifras árabes trazadas sobre la arena. El dibujar las cifras en un tablero de arena o polvo (Gobar) permitía escribir y borrar varias veces, mejorando el proceso de cálculo, y este fue un factor importante para que los numerales árabes se impusieran a los ábacos.


Modas y futuro:

También han influido determinadas escuelas y personajes de diversos ámbitos, como los discípulos de Pitágoras, sobre el año mil, que ponen de moda los números ápices, A. Durero sobre el 1500 que diseña unos números geométricos o Gutenberg que en esa época los tiene que diseñar junto con la letra gótica en las prensas de su imprenta. Lo curioso es que los diez dígitos que empleamos hoy en día alcanzan su tipografía actual hace poco más de 500 años, y ya nos hemos familiarizado con ellos, aunque con la llegada de los ordenadores ya les hemos visto con nuevo aspecto, pero cabe preguntarse si no seguirán evolucionando en el futuro, puesto que cada época también les reviste de su impronta.

viernes, 30 de octubre de 2009

Completar conocimiento

Resolver las operaciones con números enteros en TODOS los casos:
LISTA:

a) 2+3; 3+6; 2+9; 5+5 (suma de dos números naturales a+b con a<=b).

b) 4+2; 7+2; 6+6; 8+1 (suma de dos números naturales a+b con a>b).

c) 5-3; 6-2; 8-4; 7-7 (resta de dos números naturales a-b con a>=b).

d) 5-7; 4-9; 3-8; 5-9 (resta de dos números naturales a-b con |a|<=b).

e) -3+4; -5+5; -2+7; -1+4 (suma de un entero negativo con otro positivo a+b con |a|<=b).

f) -4+2; -6+2; -5+3; -7+1 (suma de un entero negativo con otro positivo a+b con |a|>b).

g) -8+(-1); -6+(-3); -6+(-6); -7+(-2) (suma de un entero negativo con otro negativo a+b con |a|>=|b|).

h) -3+(-7); -2+(-5); -3+(-9); -1+(-5) (suma de un entero negativo con otro negativo a+b con |a|<|b|).

i) 4-(-3); 8-(-2); 5-(-5); 6-(-3) (resta de un entero positivo con otro negativo a-b con a>=|b|).

j) 3-(-5); 5-(-8); 2-(-3); 1-(-6) (resta de un entero positivo con otro negativo a-b con a<|b|).

k) -4-(-3); -6-(-1); -6-(-2); -8-(-8) (resta de un entero negativo con otro negativo a-b con |a|>=|b|).

l) -3-(-6); -1-(-5); -4-(-7); -2-(-9) (resta de un entero negativo con otro negativo a-b con |a|<|b|).

El HILO CONDUCTOR son las sumas y restas de enteros distinguiendo si los números son positivos o negativos y si el primer número de la operación en valor absoluto es mayor o igual que el segundo en valor absoluto o no.

martes, 27 de octubre de 2009

Generar conocimiento

IDEA: Los números primos se definen como aquellos que sólo admiten dos divisores diferentes, el 1 y el propio número. Así 7 es primo porque DIV(7)={1,7}. ¿Pero qué pasa si catalogamos los números según la cantidad de divisores que tienen?

TRONCO: Tendríamos:
Con un sólo divisor:
El 1; DIV(1)={1}
Que llamaremos 1-primo.

Con sólo dos divisores:
2; DIV(2)={1,2}
3; DIV(3)={1,3}
5; DIV(5)={1,5}
...........
Todos los números primos, que desde ahora llamaremos 2-primos.

Con sólo tres divisores:
4; DIV(4)={1,2,4}
9; DIV(9)={1,3,9}
16; DIV(25)={1,5,25}
..............
Los llamaremos 3-primos.
RAMA: Los 3-primos son los cuadrados de los números primos.

Con sólo cuatro divisores:
6; DIV(6)={1,2,3,6}
8; DIV(8)={1,2,4,8}
10; DIV={1,2,5,10}
...............
Los llamaremos los 4-primos.
RAMA: Dentro de los 4-primos están los cubos de los números primos, como por ejemplo el 8 y el 27. También están los que son producto de dos primos diferentes, como por ejemplo el 6 y el 10.

Y así sucesivamente

RAMA: Se van formando una serie de secuencias de p-primos:
1-primos: 1
2-primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13,.....
3-primos: 4, 9, 25, 49, 121, 169,.....
4-primos: 6, 8, 10, 14, 15,.........
5-primos: 16, 81, ......
6-primos: 12, 18, 20,.....
¿Se pueden relacionar las series?

sábado, 24 de octubre de 2009

Un diccionario de doble sentido

Mis alumnos (1º ESO) han hecho un diccionario con palabras de uso matemático y de uso común. Ahí va:

Palabra --> en el uso matemático --> en el uso común

  1. área --> de la figura --> el área está protegida
  2. base --> de la figura --> tú tienes que tener una base
  3. cateto --> del triángulo --> eres un cateto
  4. coma --> 0'4 --> ortográfica
  5. cono --> figura --> un helado de cono
  6. cuadrado --> figura --> ese tío está cuadrado
  7. cubo --> 43 --> guárdalo en ese cubo
  8. entero --> número --> la leche es entera
  9. división --> operación --> la carrera se dividió
  10. igual --> 4+5=9 --> esta persona es igual que yo
  11. lista --> secuencia --> eres muy lista
  12. más --> 3+5 --> esto es más que eso
  13. menos --> 10-5 --> tú eres menos grande que yo
  14. multiplicación --> operación --> esa gente se multiplica
  15. número --> número --> yo soy el número uno
  16. operación --> 10+20=30 --> esta operación ha sido un éxito
  17. paréntesis --> operar --> ortográfico
  18. pié --> 0'3048m --> parte del cuerpo
  19. potencia --> 72 --> cualidad de la persona
  20. primo --> número --> Alex es primo de Ángel
  21. producto --> 6·7 --> este producto sirve para comer
  22. resultado --> 4+4=8 --> el resultado del partido
  23. tabla --> multiplicar --> de madera
  24. triángulo --> figura --> el triángulo es un instrumento musical

jueves, 22 de octubre de 2009

Sumar significativamente

Una pareja de patos cría en el mes de marzo alrededor de 10 polluelos. Si los patos pueden criar durante 10 años, ¿cuántos descendientes llegaría a haber en 4 años de una pareja suponiendo que sobrevivieran todos en ese período y que los nuevos patos criasen al año de nacer? ¿Cuántos si el indice de mortalidad es del 50% anual?

Número de descendientes contabilizados en relación causa-efecto:El primer año: 10 patos
El segundo año: 10 patos de la primera pareja+ la primera pareja = 11 parejas a criar=>110 nuevos patos
El tercer año: 11 parejas del año pasado+ 110 nuevas parejas= 121 parejas a criar=>1210 nuevos patos
El cuarto año: 121 parejas del año pasado+1210 nuevas parejas= 1331 parejas a criar=>13310 nuevos patos.

El número de parejas a criar cada año es un número "redondo", ¡es un número capicúa!

Número total de patos viviendo en los cuatro años sin contar consortes= 1+10+110+1210+13310=14641 (otro número capicúa)
¡Es una buena cantidad de patos!, se puede decir que la Naturaleza en generosa, pero el caso es que no todos sobreviven.

Kant: La ley causal rige siempre y de manera absoluta simplemente porque la razón del hombre capta todo lo que sucede como una relación causa-efecto.

sábado, 17 de octubre de 2009

Multiplicar con engranajes

Un sistema está formado por tres engranajes de 16, 8 y 12 dientes, respectivamente. La rueda de 16 dientes gira en sentido horario a razón de 3 vueltas por segundo. ¿En qué sentido y a qué velocidad gira la rueda de 12 dientes?

Cada rueda transmite a la que le sigue un sentido de giro y una velocidad:

Regla 1: El sentido de giro se invierte de una rueda a otra.

Regla 2: La velocidad que transmite una rueda a la siguiente es k veces su propia velocidad, siendo k la razón entre el número de dientes entre la rueda que transmite y la que recibe.


Por tanto, por la regla 1, como el sentido de giro de la rosa es horario, el de la rueda intermedia verde es antihorario y el de la última rueda naranja es horario.
Por la regla 2, la velocidad de la rueda intermedia es 16/8=2 veces la inicial, o sea, el doble que la inicial, 6 vueltas por segundo. La rueda naranja girará con una velocidad 8/12=2/3 veces la verde, por tanto gira a (2/3)·6=4 vueltas por segundo.

domingo, 11 de octubre de 2009

Hallar la raiz

Vamos a empezar por poner una columna desde el 1 al 10. A su derecha ponemos columnas, cada columna es la raíz cuadrada de la anterior izquierda (usando la calculadora), consiguiendo con ello que los resultados cada vez se parezcan más. Con la raíz cuarta coinciden en las unidades y con la raíz treintaidosava en las unidades y las décimas.
  • Así el 1, 2, 3 y 4 tienen su raíz dieciseisava coincidiendo en las unidades y en las décimas; el 5, 6, 7, 8, 9, y 10, tienen su raíz dieciseisava coincidiendo en las unidades y las décimas.
  • El 1 y el 2, tienen su raíz octava coincidiendo en las unidades y las décimas; también para el 3 y el 4 ocurre lo mismo; para el 5, 6, 7 y 8; y para el 9 y el 10.


{1
,2,3,4,5,6,7,8,9,10}-->(32)rango [1.00,1.076]

{{1,2,3,4},{5,6,7,8,9,10}}-->(16)rangos [1.00, 1.092] [1.105,1.156]

{{{1,2},{3,4}},{{5,6,7,8},{9,10}}}-->(8)rangos [1.00,1.092] [1.146,1.190] [1.222,1.298] [1.315,1.335]

Se puede hacer lo mismo si los parecidos sólo se hacen en las unidades, cogiendo las dos primeras columnas.



Al final tenemos un árbol que nos dice, por ejemplo, que la raíz octava de 5 y de 7 coinciden en las unidades y las décimas, o que la raíz dieciseisava de 6 y de 9 coinciden en las unidades y las décimas.




Las sucesivas raíces cuadradas de dos números naturales cualesquiera cada vez se van pareciendo más hasta que llegan a ser coincidentes en 1 (¡si pudiésemos hacer infinitas veces la raíz cuadrada!). 



1

miércoles, 7 de octubre de 2009

Simplificar es dividir

Mosaico de una casa romana de Pompeya. ¿Qué deducimos de la imagen?


Análisis: Vamos a considerar los seis cuadrados diferentes que hay antes de la escena de caza del jabalí. Los dos primeros cuadrados contienen figuras que tienen en común 4 hojas; los siguientes tienen 6 partes diferenciadas, 6 hojas a la izquierda y 6 triángulos en el de la derecha; en los dos cuadrados siguientes hay 8 hojas en el de la derecha y una figura de un laurel con tres ramas a la izquierda.
Proposición:La secuencia es 4,4; 6,6; 8,8.
Demostración: El laurel con tres ramas tiene que ser un 8, en romano VIII; la V por lo de la victoria que representa la corona de laurel y los tres palitos por las tres ramas. c.q.d.

Según OCCAM la solución más simple suele ser la correcta.

martes, 6 de octubre de 2009

El espacio es potencial

¿Cuantos cubos pequeños hay en el cubo grande?


Obviamente 2·2·2=23.

Ahora, ¿con cuántos segmentos de igual longitud se construye esta figura?
Si se consideran los segmentos grandes, hay 9 verticales, 9 horizontales y 9 hacia atrás: 9+9+9=3·32=33.
Cada segmento grande está formado por dos pequeños, luego en total hay 2.33

Si separamos los 23 cubos pequeños, ¿cuántas aristas diferentes hay?
Como cada cubo pequeño tiene 3·22 aristas y son 23 cubos, pues habrá 3·22·23=3·25 aristas.

Luego, al juntar todos los cubos pequeños para formar el grande se comparten 3·25-2.33 aristas