Proporcionalidad directa según el APC. Repartos

Motivación

Juanito va a repartir 126 caramelos entre sus tres amigos, pero lo quiere hacer de forma directamente proporcional a sus edades, que son de 5, 6 y 7 años. Es decir, al más joven le va a dar menos, más al segundo y, al mayor más todavía. Pero se va a cumplir que lo que reparta a cada uno dividido por su edad es común para los tres.

Experimentación

Juanito entiende la proporcionalidad. Sabe sumar, restar y dividir. Si el reparto es proporcional, hay una constante de proporcionalidad que le sirve para repartir. Se cumple que si reparte A al primero, B al segundo, y C al tercero, entonces A/5=B/6==C/7=constante. O sea, A=5·constante, B=6·constante, C=7·constante

Si la constante es 2 repartirá 2·5=10 al primero, 2·6=12 al segundo, y 2·7=14 al tercero, así reparte 10+12+1=36, pero aún le quedan 126-36= 90 por repartir. Hay que encontrar la constante repartiendo todo lo posible.

Conceptualización

Multiplicar por 5, 6 y 7, con distintas constantes e ir sumando hasta alcanzar los 124 caramelos o no pueda hacerlo más.

Procesamiento

5·2=10; 6·2=12; 7·2=14; 10+12+14= 36<126

5·3=15; 6·3=18; 7·3=21; 15+18+21= 54<126

.....................................

5·6=30; 6·6=36;7·6=42; 30+36+42=108<126

5·7=35; 6·7=42;7·7=49; 35+42+49= 126=126

Entonces la constante es 7, se reparten 35, 42 y 49 respectivamente a las edades de 5, 6 y 7 años. 

Mecanización

Sumar las edades

5+6+7=18

Hacer la división entera entre el total y la suma

126:18=7

Esta es la constante de proporcionalidad porque: 5·c+6·c+7·c=(5+6+7)·c=18·c=126

de aquí que c=126:18

Consolidación

Supongamos 300 caramelos a dividir de forma directa mente proporcional a las edades de 10, 15 y 18 años.

a) Sumar las edades: 10+15+18=43

b) Dividir (entera) el total entre la suma: 300:43=6

c) Multiplicar por cada una de las edades el resultado: 10·6=60; 15·6=90; 18·6=108

d) Sumar los resultados: 60+90+108=258

e) Restar esta cantidad del total: 300-258=42

Evaluación

Comprobar que lo que sobra es menor que la suma de las edades

42<43

Comprobar que lo que resta de la división del total entre la suma de las edades coincide con lo que sobra al final del ultimo paso anterior

300=43·6+42

300=258+42

Aprender a dividir según el APC

Primero: Tener un motivo para hacerlo.

Juanito tiene 20 caramelos que va a repartir entre 5 amigos dándole a cada uno el mismo número de caramelos.

Segundo: Tener recursos ya aprendidos.

Juanito sabe contar, sumar, restar y multiplicar

Tercero: Tener una idea de como hacerlo.

Decide que va a ir repartiendo a cada uno la misma cantidad poco a poco, en rondas sucesivas, hasta que no pueda hacerlo más.

Cuarto: Obtener un logro.

Primero reparte 2 a cada uno y comprueba que le sobran 10. Luego reparte 1 a cada uno y comprueba que le sobran 5. Vuelve a repartir 1 a cada uno y los reparte todos. Cuenta lo que tiene cada uno y ve que todos tienen 4.

Quinto: Mecanizar el proceso.

a) Hay que repartir en varias rondas.

b) Elegir en cada ronda una cantidad que permita completar la ronda.

c) Elegir una cantidad alta para que no haya que realizar muchas rondas.

d) Comprobar si sobra algo.

Sexto: Comprobar que vale para todas las situaciones.

Si hay que repartir 220 caramelos entre 8 niños, elegimos la decena mas alta que podamos repartir:

20 caramelos, porque 20x8=160

al repartir 160 sobran 60.

repetimos, repartimos los 60, elegimos las unidades más altas que podamos repartir.

7 caramelos, porque 7x8=56

al repartir 56 sobran 4, que ya no podemos repartir entre los 8 niños.

Se han repartido a cada uno 20+7=27 caramelos y sobran 4.

Septimo: Evaluar si hacemos bien el reparto.

Si hacemos el computo del reparto tiene que cuadrar lo repartido y lo que sobra con lo que se tenía.

8x27=216

216+4=220

¡Correcto!