Multiplicaciones, divisiones y constantes

 

Si 3 kilos de naranjas cuestan 4,5 euros y 5 kilos cuestan 7,5 euros, ¿qué supone multiplicar y dividir estas cifras?

a) Pongamos por ejemplo el producto de los kilos por los precios: 3·4,5=13,5; 5·7,5=37,5

b) El producto de los kilos entre sí y de los precios entre sí: 3·5=15; 4,5·7,5=33,75

c) El producto cruzado de los kilos de unos por los precios de los otros: 3·7,5=22,5; 5·4,5=22,5

Los caso a) y b) son distintos resultados y el c) da el mismo resultado. ¿Tiene sentido lo que se está haciendo?

En el caso a) lo que se obtiene es el precio del cuadrado de los kilos. Por ejemplo, si x es lo que cuesta un kilo de naranjas, entonces, 3·x=4,5 (esto es clave) y el producto 3·4,5=3·3·x=3²·x. Entonces, lo que se tiene como resultado de ambos productos es lógico, que dé que a más kilos mayor el producto.

El caso c) es lógico que dé lo mismo porque 3·7,5=3·5·x=5·3·x=5·4,5

d) Ahora con la división de los euros entre los kilos: 4,5:3=1,5; 7,5:5=1,5

e) Los euros entre si y los kilos entre sí: 5:3=1,666...; 7,5:5=1,666....

f) Las divisiones cruzadas: 4,5:5=0,9; 7,5:3=2,5

Los casos d) y e) dan el mismo resultado y el f) no. ¿Qué significa que den el mismo resultado? ¿Tiene algún valor?

En el caso d) se dividen euros por kilos y da lo que cuesta un kilo. 4,5:3=(3·x)/3=x. Como da lo mismo 1,5, es el precio de venta que es constante, no depende de los kilos que sean. Esta constante es la más interesante.

En el caso e) la razón entre los kilos es la misma que entre los precios, si se incrementa 1,666... veces los kilos, el incremento de veces también es el mismo. 5:3=5·x:3·x=7,5:5

La fracción DE un todo

Normalmente se entiende lo que es el doble, el triple, etc., de un todo.

Tenemos 15 euros, entonces:

• El doble de esa cantidad es 30, es decir 2·15=30 euros
• El triple de esa cantidad es 45, es decir 3·15=45 euros
• etc.

Los términos doble, triple, etc., se refieren a los números 2, 3, .... por lo que hay que multiplicar esa cantidad.

Pero, ¿qué se entiende por los 2/3, la cuarta parte, los 4/5, etc., de un todo? Es decir la fracción de un todo. Porque los números fraccionarios también se pueden utilizar para hacer un cálculo del total.

Por extensión de lo visto anteriormente, también se debe usar el producto del número fraccionario por el total.

• Los 2/3 de esa cantidad es (2/3)·15=10 euros.
• La cuarta parte de esa cantidad es (1/4)·15=3.75 euros.
• Los 4/5 de esa cantidad es (4/5)·15=20 euros.

No se debe olvidar que el porcentaje es una fracción con denominador 100. Así:

• El 20% de esa cantidad es 20%·15=(20/100)·15=3 euros
• El 60% de esa cantidad es 60%·15=(60/100)·15= 9 euros

En general, en lenguaje matemático, la expresión  "el tanto de un todo" representa el producto del tanto por el todo. "De" significaría agrandarse (si el tanto es mayor que 1) o empequeñecerse (si el tanto es menor que 1) de forma directamente proporcional.

Funciones de proporcionalidad directa e inversa

Las funciones de proporcionalidad directas e inversas, en el primer caso, son rectas que pasan por el origen y, en el segundo, hipérbolas con los ejes coordenados como asíntotas.

Función de proporcionalidad directa f(x)=kx

Función de proporcionalidad inversa g(x)=k/x