Las ecuaciones de la recta: Hacer Geometría desde el Álgebra

Las rectas se pueden convertir en ecuaciones usando el sistema de coordenadas cartesiano.
Así, las formas que toman las ecuaciones son importantes para que nos digan algo sobre como resolver los problemas de geometría lineal. Ya no hace falta dibujar.
Tenemos:
Las ecuaciones paramétricas, {x=x₀+ku; y=y₀+kv}, ((x₀,y₀) es un punto de la recta y (u,v) el vector director)
La ecuación explícita, y=mx+n (m es la pendiente y n la ordenada en el origen)
La ecuación continua, (x-x₀)/u=(y-y₀)/v ((x₀,y₀) es un punto de la recta y (u,v) el vector director)
La ecuación punto-pendiente, (y-y₀)=m(x-x₀) ((x₀,y₀) es un punto de la recta y m la pendiente)
La ecuación implícita o general, Ax+By+C=0, ((-B,A) es el vector director)
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Para resolver un problema geométrico usamos la ecuación más apropiada, por ejemplo para encontrar dónde se cortan dos rectas podemos usar sus ecuaciones explícitas o las implícitas y resolver el sistema de ecuaciones que se forma. Para encontrar una recta paralela a una dada que pasa por un punto, de la que conocemos su pendiente, podemos usar la punto-pendiente, sustituyendo los valores conocidos.
.......
Es la unión del Álgebra con la Geometría iniciada en el XVII por René Descartes que dio lugar a las diversas Geometrías.

Despejar, una estrategia

¿Cómo pasamos de la ecuación explícita de la recta, y=mx+n, a la continua, (x-a)/u=(y-b)/v? La estrategia es despejar x:
y-n=mx
(y-n)/m=x
(x-0)/1=(y-n)/m
donde a=0, b=m, u=1, v=m

Al revés, ¿como pasamos de la continua a la explícita? Ahora la estrategia es despejar y:
(v/u)(x-a)=y-b
y=(v/u)(x-a)+b
y=(v/u)x+[b-(v/u)a]
donde m=(v/u), n=b-(v/u)a

UNIDAD DIDÁCTICA: Medir longitudes a distancia

MOTIVACIÓN:
Cuenta la leyenda que Tales de Mileto consiguió medir la altura de las pirámides de Egipto. ¿Cómo lo hizo? Pues se ayudó del Sol y de la sombra que proyectan las pirámides en un momento dado. Claro está que no necesitó subirse a las pirámides, todo lo hizo sobre el terreno.

EXPERIMENTACIÓN:
En un instante dado, en la misma zona, todos los objetos verticales a los que les da el Sol tienen sombra. Si el objeto tiene poca altura, por ejemplo una persona o un árbol, podemos medir su sombra y su altura. La experiencia nos dice que todos los triángulos ABC que podemos formar representativos de cada situación tienen algo en común: En primer lugar son todos triángulos rectángulos y si movemos los objetos podemos hacer que los triángulos encajen porque los rayos de Sol son paralelos en ese lugar.

¿Qué significa esta propiedad geométrica? Pues que si medimos las sombras y las alturas de varios objetos a la vez obtendremos una secuencia de datos que cumplen la propiedad algebraica siguiente:

sombra/altura=constante

Dicho de otra manera, cuando, por ejemplo, la sombra sea el doble de la altura para un objeto lo es para cualquier otro. Con ello sólo tendríamos que esperar a que ocurriera este suceso, medir la sombra de la pirámide y entonces su altura sería la mitad de su sombra.

CONCEPTUALIZACIÓN:
Aunque la experiencia nos dice que cuando la sombra es el doble de la altura lo es para cualquier objeto, ¿cómo podríamos demostrar esta propiedad matemáticamente?.
Como los rayos son paralelos tenemos que los triángulos rectángulos encajan porque tienen un ángulo común en C=C'=C''

Hay que probar que en general se cumple que:

B'C'/A'B'=B''C''/A''B''

Si calculamos el área del triángulo grande tenemos:

Area(A'B'C')=B'C'·A'B'/2

Éste área es la suma del área del triángulo pequeño, Area(A''B''C''), y del trapecio que queda, Area(A'B'B''A'')

Entonces:

B'C'·A'B'/2=B''C''·A''B''/2+(A'B'+A''B'')·B'B''/2

de aquí, simplificando,

B'C'·A'B'=B''C''·A''B''+(A'B'+A''B'')·B'B''

B'C'·A'B'=B''C''·A''B''+A'B'·B'B''+A''B''·B'B''

teniendo en cuenta que B'B''=B'C'-B''C'',

B'C'·A'B'=B''C''·A''B''+A'B'·(B'C'-B''C'')+A''B''·(B'C'-B''C'')

B'C'·A'B'=B''C''·A''B''+A'B'·B'C'-A'B'·B''C''+A''B''·B'C'-A''B''·B''C''

0=-A'B'·B''C''+A''B''·B'C'

A'B'·B''C''=A''B''·B'C' y de aquí se obtiene,

B'C'/A'B'=B''C''/A''B''

PROCESAMIENTO:

Supongamos que una determinada pirámide de base cuadrada de 6 m de lado tiene una sombra de 24 m medida hasta base (asumimos que los rayos de Sol son perpendiculares al lado de la base), y, en ese mismo momento, un palo de alto 1'2 m tiene una sombra de 1'8 m. ¿Cuál es la altura de la pirámide?
La sombra real es de 24+3=27 m
La razón entre la sombra y la altura es constante. Llamando x a la altura de la pirámide, tenemos:
27/x=1'8/1'2
x=(27·1'2)/1'8=18 m

MECANIZACIÓN:
No es necesario esperar a que haga Sol para medir la altura de una pirámide, se puede construir un instrumento que haga el papel del rayo de Sol. Construimos un clinómetro con una tabla cuadrada de madera, un tubo que haga de visor y una plomada.

Con el visor vemos el vértice de la pirámide y nos fijamos en la plomada en que raya está. El triángulo ABC hace el papel del palo y su sombra, AB es la altura y BC la sombra. El lado BC ya se considera medido y en la regla graduada leemos AB. Luego medimos la distancia desde el punto de observación perpendicular a la base de la pirámide (d) y el lado de la pirámide (s). La altura se obtiene contando con la altura del observador (h), con la fórmula siguiente:

altura=h+AB·(d+s/2)/BC

CONSOLIDACIÓN:
Si queremos medir una altura inaccesible con ayuda de triángulos rectángulos debemos de tener:
1) Un triángulo rectángulo en el que la altura corresponde a la altura buscada.
2) Un segundo triángulo rectángulo más pequeño al que podemos medir su base y su altura. Este triangulo tiene que ser semejante con el primero, es decir, los lados deben de ser paralelos, o bien, los ángulos iguales (se pueden superponer en un vértice que no sea el del ángulo recto).

3) Como los lados son proporcionales, establecemos la proporción:

base1/base2=altura1/altura2

4) Despejando la altura1 tenemos:

altura1=base1·altura2/base2

sustituyendo los datos conocidos nos permite obtener la altura buscada.

EVALUACIÓN:

La unidades en las que se midan las distancias pueden ser distintas para el triángulo menor y para el mayor. Supongamos que la base1 son 14m y la base2=23cm y la altura2=15cm, entonces, por la proporción debe de salir una altura de menos de 14m:

14m/23cm=x/15cm

x=14m·15cm/23cm

los centímetros se cancelan y queda

x=210m/23=9'13m