COMPLEMENTARIEDAD DE LAS PRUEBAS DE LAS OPERACIONES ARITMÉTICAS

Las pruebas son complementarias desde los conceptos de particularidad y generalidad.

La resta es un caso particular de la división: c-a=b <=> c=a+b <=> c=a·1+b, es la prueba de la división de Euclides, haciendo una división incompleta porque b puede ser divisible por a, siendo c el dividendo, a el divisor, el cociente 1 y el resto b. Reciprocamente, la prueba de la división es el caso general de la prueba de las resta: D=d·c+r <=> D-r=d·c, se comprueba que la división está bien hecha si al restar el dividendo del resto da un múltiplo del divisor.

La múltiplicación tiene una prueba aproximativa que puede considerarse un caso particular de la prueba de la raíz: 12·15=180, entra dentro de lo esperado si se acota inferiormente con 12²=144, y superiormente con 15²=225, es decir 180=12²+r, y, 180=15²-s. La prueba de la raíz es el caso general, raiz(180,2)= 12²+34.

La potencia tiene como prueba la posibilidad de agrupar potencias más pequeñas factorizando la base: 12²=12·12=144, se comprueba haciendo, 12²=(3·2²)²=3²·2⁴=9·16=144. El logaritmo se obtiene factorizando el número sobre la base, con divisiones sucesivas, y se comprueba sobre la potencia: log₄64=3 <=> 4³=64

Esto apunta hacia la complementariedad de los estilos del APC.

LAS PRUEBAS DE CORRECTITUD DE LAS OPERACIONES ARITMÉTICAS

En lo que sigue se considera que las operaciones son manuales y con naturales.

SUMA

La suma no tiene una prueba de correctitud fiable, la única opción es revisar las operaciones dígito a dígito.

RESTA

La resta se comprueba con la suma, se hace sobre la misma operación de abajo a arriba. Se suma el resultado a sustraendo y tiene que dar el minuendo.

 452

-361

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 091

MULTIPLICACIÓN

La multiplicación no tiene una prueba fiable. Se puede hacer una acotación del resultado redondeando los multiplicandos por defecto y por exceso. Por ejemplo,
34·56=1904; 34·50<34·56<40·56

DIVISIÓN

La división tiene la regla de EUCLIDES, D=d·c+r, se basa en la multiplicación y en la suma.

POTENCIA
La potencia no tiene prueba fiable, la opción es hacer potencias sobre la factorización de la base y después multiplicar resultados. Por ejemplo, 
12³=1728=(3·2²)³=3³·2⁶=27·64=1728

RAÍZ

La raíz tiene una prueba a través de la potencia y el resto: 

n√(a)=b con resto c⟺a=bⁿ+c

LOGARITMO

El logaritmo tiene la prueba a través de la potencia, 

log_a(b)=c⟺a^c=b
se calcula la potencia y se comprueba.

APLICACIÓN DEL APC A LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ARITMÉTICOS

Problema 1: En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 l, 360 l, y 540 l. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales. Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se puedan envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el número de garrafas que se necesitan.

Es un problema INVERSO porque se va de la cantidad total de los toneles a la menor cantidad de cada garrafa. Es REGULAR porque todas las garrafas son del mismo tamaño. No es reiterado porque no hay más que un nivel, de los toneles a las garrafas.  No hay diferencias en los tamaños de las garrafas aunque si en el contenido inicial de los toneles. Hay que utilizar una TÁCTICA  para conseguir el objetivo de repartir el contenido de los toneles. Es un problema que se resuelve con la operación de DIVIDIR (estilo PERFECCIONISTA).

El contenido de cada garrafa tiene que ser un divisor común de los tres números, correspondientes al contenido de los toneles. Además como la capacidad de las garrafas debe ser máxima es un máximo común divisor de los tres números: m.c.d.(250, 360, 540)=10 l. Si se hace el reparto: 250:10=25 garrafas del primero tonel; 360:10=36 del segundo; 540:10=54 del tercero. En total: 115 garrafas.

Problema 2: Una matrioska es un souvenir típico de Rusia, y consiste en una muñeca que contiene en su interior otra de igual forma pero algo más pequeña, y así sucesivamente. El volumen de cada muñeca es 2/3 el de la anterior. Si la muñeca mayor ocupa 360 cm³ , ¿cuántas muñecas hay si la más pequeña ocupa 31’6 cm³ ? 

Es un problema INVERSO porque hay que ver cómo se va desde la matrioska grande a la pequeña reduciendo su tamaño. Es REGULAR porque las matrioskas van reduciendo su tamaño regularmente y es REITERADO porque hay varios niveles. Hay que utilizar una ESTRATEGIA para contabilizar cuántas veces se pueden meter unas muñecas dentro de otras hasta llegar a la más pequeña. Es un problema de LOGARITMOS (estilo ESTRATEGA).

Cada muñeca va reduciendo su tamaño en 2/3, es 1´5 veces más pequeña que la anterior. Se divide sucesivamente por 1´5 o se multiplica sucesivamente por 2/3, que es lo mismo, y se cuenta el número de veces que se puede hacer hasta llegar a 31´6. Entonces: 360·2/3=240; 240·2/3=160; 160·2/3=320/3; (320/3)·(2/3)=640/9; (640/9)·(2/3)=1280/27; (1280/7)·(2/3)=2560/81≈31´6 cm³ . En total hay 7 matrioskas.

Problema 3: Un albañil utilizó 4900 baldosas cuadradas de 20 cm. de lado para cubrir una habitación cuadrada. ¿Cuántos metros mide el lado de la habitación?

Es un problema INVERSO porque parte del total  de baldosas cuadradas que se van a poner en el suelo en filas y columnas. Es IRREGULAR porque no se tiene a priori el número de filas, puede variar en la aproximación de la solución. Es REITERADO, como es cuadrada la habitación, habrá igual número de filas y de columnas, y el número de baldosas será el producto de filas por columnas. Es un problema de RAÍCES CUADRADAS (estilo METÓDICO).

Se empieza suponiendo una cantidad de filas y columnas idénticas: filas=20, columnas=20, baldosas=202=400; filas =50, columnas=50, baldosas=2500;  filas=60, columnas=60, baldosas=3600; filas=60, columnas=70, baldosas=4900. Raíz(4900,2)=70. La longitud del lado de la habitación cuadrada serán las 70 baldosas que hay en una fila por 20 cm, 70·20=140 cm.

OPERACIÓN MENTAL vs OPERACIÓN ARITMÉTICA

SUMA:
1) Se tienen 7 naranjas y se juntan con 4 manzanas, ¿cuántas naranjas son?
No se pueden RELACIONAR, entonces solo hay 7 naranjas.
2) Se tienen 7 naranjas y se juntan con 3 naranjas, ¿cuántas naranjas son?
Sí se pueden RELACIONAR, entonces hay 7+3=10 naranjas

PARA SUMAR HAY QUE VER SI SE PUEDEN RELACIONAR LAS COSAS QUE SE JUNTAN

RESTA:
1) Se tienen 6 naranjas y se comen 3 manzanas, ¿cuántas naranjas quedan?
No se puede establecer un nexo entre comer manzanas y averiguar cuantas naranjas quedan. No se sabe si se han comido o no naranjas, en el caso de que no, quedarían 6.
2) Se tienen 6 naranjas y se comen 2 naranjas, ¿cuántas naranjas quedan?
La pregunta es pertinente, la respuesta es 6-2=4 naranjas, el nexo entre las 4 naranjas que quedan y las 6 que había son las 2 que se comieron.

PARA RESTAR HAY QUE VER SI SE PUEDE ESTABLECER UN NEXO ENTRE LO QUE HAY Y LO QUE QUEDA CON LO QUE SE QUITA

MULTIPLICACIÓN:
1) Se tienen 4 cajas, en la primera hay 3 naranjas, en la segunda otras 6, en la tercera 5 y en la cuarta 7, ¿cuántas naranjas hay en total en las cajas?
No hay la misma cantidad en todas las cajas por lo tanto para calcular el total de naranjas no hay más remedio que sumar el contenido de cada una de ellas, 3+6+5+7= 21 naranjas.
2) Se tienen 4 cajas y en cada una de ellas hay 5 naranjas, ¿cuántas naranjas hay en total?
Todas las cajas tienen el mismo número de naranjas, por lo tanto son 4 veces 5 naranjas, la solución es la multiplicación de estos dos números, 4·5=20 naranjas.

PARA MULTIPLICAR HAY QUE VER EL PARECIDO DE CADA UNIDAD, SI TODAS LAS UNIDADES SON EQUIVALENTES, ESTO ES, SI CONTIENEN EL MISMO NÚMERO DE ELEMENTOS 

DIVISIÓN:
1) Se tienen 22 naranjas y se reparten entre 4 niños de forma que cada uno recibe una naranja más que el anterior, ¿cuántas naranjas recibe cada uno?
No reciben la misma cantidad cada uno, reciben diferente, la opción es repartir inicialmente 1, 2, 3 y 4, en total 10 naranjas y las 12 que quedan dan para 3 por niño, en total 4, 5, 6 y 7, que hacen las 22.
2) Se tienen 22 naranjas y se reparten entre 4 niños de forma que cada uno recibe el mismo número de naranjas, ¿cuánto recibe cada uno?
Como no hay diferencia en lo que recibe cada uno, todos llevan la misma cantidad, se dividen las 22 naranjas entre 4 y sale a 5 naranjas por niño, y sobran 2. Se pueden repartir cada naranja sobrante a la mitad y se le da a cada niño 4’5 naranjas.

PARA DIVIDIR HAY QUE VER SI NO HAY DIFERENCIA EN EL REPARTO, SI TODAS LAS PARTES RECIBEN LA MISMA CANTIDAD

POTENCIA: 
1) Se tienen 4 camiones, en los dos primeros hay en cada uno 3 cajas conteniendo 6 naranjas cada una, en los dos siguientes hay 4 cajas conteniendo 5 naranjas cada una, ¿cuántas naranjas hay?
Las naranjas de cada camión no son las mismas, los dos primeros camiones contienen el mismo número de cajas y de naranjas en cada una y, los dos siguientes también contienen igual número de cajas y de naranjas cada una. Por tanto hay que hacer por separado el computo: 2·3·6+2·4·5=36+40=76 naranjas.
2) Se tienen 4 camiones, en cada uno hay 4 cajas conteniendo cada una 4 naranjas, ¿Cuántas naranjas hay?
No hay que separar el cómputo, todo forma una unidad homogénea, los camiones tienen el mismo número de cajas y estas de naranjas, además, contienen uniformemente las mismas cantidades de camiones, cajas y naranjas. El total de naranjas es 4·4·4=43=64.

PARA CALCULAR UNA POTENCIA HAY QUE COMPROBAR SI EL CONJUNTO NO HAY QUE SEPARARLO, SI CONSTITUYE UNA UNIDAD UNIFORME EN TODAS SUS DIMENSIONES

RAÍZ:
1) Se quieren repartir 76 naranjas en camiones, en cada camión hay cajas y cada caja puede contener un número determinado de naranjas, ¿cuántos camiones, cajas en cada camión y naranjas en cada caja hay que poner?
Lo primero es darse cuenta de que no hay un reparto equilibrado necesariamente, no se sabe las necesidades que hay, puede haber distintos camiones, distintas cajas por camión y distintas naranjas por caja. Esto lleva a hacer un reparto arbitrario y hay muchas opciones. 
2) Se quieren repartir 64 naranjas en camiones que contienen cajas para llevar las naranjas, el número de camiones, cajas y naranjas por caja deben de ser iguales, ¿cuántas naranjas hay por caja, cajas por camión y camiones se necesitan?
Ahora hay un reparto equilibrado, se necesitan igual número de camiones que de cajas por camión, que de naranjas por caja; se empieza por una cantidad común y se comprueba si el cálculo de naranjas da el total o falta, o sobra. Si fuese 2 el número común, serías 2³=8 naranjas, aun faltaría, si fuese 3 serían,  3³=27 naranjas, aún falta, si fuesen 4 sería, 4³=64 naranjas, el número total. La RAÍZ(64;3) =4. Se necesitan 4 camiones, 4 cajas por camión y 4 naranjas por caja.

PARA CALCULAR UNA RAÍZ  HAY QUE COMPROBAR QUE LO QUE HACE FALTA SEA COMÚN EN TODOS LOS NIVELES

LOGARITMO:
1) Se tienen 60 naranjas que se van a repartir en cinco partes iguales, cada parte en cuatro partes iguales, y así sucesivamente disminuyendo una vez el número de partes cada vez, ¿cuántas divisiones se pueden hacer hasta que quede una sola naranja?
Las divisiones de las partes no son iguales, entonces en cada caso hay que dividir por un número diferente comprobando que no se pase de 1. Se divide 60:5=12, ahora 12:4=3 y 3:3=1. Se pueden hacer tres divisiones.
2) Se tienen 625 naranjas, se dividen en cinco partes y cada parte se vuelve a dividir en cinco partes, y así sucesivamente, ¿cuántas divisiones se pueden hacer hasta quedar con una sola naranja?
El número por el que se divide siempre es el mismo, 625 se puede repartir en 5 partes, por lo tanto hay que dividir sucesivamente por 5 hasta que quede sólo una naranja, que se supone que ya no se va a repartir. Entonces 625:5=125; 125:5=25; 25:5=5; 5:5=1, cuatro divisiones, es decir, el log_5⁡(625)=4.

PARA CALCULAR UN LOGARITMO HAY QUE COMPROBAR QUE CADA DIVISIÓN DE CADA PARTE SE HAGA EN IGUAL NÚMERO DE PARTES E IR VIENDO SI SOBRA SUFICIENTE EN CADA PARTE PARA REPARTIR

APRENDIZAJE DE LA RAIZ

El aprendizaje de la RAÍZ: La raíz es una operación INVERSA de la potencia, a partir del resultado de la potencia, el radicando, y del exponente, el índice, hay que averiguar la base de la potencia, el resultado de la raíz. No es repetida en el sentido de que haya que dividir repetidamente por un mismo número porque precisamente es lo que se busca, lo que se puede hacer es tantear, de forma IRREGULAR, potencias que acoten el radicando. En ese sentido al utilizar potencias es una operación REITERADA. Si se quieren juntar 343 € en el tercer paso, consiguiendo en cada paso multiplicar por una cantidad fija lo anteriormente conseguido, pues sería empezando por juntar siete euros y en cada paso ganar siete veces más que en el anterior.

·       El Metódico se ocupa de la Permanencia, completa la lista de los resultados obtenidos, usa el pensamiento INVERSO IRREGULAR REITERADO,  generaliza en un método. Por ejemplo: En la fiesta de cumpleaños de mi hermano pequeño había 128 caramelos para repartir. Después del reparto cada niño tenía tantos caramelos como niños había. Si sobraron 7 caramelos, ¿cuántos niños había? Respuesta: El primer paso es descontar los 7 caramelos que sobran, 128-7=121. Ahora se supone una cantidad de niños y de caramelos y se multiplica hasta llegar a 121; suponiendo que hay 5 niños y son 5 caramelos por niño, serían 25 caramelos, queda corto; aumentamos a 10 niños y 10 caramelos por niño, son 100 caramelos, queda corto; aumentamos a 12 niños y caramelos, son 144 caramelos, se pasa; si fuesen 11 niños, y 11 caramelos por niño, da 11·11=121 caramelos, justo lo que se repartió.

UNIDAD DIDÁCTICA: ¿Cómo multiplicar a mano?

MOTIVACIÓN: El INTERÉS de multiplicar está en poder avanzar más rápido en las sumas cuando se repite el sumando. ¿Cuántas ruedas hay en 10 coches? Un coche tiene 4 ruedas, luego se suman las 4 ruedas 10 veces, 4+4+4+4+4+4+4+4+4+4=40.

FUNDAMENTO: La IDEA para multiplicar rápido estaría en contar de tanto en tanto, en lugar de uno en uno. En el ejemplo anterior se cuenta de 4 en 4 ruedas hasta 10 veces, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40. También se puede contar de 1 en 1 rueda por ronda de coches, que sería lo mismo que contar de 10 en 10 coches cuatro veces, 10, 20, 30, 40.

ESTRUCTURA: El CONCEPTO de multiplicación como suma repetida tiene que permitir multiplicar dos números cualesquiera. Para empezar se puede usar la propiedad conmutativa, es lo mismo 30·4 que 4·30, por lo tanto será mejor contar de 30 en 30, 4 veces, 30, 60, 90, 120. Lo que se observa es que en el recuento de tanto en tanto se reutiliza el recuento de por unidades, para ello se debe de hacer una descomposición del número en unidades, decenas, centenas,…, y se hace el recuento independiente. Esto sería la propiedad distributiva. Por ejemplo 5·36= 5·30+5·6. El recuento de 5 veces 30 es, 30, 60, 90, 120, 150 y el de 5 veces 6, 6, 12, 18, 24, 30. Entonces hay que sumar 150 y 30, 150+30=180

TÁCTICA: Para PROFUNDIZAR en cómo hacer la operación de multiplicar, hay que descomponer multiplicando y multiplicador. Por ejemplo para multiplicar 25·346 se considera, 25=20+5 y 346=300+40+6. Entonces 25·346=(20+5)·(300+40+6)=20·300+20·40+20·6+5·300+5·40+5·6=2·10·3·100+2·10·4·10+2·10·6+5·3·100+5·4·10+5·6=6000+800+120+1500+200+30=8650

TÉCNICA: Para AUTOMATIZAR las operaciones hay que dominar los productos de los diez primeros números. Para ello se memorizan las tablas de multiplicar:

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	0	3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	0	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	0	6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	0	7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	0	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	0	9	18	27	36	45	54	63	72	81

Entonces 25·346 se puede hacer con ayuda de las tablas, la del 2 y la del 5. Se añaden los ceros oportunos.

20·6=120

20·40=800

20·300=6000

5·6=30

5·40=200

5·300=1500

La suma de todos los resultados es 8650

MÉTODO: El PROCEDIMIENTO para multiplicar se puede hacer conjuntamente con la suma final poniendo un número sobre el otro, el multiplicando y el multiplicador. Se empieza por las últimas cifras y se van colocando los resultados de las multiplicaciones acumulando lo que se lleva.

		3	4	6
		x	2	5
	1	7	3	0
+	6	9	2	0
	8	6	5	0

ESTRATEGIA: ¿Cómo COMPROBAR que la operación del multiplicar está bien hecha? No hay una prueba fiable 100% que diga que la operación está bien hecha. Hay la prueba del 9 pero no es segura. La opción es repasar las operaciones individuales. Hoy en día hay calculadoras que nos confirman que está bien hecha. Se puede hacer un tanteo de resultados por exceso y por defecto, 25·346 estará entre 20·300=6000 y 30· 400=12000. Se puede afinar más, estará entre 25·300=7500 y 25·400=10000.