¿Dónde hay métodos en Matemáticas?

En el Álgebra encontramos el método de la división de Ruffini:
Por ejemplo para realizar la división (x²-5x+6):(x+4) por dicho método, debemos utilizar los coeficientes del dividendo (1  -5   6) y el termino de grado cero del divisor cambiado de signo (-4)
       1   -5    6
-4         -4   36
----|-----------------
       1   -9   42

1) El primer término, el 1, baja sin más
2) Se multiplica -4 por 1 y el resultado , -4, se pone debajo del -5.
3) Se suma -5 con -4, dando -9.
4) Se multiplica -4 por -9 y da 36 que se pone debajo del 6
5) Se suma 6 y 36 dando 42 que se pone al final.

El cociente es el polinomio de coeficientes 1 y -9, o sea, x-9, y el resto es el último número de la fila inferior, o sea, 42.

¿Qué es un método matemático?

¿Dónde hay reglas en Matemáticas?

En el álgebra, por ejemplo en los productos notables:

• El cuadrado de la suma es igual al cuadrado del primero, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.
• El cuadrado de la resta es  igual al cuadrado del primero, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

En Aritmética, por ejemplo en las operaciones con potencias:

• El producto de potencias de la misma base, es igual a una potencia con la misma base y de exponente la suman los exponentes.
• El cociente de potencias de la misma base es igual a una potencia con la misma base y y de exponente la resta de los exponentes.

En Análisis, por ejemplo en la derivada de operaciones de funciones:

• La derivada de la suma de funciones es igual a la derivada del primero por el segundo sin derivar, más la derivada del segundo por el primero sin derivar.
• La derivada del cociente de funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador sin derivar menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador, dividido todo por el denominador al cuadrado.

¿Qué es una regla matemática?

Consumo sostenible

Parte de los resultados del aprendizaje preferencial se recogen en la wiki de consumo sostenible. Esta wiki es un intento por llevar a la práctica con alumnos estas ideas en colaboración con otros profesores.
https://consumosostenible.wikispaces.com/

Aprendizaje preferencial complementario

El aprendizaje se puede ver como un proceso continuo que de alguna forma tiene etapas.  Cuando queremos aprender algo debemos de contar con una Orientación, un deseo de aprender, algo que nos motive para poder llegar al final  (en este punto tiene que surgir una llamada a la acción sobre la realidad, es la búsqueda de nuevas posibilidades). Hay que contar con algo valioso aprendido previamente que permita establecer un Razonamiento que nos permita discurrir como se llega a alcanzar el nuevo conocimiento (este es un proceso concreto y pasivo, en cuanto a que hay que detenerse a recordar y observar). Los nuevos conocimientos se crean a partir de esos valores y se van estructurando constituyendo los Conceptos (este es un proceso teórico, más propio de un pensamiento sintético). Los nuevos saberes se Trabajan para verificar hasta qué punto permiten alcanzar los objetivos del aprendizaje (esta fase es operativa, propia de un pensamiento funcional). Una vez que se ha visto que lo que sabemos funciona, la fase siguiente es la mecanización de lo aprendido, la construcción de nuevos productos del conocimiento, es la búsqueda de Técnica y herramientas que permitan obtener resultados evitando trabajos innecesarios (es la fase práctica).  La consolidación del aprendizaje es la siguiente fase, aquello que hemos aprendido bien debemos de mantenerlo en el tiempo, es la base de nuestro futuro conocimiento, así el aprendizaje se convierte en Metodo (es cuando se organiza lo aprendido). Por último está la etapa Evaluativa en la que aprendemos a establecer criterios sobre cómo se hace un buen aprendizaje. Si se ha aprendido algo importante se debe de concluir estableciendo un criterio que nos permita juzgar lo que está bien hecho (es el espíritu crítico).

Proceso

1.- MOTIVACIÓN
2.- VALORES
3.- CONOCIMIENTOS
4.- TRABAJOS
5.- PRODUCTOS
6.- MÉTODOS
7.- EVALUACIÓN
1.-.........................

¿Cómo encontrar la función?

1º) Se trata de averiguar cómo funciona el taxímetro con los datos que se han visto en el trayecto.
2º) El precio del trayecto depende de un fijo inicial (fase 1) y de un incremento rítmico que depende del tiempo (fase 2). Se va acumulando todo. Se trata de averiguar como se calcula el precio del trayecto en función del tiempo transcurrido o del número de saltos que da el contador.
3º) Se tiene como datos el fijo inicial de bajada de bandera, el coste final de subida de bandera y el tiempo transcurrido. También hay una estimación del número de saltos del contador por minuto.
4º) Si descontamos el precio inicial del fijo inicial se tiene el coste que se acumuló según el tiempo transcurrido. De esta forma, este dinero es el que depende del tiempo.
5º) El coste del trayecto dependiendo sólo del tiempo se divide entre el tiempo total y da el coste que se acumula por minuto. Como se estima el número de saltos por minuto se puede dividir el coste por minuto entre el número de saltos por minuto y se tiene el coste por salto.
6º) Para calcular cualquier trayecto hay que sumar al fijo inicial (bajada de bandera) el número de saltos del contador multiplicado por el precio por salto. También se puede sumar el fijo con el número de minutos transcurridos multiplicado por el coste por minuto.
7º) En este caso: Coste=1'15+tiempo(min)·0'8=1'15+nº de saltos·0'2
Si el tiempo fue de 13 minutos, Coste(13min)=1'15+13·0'8=11'55 euros

¿Cómo funciona?

Al subir a un taxi un viajero se fijó en que el taxímetro marcaba 1'15 euros. Durante el trayecto, a períodos regulares de tiempo, el taxímetro se iba incrementando, hasta que después de 13 minutos viajando en el taxí este se detuvo en el destino indicado. El marcador marcaba 11'55 euros al final.
El viajero preguntó:
--¡Oiga señor taxista!¿Cómo funciona el taxímetro?
Este le respondió todo amable:
--Hay una tarifa inicial, la bajada de bandera, que es de 1´15 euros. Es un fijo para cualquier trayecto. Después, el aparato, con ayuda de un reloj interno, va sumando una cantidad fija cada poco tiempo.
Cuando llegó a su casa, el viajero aún runruneaba algo en su cabeza:
--La carrera me costó 11'55, el fijo inicial fue de 1'15, entonces la maquina contó 11'55-1'15=10'4 euros. El viaje fue de 13 minutos, luego acumuló 10'4:13=0'8 euros el minuto.
Estimó mentalmente que el contador saltaba cada 15 segundos, y dijo en alta voz:
--¡Eureka! ¡El contador suma 20 céntimos cada 15 segundos!.

Flujo del modelo

1º) La división es la operación inversa de la multiplicación, o sea, comprobar cuantas veces cabe un número en otro.
2º) Se trata de dividir un número D (>0) entre otro d (>0) por restas sucesivas.
3º) Si d>D entonces el cociente es 0 y el resto es D y se acaba la división. Si d<=D entonces se continúa.
4º) Se multiplica d por un entero positivo n elegido de tal forma que d·n<=D.Se anota el valor de n.
5º) Se resta D-d·n, cuyo resultado es el nuevo valor de D.
6ª) Si d<=D, entonces se vuelve al paso 3º), sino la división terminó y se continúa en el siguiente punto.
7ª) Se suman todos los valores de n que se anotaron y eso es el resultado del cociente C. El resto es lo que quedó de D sin poder restar más, R. Se comprueba que el resultado es correcto viendo que D=d·C+R

Modelo: Calcular una división

La división es la operación inversa de la multiplicación, esto quiere decir que si la multiplicación son en su origen sumas repetidas, entonces la división son restas repetidas. Vamos a dividir 13423 entre 48. Se trata por tanto de ver cuántas veces podemos restar de 13423 el 48. Llevamos un cómputo:
1º restamos 100 veces 48, 13423-4800=8623
2º restamos otra vez 100 veces 48, 8623-4800=3823
3º ahora restamos 50 veces 48, 3823-50·48=1423
4º ahora restamos 20 veces 48, 1423-20·48=463
5º ahora restamos 8 veces 48, 463-8·48=79
6º sólo podemos restar una vez 48, 79-48=31
7º ya no se puede restar más.
En total se han restado 100+100+50+20+8+1=279 veces 48 y sobran 31. El cociente es 279 y el resto 31.
Podemos comprobar que está bien si multiplicamos 279 por 48 y sumamos 31, tiene que dar 13423.

Estructura utilizada en la resolución del problema

1º) Para resolver el problema se decide utilizar una estructura algebraica. Se usan incógnitas para representar lo desconocido y se convierten las relaciones entre las incógnitas en ecuaciones.
2º) Se tienen dos animales diferentes, vaca y oveja, que consumen por separado en un determinado tiempo la provisión de pienso (27 días y 54 días, respectivamente). La vaca acaba antes el pienso que la oveja. Se quiere averiguar en cuánto tiempo se comen el pienso los dos animales juntos.
3º)  Si se llama x la cantidad de pienso que se come una vaca en un día, e y a la cantidad que se come una oveja en un día. Si P es la cantidad de pienso total, entonces, por proporcionalidad: x=P/27, e y=P/54. Si T es el tiempo que tardan en comer el pienso los dos animales su velocidad es z=P/T
4º) Se pueden emplear todas las propiedades de la resolución de ecuaciones para poder resolver el problema. Hay una propiedad fundamental, y es, que la velocidad con que comen los dos animales juntos es la suma de las velocidades individuales: z=x+y. De igualar P en las dos primeras ecuaciones obtenemos que x=2·y, que es una relación importante para sustituir x en función de y.
5º) Se trata de despejar T, para ello se dispone de 4 ecuaciones con 5 incógnitas. Se pueden despejar incógnitas en unas ecuaciones y sustituir en otras, intentando eliminar incógnitas a la vez que se eliminan ecuaciones.
6º) Para averiguar T, se despeja en la tercera: T=P/z, se sustituye z por x+y, T=P/(x+y). Ahora si sustituimos x e y por sus expresiones en función de P, conseguimos una expresión de T que depende de P, que simplificando se elimina y da la solución. También se puede poner todo en función de y con lo que resulta más facil de resolver.
7º) Llegamos al final al obtener el valor de T. Conviene revisar si la solución es correcta, para ello hay que recobrar el sentido de todo lo que se ha calculado.

Resolver un problema

Un labrador tiene pienso para alimentar una vaca durante 27 días, y si fuera a una oveja, para 54 días. ¿Para cuánto tiempo tendría pienso si tuviera que alimentar a la vaca y a la oveja?

Lo que consume de pienso una vaca por día le llamamos x. Lo que consume una oveja por día le llamamos y. La cantidad de pienso total es por tanto P=27·x=54·y
Si los dos animales están juntos consumen al día x+y, y el tiempo que les dura el total de pienso es T=P/(x+y)
Entonces, de la primera ecuación tenemos que x=2·y. Sustituimos en la segunda en función de y: T=54·y/(2·y+y)=54/3=18 días
¿Cómo comprobar que está bien? Vamos a dar sentido a lo que obtuvimos: Si x=2·y, entonces es que lo que consume una vaca por día es el doble de lo que consume una oveja. Si juntamos una vaca y una oveja, entonces, equivale a tres ovejas. Una oveja come todo el pienso en 54 días, entonces las tres ovejas lo comeran en la tercera parte de tiempo, 54/3=18 días.

Etapas de la demostración de la fórmula

1º) Se trata de encontrar la fórmula que permite obtener el área del rombo

2º) Se parte de la figura de un rombo y del que se pueden conocer sus dos diagonales D y d.

3º) Suponemos que la fórmula del área del cuadrado de lado l es conocida.

4º) Se descomponen las figuras más complejas en figuras simples de las que se puedan calcular sus fórmulas.

5º) El rectángulo se puede considerar como formado por cuadrados de lado unidad. El romboide se transforma en un rectángulo si quitamos un triángulo de una de sus esquina y lo pegamos en el otro extremo. El romboide se puede dividir por su diagonal y da dos triángulos iguales. Por último, el rombo se puede descomponer como el romboide

6º) Se argumenta a la inversa, se parte de que el rombo es suma de dos triángulos (dividiéndolo por una de sus diagonales) lo cual lleva a tener que buscar la fórmula del área del triángulo, que podemos sacar si se tiene la del romboide, que es suma de dos triángulos iguales. Pero la del romboide puede obtenerse de la del rectángulo, que a su vez se puede calcular de la del cuadrado. Ahora se hace la demostración desde el cuadrado hasta el rombo.

7º) Se finaliza cuando se consigue llegar a la fórmula del área del rombo

La fórmula del área de un rombo

La fórmula del area del rombo es:
A=(D·d)/2
donde D es la diagonal mayor y d la diagonal menor.
¿Por qué con esta operación se obtiene el área del rombo? Vamos a demostrarlo siguiendo una lógica.
Partimos de que el área de un cuadrado es A=l·l, lado por lado. Si en lugar de un cuadrado se tiene un rectángulo de base b y altura h, se puede considerar que está formado por cuadrados de lado 1, h filas y b colunas de cuadrados unitarios, entonces su área es el número de cuadrados, A=b·h
Si tenemos un romboide de base b y altura h, podemos rectificarlo en un rectángulo, de base b y altura h, entonces el área del romboide es A=b·h. Un triángulo puede considerarse como medio romboide, dividido por la diagonal, luego el área del triángulo es, A=b·h/2. Un rombo se puede dividir a la mitad por la diagonal de longitud D y se obtienen dos triángulos iguales de base D y altura d/2. El área es: A=(D·d/2)/2+(D·d/2)/2=((D·d/2)+(D·d/2))/2=(D·d)/2

Pasos del método de la búsqueda de una palabra en un texto

1º) Se trata de que se le va a decir a un ordenador cómo encontrar el número de veces que se usa una palabra patrón en un texto
2º) Se parte del texto formado por una secuencia de palabras y del patrón a buscar.
3º) Las palabras son secuencias de letras que acaban en el primer blanco o coma o punto que se encuentren.
4º) Para comparar se ve letra por letra (en el sentido de la lectura) si van coincidiendo patrón y palabra investigada. Si falla una letra, no coinciden, y si todas son iguales, ha ocurrido una coincidencia que se anota. Se acumula el contador de ocurrencias en uno si se encuentra.
5º) Una vez comparada una palabra se elige la siguiente palabra del texto mientras siga habiendo.
6º) Se vuelven a repetir los pasos 4º y 5º.
7º) Si se llega al final del texto (el punto y final), se acaba la búsqueda y se devuelve el número de ocurrencias.

Un método para buscar una palabra en un texto

Dado el texto:

Yo por bien tengo que cosas tan señaladas, y por ventura nunca oídas ni vistas, vengan a noticia de muchos y no se entierren en la sepultura del olvido, pues podría ser que alguno que las lea halle algo que le agrade, y a los que no ahondaren tanto los deleite.

Buscar las veces que aparece la palabra "que".
Hay que ir palabra por palabra, empezando por la primera comparandola con "que". Si coincide se anota una ocurrencia.
Así podemos comprobar que "que" aparece 4 veces en el texto del Lazarillo de Tormes, es la 5ª, la 33ª, la 35ª, la 40ª y la 46ª palabra.
La búsqueda finaliza cuando se llegue a la última palabra.

Esquema del juego de cruzar el río

El juego consta de:
a) Un número determinado de jugadores
(2 jugadores)
b) Un tablero, unas fichas y dados
(el tablero con las 12 casillas, 10 fichas y dos dados)
c) Una posición inicial de las fichas en el tablero
(cada jugador posiciona sus fichas en sus casillas, pudiendo colorar varias fichas en un misma casilla)
d) Una modo de realizar los movimientos
(se lanzan los dos dados y se suman los resultados)
e) Reglas que indiquen que hacer en cada caso

(si la suma coincide con una de las casillas ocupadas se quita una ficha significando que cruza el río)

(si ambos jugadores tienen fichas en opción de saltar el río porque coinciden en el mismo número de casilla realizan el salto a la vez)

f) Una estrategia de juego para conseguir ganar
(si no coincide, cada jugador puede cambiar de posición una de sus fichas buscando mejorar opciones)
g) Un final de partida

(finaliza la partida cuando un jugador haga saltar el río a todas sus fichas)

(puede acabar en empate si ambos jugadores finalizan conjuntamente)

El juego de cruzar un río

El juego es para dos jugadores con un tablero que representa un río en el que los jugadores ponen sus cinco fichas, cada uno en su orilla. Las orillas tienen casillas numeradas del 1 al 12. En cada casilla se pone el número de fichas que se desee. En cada jugada los jugadores lanzan sus dados y suman los resultados de los dos dados.

Reglas del juego:

1) Si el número resultante de la suma coincide con el de una casilla ocupada por una ficha, en cualquier orilla, la ficha cruza el río y se quita del tablero.

2) Cada jugador puede reposicionar sus fichas antes de cada tirada si no cruzó con una ficha el río en la jugada previa.

3) El primero que haga cruzar sus fichas gana la partida.

La partida puede terminar en tablas si pasan los jugadores su última ficha a la vez.

La cuestión que deben de contestar cualquiera de los dos jugadores es: ¿cuáles son las mejores posiciones para colocar las fichas?

Estrategia de la malla

Si establecemos una malla que recubra la figura tendremos:

• 94 rectángulos interiores
• 45 rectángulos en el borde, que son de distinto tamaño y podemos suponer que sólo la mitad corresponde al área, son por tanto, 22'5 rectángulos.
• Total: 94+22'5=116'5 rectángulos.

Si el área de un rectángulo es a unidades cuadradas, el área final es aproximadamente:

A=116'5·a unidades cuadradas

Estrategias

¿Cómo aproximar el cálculo del área de una figura poligonal irregular?

Se quiere averiguar el área de la figura siguiente, ¿cómo hacerlo?
Estrategia 1: Dividir la figura en triángulos y medir sus bases y alturas y calcular sus áreas.
Estrategia 2: Dividir la figura en triángulos, medir sus lados y calcular sus áreas con la fórmula de Herón.
Estrategia 3: Meter la figura en un rectángulo, medir el área de los triángulos que complementan la figura en el rectángulo y descontar sus áreas de la del rectángulo.
Estrategia 4: Aproximar la figura con figuras rectángulares, internamente, externamente o superponiendólas, y calcular sus áreas.
Estrategia 5: Dividir el papel con una malla suficientemente fina como para contar los cuadraditos que aproximen a la figura dada.

Una idea: Las Constantes

Vamos a desarrollar la idea de las constantes:

a) La razón entre el dinero pagado con bono en la guagua y el número de viajeros que van es constante, vale 0'65 en nuestra ciudad a lo largo de este año mientras no suba el precio del bono. Representa el precio por viajero.

b) La razón entre la masa de un volumen de agua en kilos y dicho volumen en litros es constante y vale 1'03. Al menos mientras no cambien las unidades de masa y volumen, que no van a cambiar en mucho tiempo, y también, hay que decir que este resultado es un promedio. Habría mares con distintas razones. Representa la densidad del agua de mar.

c) La razón entre lo que pagamos al pescadero y los kilos de merluza que llevemos es constante, ahora mismo puede estar en los 12 euros, pero esta constante tiene poca vigencia, puede cambiar en cortos períodos de tiempo. Representa el precio por kilo que nos recuerda el cartelito que hay encima del pescado.

d) La razón entre las sombras que proyectan palos de distinta altura y su longitud, en un determinado instante, es constante, y sólo depende de la inclinación de los rayos del Sol. Representa una de las razones trigonométricas del ángulo.

e) La razón entre el espacio recorrido en autopista, en kilómetros, y el tiempo transcurrido, en horas, yendo a la máxima velocidad que permite la ley, es 110. Representa ese límite de velocidad que aparece en los letreros de la autopista.

El valor de las constantes

Los precios de los productos que hay en el mercado son constantes, al menos durante un tiempo si no los sube el propietario, lo cual nos permite controlar la economía doméstica. Así, el precio de un kilo de café en una determinada época puede ser de 2 euros, un valor constante mientras no suba. En ese período en que es constante, utilizamos el dato para realizar cálculos con el que hacer compras de ese café. Por ejemplo, si queremos comprar 4 kilos de café multiplicamos 4·2 y nos da 8 euros. Si fuesen 5 kilos, serían 5·2=10 euros. Lo que tenemos delante es una fórmula que nos permite obtener el precio a pagar según los kilos que se compren. Pero también, podemos calcular la cantidad de café que podemos comprar con ese dinero. Por ejemplo, con 15 euros se pueden comprar 15/2=7'5 kilos de café. Podemos calcular los kilos según el dinero que queramos gastar. Ambas situaciones las podemos representar por la expresión:

precio/2=kilos de café

precio=2·kilos de café

o bien,

precio/kilos de café=2

Cuando dos magnitudes tiene una relación de este tipo, el cociente entre sus valores correpondientes es constante, se dice que son directamente proporcionales:

y/k=x

y=k·x

o bien,

y/x=k

Estas constantes son temporales por lo que la validez de las fórmulas depende de lo que estén vigente esas constantes, pero hay otras magnitudes que no cambian sus constantes de proporcionalidad directa. Por ejemplo, la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro siempre es pi=3'1415... También, la razón entre la altura de cada uno de los árboles de una alameda y su sombra, en un instante dado, también es constante, y está relacionada con la inclinación de los rayos de sol que haya en ese momento.

Tantos por ....

Hay proporcionalidad directa entre dos magnitudes relacionadas cuando la razón entre los valores medidos, en cualquier instante o lugar, es constante. 

Por ejemplo, si un coche va a velocidad constante significa que la razón entre el espacio recorrido y el tiempo transcurrido en todo momento es constante, las magnitudes espacio y tiempo son en este caso directamente proporcionales.

Si el coche tarda 2h en recorrer 120 km, entonces, la razón constante es 120/2=60 que representa lo que recorre en una hora, lo que llamamos velocidad del coche. Representa el tanto por uno, el espacio recorrido en una hora.

Otro ejemplo, si en una tienda rebajan por fin de temporada 12 euros en un vestido que costaba 120 euros, si suponemos que la razón entre el descuento y el precio antiguo debe de permanecer constante, entonces por un hipotético vestido de 100 euros deben de descontar una cantidad x que encontramos igualando la razón en los dos casos:

12/120=x/100

x=12·100/120=10 euros.

Hacen una rebaja de 10 euros por cada vestido que cueste 100 euros, es el tanto por ciento de descuento, el 10%.

Unas veces interesa presentar la razón constante de proporcionalidad como el tanto por uno y otras como el tanto por ciento. Pero también hay más representaciones de la razón de proporcionalidad directa.
Otro ejemplo, en una población de 25000 habitantes nacen al año 24 nuevos individuos. Si medimos el número de habitantes que nacerían en la misma proporción en una población de 1000 habitantes tendríamos:

24/25000=x/1000

x=24·1000/25000=0,96 habitantes

Aproximadamente nace un nuevo individuo por cada mil habitantes, es el tanto por mil, 0,96º/oo
El tanto por millón se denota como ppm, partes por millón, y se usa en cuestiones de concentraciones de pequeñas partículas. Por ejemplo, si se estudia la concentración de materia orgánica que hay en una zona del océano y se llega a que hay 567 mg de ese tipo por cada millón de mg de agua del océano (1 Kg), tenemos una concentración de 567 ppm. Siguiendo el mismo razonamiento también se puede hablar de partes por billón, ppb.

Ambigüedades a favor

En matemáticas se utilizan ciertas ambigüedades en beneficio de una mayor simplificación. Una de ellas es la de usar indistintamente el signo menos de los números negativos y el operador de la resta. Veamos un ejemplo: si tengo 6 euros y contraigo una deuda de 4 euros, dispongo de 2 euros en propiedad; si tengo 6 euros y gasto 4 me quedan 2.

6 + (-4) = 2 ; 6 - 4 = 2

El guión de menos cuatro representa en el primer caso al número negativo, la deuda, y en el segundo a la resta, el gasto. Las expresiones son equivalentes porque dan el mismo resultado:

6 + (-4) ~ 6 - 4

y podemos poner:

6 + (-4) = 6 - 4 = 2

con lo cual el simbolo de igualdad y equivalencia se equiparan. Me quedo igual en ambos casos, con sólo 2 euros.

Lenguaje algebraico

Una propiedad: La suma de dos naturales es independiente del orden en que se haga. a+b=b+a 
Una regla: Si la suma de los dígitos de un número es múltiplo de 3 el número es divisible por 3.
Una función: En una recta la razón entre el incremento de la ordenada y de la abscisa es constante. y=mx+n
Una fórmula: El área del círculo es igual a pi veces el radio al cuadrado. A=π·r²
Un método: Para sumar fracciones con igual denominador se pone como numerador la suma de numeradores y como denominador el denominador común. a/b+c/b=(a+c)/b

Operaciones con enteros

Los números enteros los forman los enteros positivos +1, +2, +3, +4,....., el cero, 0, y los enteros negativos, -1, -2, -3, -4,... Salvo el cero, todos los enteros tiene signo, y nos sirven, por ejemplo, para medir las temperaturas. El cero es el que correponde al punto de congelación del agua, por encima de cero es la temperatura que hace un día soleado y por debajo, cuando nieva. El refrigerador suele estar a 5ºC (+5) y el congelador a -15ºC (-15). Por los general, en los Polos necesitamos medir la temperatura ambiente con los números negativos y en el Ecuador con los positivos.

Para sumar y restar utilizamos los mismos signos, + y -, que empleamos para indicar los enteros positivos y negativos. En principio esto supondría una dificultad, usar el mismo signo para representar dos cosas diferentes. Sin embargo esta desventaja se convierte en virtud, ya que resulta engorroso estar continuamente poniendo un signo menos o más delante de los números. Para simplificar se asume que el signo más para los positivos no es necesario ponerlo, por defecto si un número no tiene signo suponemos que es positivo. Así +3=3. Solamente usamos el signo menos para indicar un número negativo y, si está  implicado en medio de operaciones, hay que usar el paréntesis para estos números cuando operamos con ellos. Así +4+(-5) = 4+(-5). Aquí viene la ventaja de usar el mismo signo para la operación y para especificar el número, puesto que sumar a un número positivo uno negativo (bajar la temperatura en los ejemplos), es equivalente a restar a ese número positivo el opuesto del negativo. Por ejemplo: 4+(-5) = 4-(+5) = 4-5. Es decir, se cumple la regla del producto de signos, + · + = +, + · - = -, - · + = -, - · - = +, que permite simplificar el tema de los signos y los paréntesis, hasta el punto de convertir todo en sumas y restas de positivos. Por ejemplo: (-4)+(-5)-(-3)+(+4) = (-4)+(-5)-(-3)+4 = (-4)-5+3+4 = -4-5+3+4

Sustitución

Resolver por el método de sustitución el sistema de ecuaciones siguiente:

3x+4y=11

5x-2y=1

Paso 1: Despejar la x en la primera ecuación para obtener una expresión de la variable x en función de la y
x=(11-4y)/3

Paso 2: Sustituir la expresión de x obtenida en la segunda ecuación para obtener una ecuación de primer grado en y
5(11-4y)/3-2y=1

Paso 3: Resolver la ecuación para obtener el valor de y
55-20y -6y=3
-26y=-52
y=2

Paso 4: Obtener el valor de x a partir de la expresión anterior sustituyendo el valor de y
x=(11-4·2)/3
x=1

Paso 5: Comprobar la correctitud del resultado poniendo los valores de x e y en el sistema inicial
3·1+4·2=11
5·1-2·3=-1


En el paso 1 se puede despejar la x en lugar de la y también.
En cada paso se realiza una acción y se obtiene un dato que se emplea en el paso siguiente o posteriores.

Problemas

Silvia compra un pañuelo, una falda, y un abrigo en 505 euros. Calcula los precios respectivos, si la falda vale 25 veces más que el pañuelo, y el abrigo, el triple de la falda.

Un camión de reparto ha traído a un bar agua, cervezas y refrescos de cola. En total son 505 botellas. Calcula cuántas botellas han traído de cada clase teniendo en cuenta que por cada agua hay 25 cervezas y por cada cerveza hay 3 colas. 

En una cadena trófica la especie A come a la B y esta a la C. Cada individuo de la especie A come 25 de la B, y cada uno de la B come 3 de la C. En una comunidad en la que hay 505 individuos de las tres especies, ¿cómo tienen que estar distribuidos para que todos los individuos de la especie A puedan comer?

¿Dónde estamos atrapados?
Desconocemos la cantidad de individuos de cada especie. Supongamos que  hay x individuos de la especie A (botellas de agua/precio del pañuelo), entonces tiene que haber 25x de la B (cervezas/precio de la falda), y 3·25x de la C (colas/precio del abrigo). Los 25x individuos de la especie B comen los 3·25x de la C y los x de la A a los 25x de la B.

¿A dónde queremos llegar?
El conocimiento que tenemos es que en conjunto son 505 individuos, y si juntamos el principio con la llegada obtenemos que: x+25x+3·25x=505, esto es, una ecuación de primer grado.

¿Cómo salimos?
Resolviendo la ecuación de primer grado:
x+25x+75x=505
101x=505
x=505/101=5

Comprobación

El resultado de x=5  representa a los 5 individuos de la especie A

Los de la especie B eran 25x, o sea, 25·5=125

Y, por último, los de la C eran 3·25x=75x=375. 
En conjunto 5+125+375=505 


Polya establece cuatro partes: Entender el problema, concebir un plan, ejecutarlo y comprobar los resultados.

Calendarios

El reloj biológico de los seres vivos viene determinado en gran medida por el Sol y por la Luna. Los días solares van aumentando desde el solsticio de invierno hasta el de verano, pasando por el equinocio de primavera, y disminuyendo de nuevo desde el de verano al de invierno, pasando por el equinocio de otoño (corresponden al cambio de las cuatro estaciones del año). El aumento o disminución de la luz lo perciben los seres vivos para determinar la época de apareamiento, hay procesos fisiológicos que están determinados por la cantidad de luz que disparan la actividad reproductiva. De igual forma la Luna hace cuatro fases, nueva, cuarto creciente, llena y cuarto menguante, en 28 días aproximadamente. Las mareas vivas se producen en la Luna llena o nueva y las muertas en  la Luna en cuarto creciente o menguante, este reloj lo aprovechan los animales que viven entre el medio marino y terrestre para controlar el recorrido que hacen al buscar alimento.

El día

El día solar es el tiempo que tarda el Sol en pasar dos veces consecutivas por el mismo meridiano del lugar. De 12h a 12h en el cómputo ordinadio. Por tanto, el día solar dura 24h, pero ¿que pasaría si en lugar de considerar el Sol empleamos otra estrella y computamos el tiempo que tarda en pasar dos veces por el meridiano del lugar?, pues veríamos que ese tiempo es de 23 h 56 min 4,0905 s. A ese tiempo de duración se le llama día sideral y como se ve es inferior al día solar. Si se observa el gráfico se ve que  la Tierra va moviendose en su traslación y tiene que rotar un mayor ángulo para orientar un meridiano con el Sol (>360º) que con una estrella de referencia lejana (aprox. 360º). Por esta razón, al observar en el cielo nocturno una estrella determinada en el plano meridiano, ésta va cambiando cada día, se va adelantando casi cuatro minutos.

Años bisiestos

El año solar, el tiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta completa alrederor del Sol, dura un poco más de 365 días, casí un cuarto de día más, lo cual hace que tengamos que añadir un día al computo del año de vez en cuando, para no quedarnos retrasados. Los años que se añade un día son de 366 días, con el 29 de Febrero, y se llaman bisiestos. Se consideran bisiestos aquellos años que son divisibles por 4, salvo que sean divisibles por 100 y no por 400.

Así, el próximo año bisiesto será el 2012, luego el 2016, y así sucesivamente de 4 en 4. Pero el año 2100 no es bisiesto, aún siendo divisible por 4, porque es divisible por 100 y no por 400. El año 2400, divisible por 4, es bisiesto porque aunque es divisible por 100 también lo es por 400.

De esta forma se controla en el cómputo del tiempo que el calendario gregoriano que tenemos no se desfase con el solar.

Uno de enero de dos mil once

Uno de Enero de 2011, uno de enero de 2011, 1 de enero de 2011, 1/enero/2011, 1/1/2011 o 1/1/11. Tenemos varias opciones de escribir la fecha, el mes en mayúsculas o en minúsculas (esta última parece ser la correcta), los números del día y del mes separados por guiones o por barras,..., en cualquier caso el orden es, DIA, MES, AÑO. En inglés se pone primero el mes, luego el día y luego el año, January, 1st 2011,  y en USA lo ponen en número separado por barras, 1/1/11, en cualquier caso el orden es MES, DIA, AÑO. Este año tenemos varias fechas curiosas por la simetría de su notación, por su carácter palindrómico, sin ir mas lejos el once de enero, 11/1/11, o todos los once de mes salvo en octubre y diciembre. El más vistoso es el once de noviembre (11/11/11).

Nota: Si consideramos la fechas como operaciones tenemos para una persona que nazca el 1/1/11=0.090909... Otra que nazca el 14/5/11=0.25454545... El del 11/11/11=0.090909..., igual que el del 1/1/11.