sábado, 23 de julio de 2011

¿Cómo funciona?

Al subir a un taxi un viajero se fijó en que el taxímetro marcaba 1'15 euros. Durante el trayecto, a períodos regulares de tiempo, el taxímetro se iba incrementando, hasta que después de 13 minutos viajando en el taxí este se detuvo en el destino indicado. El marcador marcaba 11'55 euros al final.
El viajero preguntó:
--¡Oiga señor taxista!¿Cómo funciona el taxímetro?
Este le respondió todo amable:
--Hay una tarifa inicial, la bajada de bandera, que es de 1´15 euros. Es un fijo para cualquier trayecto. Después, el aparato, con ayuda de un reloj interno, va sumando una cantidad fija cada poco tiempo.
Cuando llegó a su casa, el viajero aún runruneaba algo en su cabeza:
--La carrera me costó 11'55, el fijo inicial fue de 1'15, entonces la maquina contó 11'55-1'15=10'4 euros. El viaje fue de 13 minutos, luego acumuló 10'4:13=0'8 euros el minuto.
Estimó mentalmente que el contador saltaba cada 15 segundos, y dijo en alta voz:
--¡Eureka! ¡El contador suma 20 céntimos cada 15 segundos!.

miércoles, 20 de julio de 2011

Flujo del modelo

1º) La división es la operación inversa de la multiplicación, o sea, comprobar cuantas veces cabe un número en otro.
2º) Se trata de dividir un número D (>0) entre otro d (>0) por restas sucesivas.
3º) Si d>D entonces el cociente es 0 y el resto es D y se acaba la división. Si d<=D entonces se continúa.
4º) Se multiplica d por un entero positivo n elegido de tal forma que d·n<=D.Se anota el valor de n.
5º) Se resta D-d·n, cuyo resultado es el nuevo valor de D.
6ª) Si d<=D, entonces se vuelve al paso 3º), sino la división terminó y se continúa en el siguiente punto.
7ª) Se suman todos los valores de n que se anotaron y eso es el resultado del cociente C. El resto es lo que quedó de D sin poder restar más, R. Se comprueba que el resultado es correcto viendo que D=d·C+R

Modelo: Calcular una división

La división es la operación inversa de la multiplicación, esto quiere decir que si la multiplicación son en su origen sumas repetidas, entonces la división son restas repetidas. Vamos a dividir 13423 entre 48. Se trata por tanto de ver cuántas veces podemos restar de 13423 el 48. Llevamos un cómputo:
1º restamos 100 veces 48, 13423-4800=8623
2º restamos otra vez 100 veces 48, 8623-4800=3823
3º ahora restamos 50 veces 48, 3823-50·48=1423
4º ahora restamos 20 veces 48, 1423-20·48=463
5º ahora restamos 8 veces 48, 463-8·48=79
6º sólo podemos restar una vez 48, 79-48=31
7º ya no se puede restar más.
En total se han restado 100+100+50+20+8+1=279 veces 48 y sobran 31. El cociente es 279 y el resto 31.
Podemos comprobar que está bien si multiplicamos 279 por 48 y sumamos 31, tiene que dar 13423.

viernes, 15 de julio de 2011

Estructura utilizada en la resolución del problema

1º) Para resolver el problema se decide utilizar una estructura algebraica. Se usan incógnitas para representar lo desconocido y se convierten las relaciones entre las incógnitas en ecuaciones.
2º) Se tienen dos animales diferentes, vaca y oveja, que consumen por separado en un determinado tiempo la provisión de pienso (27 días y 54 días, respectivamente). La vaca acaba antes el pienso que la oveja. Se quiere averiguar en cuánto tiempo se comen el pienso los dos animales juntos.
3º)  Si se llama x la cantidad de pienso que se come una vaca en un día, e y a la cantidad que se come una oveja en un día. Si P es la cantidad de pienso total, entonces, por proporcionalidad: x=P/27, e y=P/54. Si T es el tiempo que tardan en comer el pienso los dos animales su velocidad es z=P/T
4º) Se pueden emplear todas las propiedades de la resolución de ecuaciones para poder resolver el problema. Hay una propiedad fundamental, y es, que la velocidad con que comen los dos animales juntos es la suma de las velocidades individuales: z=x+y. De igualar P en las dos primeras ecuaciones obtenemos que x=2·y, que es una relación importante para sustituir x en función de y.
5º) Se trata de despejar T, para ello se dispone de 4 ecuaciones con 5 incógnitas. Se pueden despejar incógnitas en unas ecuaciones y sustituir en otras, intentando eliminar incógnitas a la vez que se eliminan ecuaciones.
6º) Para averiguar T, se despeja en la tercera: T=P/z, se sustituye z por x+y, T=P/(x+y). Ahora si sustituimos x e y por sus expresiones en función de P, conseguimos una expresión de T que depende de P, que simplificando se elimina y da la solución. También se puede poner todo en función de y con lo que resulta más facil de resolver.
7º) Llegamos al final al obtener el valor de T. Conviene revisar si la solución es correcta, para ello hay que recobrar el sentido de todo lo que se ha calculado.

Resolver un problema

Un labrador tiene pienso para alimentar una vaca durante 27 días, y si fuera a una oveja, para 54 días. ¿Para cuánto tiempo tendría pienso si tuviera que alimentar a la vaca y a la oveja?
Lo que consume de pienso una vaca por día le llamamos x. Lo que consume una oveja por día le llamamos y. La cantidad de pienso total es por tanto P=27·x=54·y
Si los dos animales están juntos consumen al día x+y, y el tiempo que les dura el total de pienso es T=P/(x+y)
Entonces, de la primera ecuación tenemos que x=2·y. Sustituimos en la segunda en función de y: T=54·y/(2·y+y)=54/3=18 días
¿Cómo comprobar que está bien? Vamos a dar sentido a lo que obtuvimos: Si x=2·y, entonces es que lo que consume una vaca por día es el doble de lo que consume una oveja. Si juntamos una vaca y una oveja, entonces, equivale a tres ovejas. Una oveja come todo el pienso en 54 días, entonces las tres ovejas lo comeran en la tercera parte de tiempo, 54/3=18 días.

sábado, 9 de julio de 2011

Etapas de la demostración de la fórmula

1º) Se trata de encontrar la fórmula que permite obtener el área del rombo
2º) Se parte de la figura de un rombo y del que se pueden conocer sus dos diagonales D y d.
3º) Suponemos que la fórmula del área del cuadrado de lado l es conocida.
4º) Se descomponen las figuras más complejas en figuras simples de las que se puedan calcular sus fórmulas.
5º) El rectángulo se puede considerar como formado por cuadrados de lado unidad. El romboide se transforma en un rectángulo si quitamos un triángulo de una de sus esquina y lo pegamos en el otro extremo. El romboide se puede dividir por su diagonal y da dos triángulos iguales. Por último, el rombo se puede descomponer como el romboide
6º) Se argumenta a la inversa, se parte de que el rombo es suma de dos triángulos (dividiéndolo por una de sus diagonales) lo cual lleva a tener que buscar la fórmula del área del triángulo, que podemos sacar si se tiene la del romboide, que es suma de dos triángulos iguales. Pero la del romboide puede obtenerse de la del rectángulo, que a su vez se puede calcular de la del cuadrado. Ahora se hace la demostración desde el cuadrado hasta el rombo.
7º) Se finaliza cuando se consigue llegar a la fórmula del área del rombo

viernes, 8 de julio de 2011

La fórmula del área de un rombo

La fórmula del area del rombo es:
A=(D·d)/2
donde D es la diagonal mayor y d la diagonal menor.
¿Por qué con esta operación se obtiene el área del rombo? Vamos a demostrarlo siguiendo una lógica.
Partimos de que el área de un cuadrado es A=l·l, lado por lado. Si en lugar de un cuadrado se tiene un rectángulo de base b y altura h, se puede considerar que está formado por cuadrados de lado 1, h filas y b colunas de cuadrados unitarios, entonces su área es el número de cuadrados, A=b·h
Si tenemos un romboide de base b y altura h, podemos rectificarlo en un rectángulo, de base b y altura h, entonces el área del romboide es A=b·h. Un triángulo puede considerarse como medio romboide, dividido por la diagonal, luego el área del triángulo es, A=b·h/2. Un rombo se puede dividir a la mitad por la diagonal de longitud D y se obtienen dos triángulos iguales de base D y altura d/2. El área es: A=(D·d/2)/2+(D·d/2)/2=((D·d/2)+(D·d/2))/2=(D·d)/2