Toda empresa tiene que saber cuál es la cifra de ventas anuales que debe de tener para nivelar gastos y a partir de ahí empezar a tener beneficios. A esta cantidad se le conoce como "punto de equilibrio".
Supongamos que una empresa tiene unos costos fijos en fabricar un determinado producto anualmente de 500 euros (estos costos son por tener la fábrica abierta). Si cada producto que fabrica cuesta 3 euros y fabrica x productos, tiene un costo variable de 3x euros. El coste total y es la suma del coste fijo más el variable:
y=500+3x
Ahora supongamos que los x productos los vende a 4 euros cada uno, los ingresos son 4x. Como queremos averiguar cuándo los ingresos son coincidentes con los costes de fabricación:
y=4x
El inconveniente está en que hay que tener una forma de resolver un sistema.
ACTIVIDAD: Imaginar ejemplos de empresas que tienen que buscar el punto de equilibrio planteando sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
EXPERIMENTACIÓN:
Para resolverlo vamos simulando valores de producción x, y calculamos costes e ingresos hasta que coincidan
Para resolverlo vamos simulando valores de producción x, y calculamos costes e ingresos hasta que coincidan
Nº de Productos
|
Coste
|
Ingreso
|
Entonces, a partir de 500 productos, un coste de producción de 2000 euros y de ingresos de 2000 euros, es cuando se empezaría a ganar dinero.
El inconveniente está en que puede ser muy largo el encontrar la solución y puede que no sean soluciones enteras.
ACTIVIDAD: Resolver los ejemplos de la actividad anterior con ayuda de tablas.
El inconveniente está en que puede ser muy largo el encontrar la solución y puede que no sean soluciones enteras.
ACTIVIDAD: Resolver los ejemplos de la actividad anterior con ayuda de tablas.
CONCEPTUALIZACIÓN:
Si representamos en una gráfica las dos ecuaciones con algunos de los valores de las tablas anteriores vemos que cuando coinciden Costes e Ingresos es en x=500. La gráfica puede llevar a imprecisión cuando los resultados son altos o no enteros.
Los gastos ya empiezan con 500 euros, en el eje Y para los pares (Nº de Productos, Gastos). Mientras que para los pares (Nº de Productos, Ingresos) empiezan en el origen de coordenadas. Conforme aumentan los productos los gastos se incrementan de 3 en 3, la recta tiene pendiente 3, mientras que los ingresos de 4 en 4, pendiente 4, por lo que es de esperar que los ingresos lleguen a alcanzar a los costes, en el punto de corte de las rectas (punto de equilibrio)
El punto de corte de las dos rectas (solución las ecuaciones lineales) se obtiene igualando las y:
y=500+3x=4x
despejando
500=4x-3x; x=500; y=4·500=2000
El sistema tiene solución única cuando las rectas se cortan en un punto. Si las rectas son paralelas el sistema no tiene solución. Y si la rectas son coincidentes hay infinitas soluciones.
El inconveniente es que encontrar la solución de forma gráfica no tiene precisión.
ACTIVIDAD: Representar gráficamente las ecuaciones de la actividad anterior y encontrar las soluciones de forma gráfica
RECURSOS: Utilizar una hoja de cálculo para la tabla y la representación gráfica
PROCESAMIENTO:
Cuando tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales, en general serán dos rectas que si vienen dadas por sus ecuaciones explícitas:
y=2x+4
y=-3x-6
se pueden resolver igualando las y:
2x+4=-3x-6; 2x+3x=-6-4; 5x=-10; x=-2; y=2(-2)+4=0
En general las rectas pueden estar definidas por ecuaciones implícitas:
2x+3y=-4
3x-5y=13
En cuyo caso podemos resolver el sistema por este proceso de igualación pasando a las ecuaciones explícitas, despejando y e igualando:
3y=-2x-4; y=(-2x-4)/3; -5y=-3x+13; 5y=3x-13; y=(3x-13)/5; (-2x-4)/3=(3x-13)/5; 5(-2x-4)=3(3x-13)
-10x-20=9x-39; -10x-9x=-39+20; -19x=-19; x=1; 2·(1)+3y=-4; 3y=-4-2; 3y=-6; y=-6/3=-2
Ante un sistema de ecuaciones lineales donde las rectas están definidas por las ecuaciones implícitas puede resultar engorroso despejar la y en las dos ecuaciones. Como el objetivo es convertir el sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas en uno de una ecuación y una incógnita, podemos despejar una vez una incógnita en una ecuación y sustituirla en la otra.
En el sistema anterior si se despeja y en la primera ecuación y se sustituye en la segunda,
y=(-2x-4)/3; 3x-5(-2x-4)/3=13; 9x+10x+20=39; 19x=19; x=1
Con lo que se abrevian los cálculos
El inconveniente es que hay que llevar los cálculos con precisión sin cometer un error que ya se propagaría.
ACTIVIDAD: Plantear y resolver sistemas de ecuaciones lineales por igualación o sustitución. partir de soluciones enteras dadas para plantearlos.
MECANIZACIÓN:
Supongamos un sistema escrito en forma implícita:
a1x+b1y=c1
a2x+b2y=c2
y=(c1-a1x)/b1; y=(c2-a2x)/b2
Igualando
(c1-a1x)/b1=(c2-a2x)/b2; b2c1-b2a1x=b1c2-b1a2x; -b2a1x+b1a2x=-b2c1+b1c2; x(a2b1-a1b2)=b1c2-b2c1
Ordenamos
x(a1b2-a2b1)=c1b2-c2b1
Y despejando
x=(c1b2-c2b1)/(a1b2-a2b1)
si hacemos lo mismo con la y sale como fórmula:
y=(a1c2-a2c1)/(a1b2-a2b1)
Se puede mecanizar el proceso con ayuda de los coeficientes del sistema y los términos independientes, usando los productos cruzados.
Como es un cociente hay solución si a1b2-a2b1<>0
Por ejemplo:
-2x+5y=7
3x+2y=-1
No fijamos en los coeficientes de x e y. El denominador es el producto de las dos diagonales restado, y el numerador par x también pero usando termino independientes en lugar de los coeficientes de x. Para y se usa en el numerador el producto cruzado pero sustituyendo los coeficientes de y por los términos independientes.
x=(7·2-(-1)·5)/(-2·2-3·5)=-1
y=(-2·(-1)-3·7)/(-2·2-3·5)=1
El inconveniente está en que se puede perder el fundamento y no ser capaces de repetir el procedimiento.
ACTIVIDAD: Resolver los sistemas de ecuaciones lineales de la actividad anterior con ayuda de la fórmula
RECURSOS: Utilizar Microsoft Mathematics para resolver los sistemas y comprobar las soluciones
CONSOLIDACIÓN:
1º) En primer lugar cuando se tienen un sistema lineal de ecuaciones debemos de comprobar si a1b2-a2b1 es cero. Si fuese así indicaría que los coeficientes de las dos ecuaciones son proporcionales:
a1b2=a2b1
a1/a2=b1/b2
Luego las dos ecuaciones son la misma recta, hay infinitas soluciones.
2º) Si el denominador no es cero es que las rectas se cortan en un punto, hay solución única.
Para solucionarla acudimos a la fórmula, o bien, elegimos los coeficientes de una de las dos variables y multiplicamos ambas ecuaciones por dichos coeficientes intercalados. Restando las ecuaciones resultantes tenemos una reducción del sistema a una sola incógnita y ya se puede resolver.
4x-5y=-11
3x+2y=9
Multiplicamos la primera por 3 y la segunda por 4
12x-15y=-33
12x+8y=36
Restamos
-23y=-69; y=3
3x+6=9; x=1
El problema es cómo establecer esos coeficientes para construir los sistemas a partir del contexto de los problemas.
ACTIVIDAD: Resolver los sistemas de ecuaciones lineales de la actividad anterior por reducción
EVALUACIÓN:
Los problemas que se resuelven con sistemas de ecuaciones lineales usan dos variables. Las relaciones que existen suelen ser de proporcionalidad directa y la suma o resta da un valor conocido.
Cada ecuación puede referirse a conceptos diferentes, nº de productos y precios, o pesos y precios, ....
El método de resolución a emplear depende bastante de cómo estén escritas las ecuaciones. Antes de ponerse a resolverlo se debe de arreglar para que esté escrito en forma estandar.
Resolver los siguientes problemas:
1) Un tendero tiene café del tipo natural a 15 euros/kg y del tipo torrefacto a 10 euros/kg. Quiere preparar 20 kg de mezcla de ambos tipos y que le salga el precio a 12 euros/kg, ¿qué cantidad debe mezclar de cada tipo?
2) He comprado 5 latas de refresco y 4 botellas de agua por 6 €. Posteriormente, con los mismos precios he comprado 4 latas de refresco y 6 botellas de agua y me han costado 6,20 €. Halla los precios de ambas cosas.
3) En un examen de 20 preguntas la nota de Juan ha sido un 8. Si cada acierto vale un punto y cada error resta dos puntos, ¿cuántas preguntas ha acertado Juan?, ¿cuántas ha fallado?
Si representamos en una gráfica las dos ecuaciones con algunos de los valores de las tablas anteriores vemos que cuando coinciden Costes e Ingresos es en x=500. La gráfica puede llevar a imprecisión cuando los resultados son altos o no enteros.
Los gastos ya empiezan con 500 euros, en el eje Y para los pares (Nº de Productos, Gastos). Mientras que para los pares (Nº de Productos, Ingresos) empiezan en el origen de coordenadas. Conforme aumentan los productos los gastos se incrementan de 3 en 3, la recta tiene pendiente 3, mientras que los ingresos de 4 en 4, pendiente 4, por lo que es de esperar que los ingresos lleguen a alcanzar a los costes, en el punto de corte de las rectas (punto de equilibrio)
El punto de corte de las dos rectas (solución las ecuaciones lineales) se obtiene igualando las y:
y=500+3x=4x
despejando
500=4x-3x; x=500; y=4·500=2000
El sistema tiene solución única cuando las rectas se cortan en un punto. Si las rectas son paralelas el sistema no tiene solución. Y si la rectas son coincidentes hay infinitas soluciones.
El inconveniente es que encontrar la solución de forma gráfica no tiene precisión.
ACTIVIDAD: Representar gráficamente las ecuaciones de la actividad anterior y encontrar las soluciones de forma gráfica
RECURSOS: Utilizar una hoja de cálculo para la tabla y la representación gráfica
PROCESAMIENTO:
Cuando tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales, en general serán dos rectas que si vienen dadas por sus ecuaciones explícitas:
y=2x+4
y=-3x-6
se pueden resolver igualando las y:
2x+4=-3x-6; 2x+3x=-6-4; 5x=-10; x=-2; y=2(-2)+4=0
En general las rectas pueden estar definidas por ecuaciones implícitas:
2x+3y=-4
3x-5y=13
En cuyo caso podemos resolver el sistema por este proceso de igualación pasando a las ecuaciones explícitas, despejando y e igualando:
3y=-2x-4; y=(-2x-4)/3; -5y=-3x+13; 5y=3x-13; y=(3x-13)/5; (-2x-4)/3=(3x-13)/5; 5(-2x-4)=3(3x-13)
-10x-20=9x-39; -10x-9x=-39+20; -19x=-19; x=1; 2·(1)+3y=-4; 3y=-4-2; 3y=-6; y=-6/3=-2
Ante un sistema de ecuaciones lineales donde las rectas están definidas por las ecuaciones implícitas puede resultar engorroso despejar la y en las dos ecuaciones. Como el objetivo es convertir el sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas en uno de una ecuación y una incógnita, podemos despejar una vez una incógnita en una ecuación y sustituirla en la otra.
En el sistema anterior si se despeja y en la primera ecuación y se sustituye en la segunda,
y=(-2x-4)/3; 3x-5(-2x-4)/3=13; 9x+10x+20=39; 19x=19; x=1
Con lo que se abrevian los cálculos
El inconveniente es que hay que llevar los cálculos con precisión sin cometer un error que ya se propagaría.
ACTIVIDAD: Plantear y resolver sistemas de ecuaciones lineales por igualación o sustitución. partir de soluciones enteras dadas para plantearlos.
MECANIZACIÓN:
Supongamos un sistema escrito en forma implícita:
a1x+b1y=c1
a2x+b2y=c2
y=(c1-a1x)/b1; y=(c2-a2x)/b2
Igualando
(c1-a1x)/b1=(c2-a2x)/b2; b2c1-b2a1x=b1c2-b1a2x; -b2a1x+b1a2x=-b2c1+b1c2; x(a2b1-a1b2)=b1c2-b2c1
Ordenamos
x(a1b2-a2b1)=c1b2-c2b1
Y despejando
x=(c1b2-c2b1)/(a1b2-a2b1)
si hacemos lo mismo con la y sale como fórmula:
y=(a1c2-a2c1)/(a1b2-a2b1)
Se puede mecanizar el proceso con ayuda de los coeficientes del sistema y los términos independientes, usando los productos cruzados.
Como es un cociente hay solución si a1b2-a2b1<>0
Por ejemplo:
-2x+5y=7
3x+2y=-1
No fijamos en los coeficientes de x e y. El denominador es el producto de las dos diagonales restado, y el numerador par x también pero usando termino independientes en lugar de los coeficientes de x. Para y se usa en el numerador el producto cruzado pero sustituyendo los coeficientes de y por los términos independientes.
x=(7·2-(-1)·5)/(-2·2-3·5)=-1
y=(-2·(-1)-3·7)/(-2·2-3·5)=1
El inconveniente está en que se puede perder el fundamento y no ser capaces de repetir el procedimiento.
ACTIVIDAD: Resolver los sistemas de ecuaciones lineales de la actividad anterior con ayuda de la fórmula
RECURSOS: Utilizar Microsoft Mathematics para resolver los sistemas y comprobar las soluciones
CONSOLIDACIÓN:
1º) En primer lugar cuando se tienen un sistema lineal de ecuaciones debemos de comprobar si a1b2-a2b1 es cero. Si fuese así indicaría que los coeficientes de las dos ecuaciones son proporcionales:
a1b2=a2b1
a1/a2=b1/b2
- Y si además los numeradores son distintos de cero entonces no puede haber solución, las rectas son paralelas.
- Pero si los numeradores son cero es que las dos ecuaciones son proporcionales: a1/a2=b1/b2=c1/c2
Luego las dos ecuaciones son la misma recta, hay infinitas soluciones.
2º) Si el denominador no es cero es que las rectas se cortan en un punto, hay solución única.
Para solucionarla acudimos a la fórmula, o bien, elegimos los coeficientes de una de las dos variables y multiplicamos ambas ecuaciones por dichos coeficientes intercalados. Restando las ecuaciones resultantes tenemos una reducción del sistema a una sola incógnita y ya se puede resolver.
- En el caso de no solución desaparecerían las dos incógnitas.
- En caso de infinitas soluciones desaparecería todo.
4x-5y=-11
3x+2y=9
Multiplicamos la primera por 3 y la segunda por 4
12x-15y=-33
12x+8y=36
Restamos
-23y=-69; y=3
3x+6=9; x=1
El problema es cómo establecer esos coeficientes para construir los sistemas a partir del contexto de los problemas.
ACTIVIDAD: Resolver los sistemas de ecuaciones lineales de la actividad anterior por reducción
EVALUACIÓN:
Los problemas que se resuelven con sistemas de ecuaciones lineales usan dos variables. Las relaciones que existen suelen ser de proporcionalidad directa y la suma o resta da un valor conocido.
Cada ecuación puede referirse a conceptos diferentes, nº de productos y precios, o pesos y precios, ....
El método de resolución a emplear depende bastante de cómo estén escritas las ecuaciones. Antes de ponerse a resolverlo se debe de arreglar para que esté escrito en forma estandar.
Resolver los siguientes problemas:
1) Un tendero tiene café del tipo natural a 15 euros/kg y del tipo torrefacto a 10 euros/kg. Quiere preparar 20 kg de mezcla de ambos tipos y que le salga el precio a 12 euros/kg, ¿qué cantidad debe mezclar de cada tipo?
2) He comprado 5 latas de refresco y 4 botellas de agua por 6 €. Posteriormente, con los mismos precios he comprado 4 latas de refresco y 6 botellas de agua y me han costado 6,20 €. Halla los precios de ambas cosas.
3) En un examen de 20 preguntas la nota de Juan ha sido un 8. Si cada acierto vale un punto y cada error resta dos puntos, ¿cuántas preguntas ha acertado Juan?, ¿cuántas ha fallado?
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