Multiplicar dos números positivos se entiende como la suma repetida de uno tantas veces como indica el otro. Así,
5·3=3+3+3+3+3=15
Pero cuando se multiplica un negativo por un positivo, ¿qué significado le asignamos?
-5·3
puede entenderse como la resta sucesiva del 3, 5 veces, esto es,
-5·3=-3-3-3-3-3=-15
Y si es el producto de un número negativo por otro negativo,
-5·(-3)
será la resta sucesiva del -3, 5 veces,
-5·(-3)=-(-3)-(-3)-(-3)-(-3)-(-3)=3+3+3+3+3=15
¿De dónde viene las reglas de multiplicar los signos?
Más por más es más
5·6=30
Si hay que sumar 5 veces 6 obviamente da 30, sumar números positivos da positivo
Más por menos es menos
5·(-6)=-30
Si hay que sumar 5 veces el -6 obviamente da -30, sumar números negativos da negativo
Menos por más es menos
-5·6=-30
Por la conmutatividad del producto -5·6=6·(-5) y, como antes, sumar 6 veces el -5 da -30
Menos por menos da más
-5·(-6)=30
¿El resultado podría ser negativo?
Como, usando la propiedad distributiva, -5·(-6)+(-5)·6=(-5)·(-6+6)=-5·0=0
entonces son opuestos, por lo tanto el resultado es positivo
Un labrador tiene pienso para alimentar una vaca para 27 días y para alimentar una oveja para 54 días. ¿Para cuántos días tiene si alimenta a los dos animales a la vez?
Si lo que dura la comida para las ovejas es el doble que lo que dura para una vaca, 54/27=2, entonces una vaca equivale a dos ovejas. Si pone juntos los animales equivale a 3 ovejas. Entonces si una oveja come el pienso en 54 días, 3 ovejas lo comen en la tercera parte, 54/3=18 dias.
Tienes una cuenta de banco, si la tienes en positivo es que tienes capital y si está en negativo es que tienes deuda. Veamos los siguientes casos:
A) Tienes un euro e ingresas otro euro
1+1=2
ahora tu saldo es de dos euros.
B) Tienes un euro y extraes un euro
1-1=0
ahora tu saldo es de cero euros.
C) Debes un euro al banco e ingresas un euro
-1+1=0
ahora cancelas la deuda y no tienes nada.
D) Debes un euro al banco y le pides que te preste un euro
-1-1=-2
ahora tu deuda aumenta a dos euros.
E) Tienes un euro y le pides al banco que pague una deuda que tienes con otro banco de un euro
1+(-1)=0
ahora tienes cero euros en cuenta.
F) Tienes un euro y le pides que te quite una deuda que tienes de un euro que te cobraron indebidamente
1-(-1)=2
ahora tienes dos euros.
G) Debes un euro al banco y le pides que pague una deuda de un euro que tienes con otro banco
-1+(-1)=-2
ahora debes dos euros
H) Debes un euro y le pides que te quiten la deuda de un euro porque la cobraron indebidamente
-1-(-1)=0
ahora no debes nada.
Son dos cosas diferentes el operador menos de la resta
6-4=2
y el signo menos de los negativos
-5
Si son dos cosas diferentes, ¿por qué se utilizan con el mismo símbolo?
Primero hay que distinguirlos cuando se utilizan en la misma expresión:
7-3 es la resta del positivo 7 del positivo 3
Se podría escribir (+7)-(+3), pero a los positivos no se les suele poner el signo.
5-(-3) es la resta del positivo 5 con el negativo -3
resulta que restar un negativo es lo mismo que sumar el positivo opuesto
5-(-3)=5+3
en el caso de restar un negativo de otro negativo
-4-(-6)=-4+6
(el operador menos y el signo menos se convierten en el operador más)
que es sumar un negativo con un positivo y como la suma es conmutativa
-4+6=6+(-4)
pero sumar un positivo con un negativo es lo mismo que restar ambos positivos
6+(-4)=6-4=2
(se observa que el signo menos se convierte en el operador menos de la resta)
Por coherencia las matemáticas preservan lo anteriormente establecido y esto lleva a reglas que ayudan a realizar cálculos de forma generalizada.
Los números enteros tienen una interesante propiedad que hay que tener en cuenta a la hora de operar.
Todo número entero tiene su opuesto.
El opuesto del 5 es el -5, el opuesto de 3 es el -3. Y para los negativos, el opuesto del -5 es el 5 y el del -3 es el 3. El opuesto del 0 es el mismo 0.
El que dos números sean opuestos significa que su suma es cero.
5+(-5)=0, 3+(-3)=0, -5+5=0, -3+3=0, 0+0=0
Se observa que 5+(-5)=5-5=0, 3+(-3)=3-3=0, -5+5=5-5=0, -3+3=3-3=0
Al sumar un negativo da lo mismo que restar con el positivo.
Sumar un negativo con un positivo da lo mismo que restar el positivo del negativo
Entonces, 4+(-2)=4-2=2, 3+(-6)=3-6=-3
Para obtener el opuesto sólo hay que cambiar el signo del número (los positivos no suelen llevar el + pero se le supone). Cuando se le cambia el signo a un negativo se tiene que se convierte en positivo.
-(-5)=5, -(-3)=3
Restar es lo mismo que sumar con el opuesto.
6-4=6+(-4)=2,
Entonces
Restar un número negativo es lo mismo que sumar el positivo
7-(-3)=7+(-(-3))=7+3=10
Juanito tiene un examen de mates sobre los números enteros con una puntuación muy peculiar, le sube y le baja la puntuación según acierte o falle las preguntas, hasta el punto de que si alcanza puntuaciones negativas y falla le sigue descontando. Si no contesta la pregunta no puntúa.
En principio empieza en 0. Trata de obtener la puntuación del examen según las preguntas acertadas y falladas. ¿Qué puntuación tiene a mitad de examen? ¿En qué momento estaba por encima de 5? ¿Cuántos puntos negativos sacó?
En la revisión de la pregunta 3 el profe considera que lo que contestó tenía algún valor y en lugar de quitarle los 4 puntos sólo le quita 2. ¿Cómo le queda la puntuación en ese momento?¿Cuál es la puntuación después de la revisión?
Éste es el resultado de la corrección del examen de Juanito:
Pregunta 1) vale 2 puntos, Acierta,
Pregunta 2) vale 5 puntos, Falla,
Pregunta 3) vale 4 puntos, Falla,
Pregunta 4) vale 6 puntos, Acierta,
Pregunta 5) vale 8 puntos, Acierta,
Pregunta 6) vale 3 Puntos, Falla,
Pregunta 7) vale 4 puntos, Falla,
Pregunta 8) vale 2 Puntos, No contesta,
Pregunta 9) vale 6 Puntos, Acierta,
Pregunta10) vale 7 puntos, Acierta
Veamos:
P=puntos acumulados
1) Acierta +2 P=2
2) Falla -5 P=2+(-5)=2-5=-3
3) Falla -4 P=-3-4=-7
4) Acierta +6 P=-7+6=-1
5) Acierta +8 P=-1+8=7 (Puntuación a mitad de examen, momento en que está por encima de 5)
6) Falla -3 P=7-3=4
7) Falla -4 P=4-4=0
8) No contesta 2 P=0+0=0
9) Acierta +6 P=0+6=6 (Aquí está por encima de 5)
10) Acierta +7 P=6+7=13 (Puntuación final. Aquí está por encima de 5)
En total perdió -5-4-3-4=-16 puntos
Después de la revisión en la pregunta 3) lleva P=-7-(-2)=-7+2=-5
Puntuación final después de la revisión P=13-(-2)=13+2=15
Puntos negativos después de la revisión -16-(-2)=-14
Sumar y restar números naturales, los positivos, está al alcance de todo el mundo pero cuando se trata de sumar y restar enteros, los positivos y los negativos, se pierde la sencillez. ¿Por qué?
Los números Naturales se pueden ver como una lista que va creciendo, pongamos desde el 1 de uno en uno, sumar es subir en esa lista y restar es bajar.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,...........
SUMAR ------> <------RESTAR
Así, si a 3 se le suma 4, desde 3 se cuentan cuatro lugares hacia la derecha y se llega al 7
3+4=7
Moverse un lugar hacia la derecha es acumular una unidad.
Y si a 5 se le resta 3, se cuentan desde 5 tres lugares hacia la izquierda y se llega a 2
5-3=2
Moverse un lugar hacia la izquierda es descontar una unidad.
Se puede aplicar este modelo fácilmente a situaciones de sumar y restar cantidades de cosas: Si tenemos 3 euros y nos dan 4 entonces tenemos 7 euros. Si estamos en el piso 5 y bajamos 3 pisos se llega al piso 2.
Ahora se añaden los negativos y el cero para tener los enteros.
............-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,............
Los negativos llevan el menos delante y aunque los positivos deberían llevar el más no se le pone.
En general los negativos en la operaciones se ponen entre paréntesis, -4=(-4)
También se pueden poner los positivos entre paréntesis 6=(+6), pero esto no se hace.
Sumar y restar enteros tiene que ser los mismo en la parte de los positivos que antes. Entonces sumar en la parte positiva es ir hacia la derecha y restar es ir a la izquierda. ¿Qué pasa en la parte negativa?
La regla para los enteros es:
1) Sumar un positivo en cualquier parte es ir hacia la derecha tantos lugares como indica el número.
4+2=6, (-2)+3=1, (-5)+7=2, ....
2) Restar un positivo en cualquier parte es ir hacia la izquierda tantos lugares como indica el número.
5-3=2, 3-5=(-2), (-2)-2=(-4), .....
3) Sumar un negativo en cualquier parte es ir hacia la izquierda tantos lugares como indica el número sin el signo.
4+(-5)=(-1), (-3)+(-2)=(-5), 3+(-3)=0, .....
4) Restar un negativo en cualquier parte es ir hacia la derecha tantos lugares como indica el número sin el signo.
5-(-3)=8, (-3)-(-4)=1, (-5)-(-4)=(-1), .....
La complicación es mayor cuando se tiene en cuenta que el signo de la resta y el del número negativo son el mismo, aunque son dos cosas distintas, y cuando se prescinde del paréntesis en los números negativos. Por regla general sólo se mantiene el paréntesis en los negativos si no tienen delante los operadores de la suma y resta.
Así (-2)+4=-2+4, pero 5+(-3) debe de mantener el paréntesis
Pero, 5+(-3) puede perder el paréntesis si se hace un pequeño truco, cambiar el operador. Como sumar (-3) es lo mismo que restar 3, se va para la izquierda en ambos casos, entonces 5+(-3)=5-3. A veces se usa la regla del producto de los signos para hacer este caso, +·-=-, multiplicando el operador por el signo del número.
¿En qué situaciones se usan los negativos y se suman y restan negativos?
En la medición de temperatura se usan estos números:
Estar a -3º y subir 5º es sumar -3+5=2
Estar a 2º y bajar 4º es restar 2-4=-2
En las operaciones financieras:
Tener 4 euros es estar en +4 y deber 5 euros es estar el -5 euros. Ingresar es sumar y pagar restar.
Si se está en 4 euros de deuda, -4, y se ingresan 5 euros, el resultado es -4+5=1, se tiene un euro de activo.
Si se tienen 3 euros de deuda, -3, y hay que pagar 5 euros, -3-5=-8, la deuda es de 8 euros.
Si se tiene una deuda de 4 euros, -4, y se quitan 2 euros de la deuda, -2, entonces se quedan 2 euros de deuda, -2.
-4-(-2)=-4+2=-2
Una ecuación es una igualdad de dos expresiones algebraicas que están en permanente equilibrio
A=B
Se pueden manipular estas expresiones algebraicas con la condición de que se preserve el equilibrio, lo cual significa que:
1) Lo que se haga en una parte se tiene que hacer en la otra de igual manera
2) Lo que se haga le afecta a toda la parte
Por ejemplo:
3x-5=-4x+9
Se trata de dejar la x en una sola parte
Se empieza con los números. Se quita el -5 de la primera parte, para ello se añade +5 en las dos partes.
3x-5+5=-4x+9+5
El +5 se puede juntar con cualquier término de cada parte, en particular lo juntamos con los números y los simplificamos:
3x=-4x+14
Se quita el termino en x de la segunda parte, para ello se suma +4x en las dos partes:
3x+4x=-4x+14+4x
Como antes se juntan los términos en x:
7x=14
Ahora, sólo queda dejar la x sola, para ello se divide por 7 ambas partes:
7x/7=14/7
Sólo queda simplificar:
x=7
Vamos a dejar la x sola en la primera parte y el número sólo en la segunda.
1) Para quitar el -8 de la primera parte añadimos +8 en ambas partes
2x-8+8=-4x+6+8
agrupamos
2x=-4x+14
2) para quitar el -4x de la segunda parte añadimos +4x en ambas partes
2x+4x=-4x+4x+14
agrupamos
6x=14
3) Para quitar el coeficiente de x se divide ambas partes por 6
6x/6=14/6
simplificamos
x=7/3
Fin de la partida
Juan tiene un número determinado de lápices, si regala cinco se queda con la mitad de los que tenía mas dos. ¿Cuántos lápices tiene Juan?
Se puede usar el álgebra para plantearlo con una ecuación de primer grado y resolverlo.
Se puede resolver razonando manteniendo en la memoria temporal los datos. El problema es sencillo para esto, cuando se complica el enunciado puede ser más difícil, pero es un buen ejercicio mental el ir pensando lo que se quiere hacer.
Al número de lápices de Juan hay que quitarle los cinco lápices y entonces le queda la mitad más dos. Si sólo le quedase la mitad, entonces, tendría diez. Como le quedan dos más, entonces, al quitarle siete le queda la mitad, luego tiene catorce lápices.
Si 3 kilos de naranjas cuestan 4,5 euros y 5 kilos cuestan 7,5 euros, ¿qué supone multiplicar y dividir estas cifras?
a) Pongamos por ejemplo el producto de los kilos por los precios: 3·4,5=13,5; 5·7,5=37,5
b) El producto de los kilos entre sí y de los precios entre sí: 3·5=15; 4,5·7,5=33,75
c) El producto cruzado de los kilos de unos por los precios de los otros: 3·7,5=22,5; 5·4,5=22,5
Los caso a) y b) son distintos resultados y el c) da el mismo resultado. ¿Tiene sentido lo que se está haciendo?
En el caso a) lo que se obtiene es el precio del cuadrado de los kilos. Por ejemplo, si x es lo que cuesta un kilo de naranjas, entonces, 3·x=4,5 (esto es clave) y el producto 3·4,5=3·3·x=32·x. Entonces, lo que se tiene como resultado de ambos productos es lógico, que dé que a más kilos mayor el producto.
El caso c) es lógico que dé lo mismo porque 3·7,5=3·5·x=5·3·x=5·4,5
d) Ahora con la división de los euros entre los kilos: 4,5:3=1,5; 7,5:5=1,5
e) Los euros entre si y los kilos entre sí: 5:3=1,666...; 7,5:5=1,666....
f) Las divisiones cruzadas: 4,5:5=0,9; 7,5:3=2,5
Los casos d) y e) dan el mismo resultado y el f) no. ¿Qué significa que den el mismo resultado? ¿Tiene algún valor?
En el caso d) se dividen euros por kilos y da lo que cuesta un kilo. 4,5:3=(3·x)/3=x. Como da lo mismo 1,5, es el precio de venta que es constante, no depende de los kilos que sean. Esta constante es la más interesante.
En el caso e) la razón entre los kilos es la misma que entre los precios, si se incrementa 1,666... veces los kilos, el incremento de veces también es el mismo. 5:3=5·x:3·x=7,5:5
Normalmente se entiende lo que es el doble, el triple, etc., de un todo.
Tenemos 15 euros, entonces:
Los términos doble, triple, etc., se refieren a los números 2, 3, .... por lo que hay que multiplicar esa cantidad.
Pero, ¿qué se entiende por los 2/3, la cuarta parte, los 4/5, etc., de un todo? Es decir la fracción de un todo. Porque los números fraccionarios también se pueden utilizar para hacer un cálculo del total.
Por extensión de lo visto anteriormente, también se debe usar el producto del número fraccionario por el total.
Las funciones de proporcionalidad directas e inversas, en el primer caso, son rectas que pasan por el origen y, en el segundo, hipérbolas con los ejes coordenados como asíntotas.
Función de proporcionalidad directa f(x)=kx
Función de proporcionalidad inversa g(x)=k/x
Motivación
Juanito tiene que empaquetar ropa para enviar por mensajería y sabe que haciéndolo con 2 personas tarda 7 días, si incrementa el número de personas trabajando tarda menos. ¿Cuántas personas debe de emplear para poder hacerlo en 3 días? La capacidad de empaquetar de una persona es la misma independientemente del número de personas que trabajen.
Experimentación
Sabe calcular múltiplos y divisores y expresiones decimales. A mas persona se tardarán menos días de forma inversamente proporcional y viceversa. Si 2 personas tardan 7 días, entonces, 1 persona tardaría el doble, 14 días, y 4 personas tardarían la mitad, 3.5 días. Por tanto se necesitan un poco más de 4 personas.
Conceptualización
Se calcula el tiempo que tarda una persona. Si 2 personas tardan 7 días, entonces, una persona tarda 2·7=14 días. Si se quiere hacer en tres días, entonces, el número de personas multiplicado por 3 tiene que dar lo que tarda una persona que ya vimos que es 14 días.
Procesamiento
Entonces, si fueran 5 personas, 3·5=15. Tiene que ser un poco menos de 5 personas, tienen que ser 14/3=4.66666... personas.
Mecanización
Personas·días=cte, 2·7=x·3, x=14/3
Consolidación
1)Si 2 personas tardan 7 días
2) x personas tardaran 3 días
3) a menos días más personas, proporcionalidad inversa
4) El producto en línea es constante, 2·7=x·3
5) x=14/3= 4,66666... personas
Evaluación
Lo primero constatar que la solución decimal no tendría sentido real porque se trata de personas
Se puede dar el resultado redondeado como 5 personas y afirmar que con esas personas se acaba en 3 días aunque les va a sobrar algo de tiempo.
Motivación
Juanito tiene una tienda y tiene tres productos que le costaron 20, 26 y 50 euros. En total le costaron 96 euros. Ahora quiere venderlos por 125 euros y desea incrementar el precio de forma directamente proporcional a lo que le costaron ¿En que porcentaje debe incrementar los precios de los productos?
Experimentación
Hay que manejarse bien con fracciones, conversión decimal y redondeos.
Los productos van a costar A, B y C, de tal forma que A/20=B/26=C/50=cte. En total A+B+C=125
El precio de compra fue 20+26+50=96. Si la cte o razón fuese 2, entonces A=20·2=40, B=26·2=52, C=50·2=100, en total 40+52+100=192, que excede los 120 euros. La cte tiene que estar ente 1 y 2.
20·1.5=30, 26·1.5=39, 50·1.5=75; 30+39+75=144>125
como 1.5=150/100=150% se puede decir que hay que subir los precios un poco por debajo del 150%
Conceptualización
Ir decrementando el porcentaje según la serie 150%, 149%, 148%,..... y comprobando que se aproxime el total a 125
Procesamiento
20·149%=2980/100=29.80, 26·149%=3874/100=38.74, 50·149%=7450/100=74.50; 29.80+38.74+74.50=143.04>125
20·148%=2960/100=29.60, 26·148%=3848/100=38.48, 50·148%=7400/100=74.00; 29.60+38.48+74.00=142.08>125
se puede incrementar el paso
20·140%=2800/100=28.00, 26·140%=3640/100=36.40, 50·140%=7000/100=70.00; 28.00+36.40+70.00=134.00>125
20·130%=2600/100=26.00, 26·130%=3380/100=33,80, 50·130%=6500/100=65.00; 26.00+33.80+65.00=124.80<125
El porcentaje es un poco por encima del 130%
Mecanización
cte·(A+B+C)=125, cte=125/(A+B+C)
Consolidación
1) A+B+C=96
2) cte=125/96=1.3021 redondeando (130.21%)
3) A=20·1.3021=26.0420, B=26·1.3021=33.8546, C=50·1.321=65.150
Evaluación
Hay que comprobar la suma
26.0420+33.8546+65.150=125.0466>125
Se excede por el redondeo
Motivación
Juanito tiene un circuito en forma triangular por el que pasea todos los días. Tarda 60 minutos en recorrer un lado, 80 minutos en recorrer otro, y 50 minutos en recorrer el último, tardando en total 190 minutos. Quiere mejorar su tiempo y hacer el recorrido en 170 minutos, ¿en cuánto debería recorrer cada tramo? Se supone que la velocidad es constante cuando hace cada recorrido. El tiempo que tiene que tardar en recorrer cada tramo es proporcional a lo que tarda en este momento.
Experimentación
Juanito ya sabe operar con fracciones y convertirlas en decimales. Si tarda A en el primer tramo, B en el segundo y C en el tercero, entonces A/60=B/80=C/50=cte. Como va a tardar menos en cada tramo la constante tiene que ser menor que 1. Si la constante es 1/2, entonces A/60=1/2 y A=60/2=30, B/80=1/2 y B=80/2=40, C=50/2=25. Pero A+B+C=30+40+25=95<170. Hay que encontrar la constante que permita hacer el recorrido en 170 minutos.
Conceptualización
Usar una constante fraccionaria que se vaya acercando a 1 que sea fácil de construir, y se va multiplicando por los tiempos actuales hasta que la suma llegue a 170. Por ejemplo: 50/100, 60/100,70/100,....
Procesamiento
60·50/100=3000/100=30; 80·50/100=4000/100=40; 50·50/100=2500/100=25; 30+40+25=95<170
60·60/100=3600/100=36; 80·60/100=4800/100=48; 50·60/100=3000/100=30; 36+48+30=114<170
60·70/100=4200/100=42; 80·70/100=5600/100=56; 50·70/100=3500/100=35; 42+56+35=135>170
60·80/100=4800/100=48; 80·80/100=6400/100=64; 50·80/100=4000/100=40; 48+64+40=152<170
60·90/100=5400/100=54; 80·90/100=7200/100=72; 50·90/100=4500/100=45; 54+72+45=171>170
La constante está entre 80/100 y 90/100, mucho más próxima a esta última. Se puede decir que tiene que estar un poco por debajo de 54 min en el primer tramo, un poco por debajo de 72 min en el segundo y un poco por debajo de 45 min en el tercero.
Mecanización
Como A·cte+B·cte+C·cte=(A+B+C)·cte=170, entonces, cte= 170/(A+B+C)
Consolidación
1) Sumamos las cantidades: A+B+C=190
2) Dividimos: lo que desea tardar/ lo que tarda=170/190
3) Multiplicamos cada cantidad por esa razón: A=60·(170/190)=53.68 min, B=80·(170/190)=71.58 min, C=50·(170/190)=44.74 min (usando redondeo)
Evaluación
Hay que comprobar que la suma da 170
53.68+71.58+44.74=170 min
Como ha habido redondeo se han perdido y ganado decimales que se han compensado. En realidad no tiene porque ser así y es una solución aproximada.
Primero: Tener un motivo para hacerlo.
Juanito tiene 20 caramelos que va a repartir entre 5 amigos dándole a cada uno el mismo número de caramelos.
Segundo: Tener recursos ya aprendidos.
Juanito sabe contar, sumar, restar y multiplicar
Tercero: Tener una idea de como hacerlo.
Decide que va a ir repartiendo a cada uno la misma cantidad poco a poco, en rondas sucesivas, hasta que no pueda hacerlo más.
Cuarto: Obtener un logro.
Primero reparte 2 a cada uno y comprueba que le sobran 10. Luego reparte 1 a cada uno y comprueba que le sobran 5. Vuelve a repartir 1 a cada uno y los reparte todos. Cuenta lo que tiene cada uno y ve que todos tienen 4.
Quinto: Mecanizar el proceso.
a) Hay que repartir en varias rondas.
b) Elegir en cada ronda una cantidad que permita completar la ronda.
c) Elegir una cantidad alta para que no haya que realizar muchas rondas.
d) Comprobar si sobra algo.
Sexto: Comprobar que vale para todas las situaciones.
Si hay que repartir 220 caramelos entre 8 niños, elegimos la decena mas alta que podamos repartir:
20 caramelos, porque 20x8=160
al repartir 160 sobran 60.
repetimos, repartimos los 60, elegimos las unidades más altas que podamos repartir.
7 caramelos, porque 7x8=56
al repartir 56 sobran 4, que ya no podemos repartir entre los 8 niños.
Se han repartido a cada uno 20+7=27 caramelos y sobran 4.
Septimo: Evaluar si hacemos bien el reparto.
Si hacemos el computo del reparto tiene que cuadrar lo repartido y lo que sobra con lo que se tenía.
8x27=216
216+4=220
¡Correcto!
