Problema de proporcionalidad inversa resuelto según el APC

 

Motivación

Juanito tiene que empaquetar  ropa para enviar por mensajería y sabe que haciéndolo con 2 personas  tarda 7 días, si incrementa el número de personas trabajando tarda menos. ¿Cuántas personas debe de emplear para poder hacerlo en 3 días? La capacidad de empaquetar de una persona es la misma independientemente del número de personas que trabajen.

Experimentación

Sabe calcular múltiplos y divisores y expresiones decimales. A mas persona se tardarán menos días de forma inversamente proporcional y viceversa. Si 2 personas tardan 7 días, entonces, 1 persona tardaría  el doble, 14 días, y 4 personas tardarían la mitad, 3.5 días. Por tanto se necesitan un poco más de 4 personas. 

Conceptualización

Se calcula el tiempo que tarda una persona. Si  2 personas tardan 7 días, entonces, una persona tarda 2·7=14 días. Si se quiere hacer en tres días, entonces, el número de personas multiplicado por 3 tiene que dar lo que tarda una persona que ya vimos que es 14 días.

Procesamiento

Entonces, si fueran 5 personas, 3·5=15. Tiene que ser un poco menos de 5 personas, tienen que ser 14/3=4.66666... personas.

Mecanización

Personas·días=cte, 2·7=x·3, x=14/3

Consolidación

1)Si 2 personas tardan 7 días

2)     x personas tardaran 3 días

3) a menos días más personas, proporcionalidad inversa

4) El producto en línea es constante, 2·7=x·3

5) x=14/3= 4,66666... personas

Evaluación

Lo primero constatar que la solución decimal no tendría sentido real porque se trata de personas

Se puede dar el resultado redondeado como 5 personas y afirmar que con esas personas se acaba en 3 días aunque les va a sobrar algo de tiempo.

Problema de porcentajes resuelto según el APC

Motivación

Juanito tiene una tienda y tiene tres productos que le costaron 20, 26 y 50 euros. En total le costaron 96 euros. Ahora quiere venderlos por 125 euros y desea incrementar el precio de forma directamente  proporcional a lo que le costaron ¿En que porcentaje debe incrementar los precios de los productos?

Experimentación

Hay que manejarse bien con fracciones, conversión decimal y redondeos.

Los productos van a costar A, B y C, de tal forma que A/20=B/26=C/50=cte. En total A+B+C=125

El precio de compra fue 20+26+50=96. Si la cte o razón fuese 2, entonces A=20·2=40, B=26·2=52, C=50·2=100, en total 40+52+100=192, que excede los 120 euros. La cte tiene que estar ente 1 y 2.

20·1.5=30, 26·1.5=39, 50·1.5=75; 30+39+75=144>125

como 1.5=150/100=150% se puede decir que hay que subir los precios un poco por debajo del 150%

Conceptualización

Ir decrementando el porcentaje según la serie 150%, 149%, 148%,..... y comprobando que se aproxime el total a 125

Procesamiento

20·149%=2980/100=29.80, 26·149%=3874/100=38.74, 50·149%=7450/100=74.50; 29.80+38.74+74.50=143.04>125

20·148%=2960/100=29.60, 26·148%=3848/100=38.48, 50·148%=7400/100=74.00; 29.60+38.48+74.00=142.08>125

se puede incrementar el paso

20·140%=2800/100=28.00, 26·140%=3640/100=36.40, 50·140%=7000/100=70.00; 28.00+36.40+70.00=134.00>125

20·130%=2600/100=26.00, 26·130%=3380/100=33,80, 50·130%=6500/100=65.00; 26.00+33.80+65.00=124.80<125

El porcentaje es un poco por encima del 130%

Mecanización

cte·(A+B+C)=125, cte=125/(A+B+C)

Consolidación

1) A+B+C=96

2) cte=125/96=1.3021 redondeando (130.21%)

3) A=20·1.3021=26.0420, B=26·1.3021=33.8546, C=50·1.321=65.150

Evaluación

Hay que comprobar la suma

26.0420+33.8546+65.150=125.0466>125

Se excede por el redondeo

Problema de proporcionalidad directa resuelto según el APC

 Motivación

Juanito tiene un circuito en forma triangular por el que pasea todos los días. Tarda 60 minutos en recorrer un lado, 80 minutos en recorrer otro, y 50 minutos en recorrer el último, tardando en total 190 minutos. Quiere mejorar su tiempo y hacer el recorrido en 170 minutos, ¿en cuánto debería recorrer cada tramo? Se supone que la velocidad es constante cuando hace cada recorrido. El tiempo que tiene que tardar en recorrer cada tramo es proporcional a lo que tarda en este momento.

Experimentación

Juanito ya sabe operar con fracciones y convertirlas en decimales. Si tarda A en el primer tramo, B en el segundo y C en el tercero, entonces A/60=B/80=C/50=cte. Como va a tardar menos en cada tramo la constante tiene que ser menor que 1. Si la constante es 1/2, entonces A/60=1/2 y A=60/2=30, B/80=1/2 y B=80/2=40, C=50/2=25. Pero A+B+C=30+40+25=95<170. Hay que encontrar la constante que permita hacer el recorrido en 170 minutos.

Conceptualización

Usar una constante fraccionaria que se vaya acercando a 1 que sea fácil de construir, y se va multiplicando por los tiempos actuales hasta que la suma llegue a 170. Por ejemplo: 50/100, 60/100,70/100,....

Procesamiento

60·50/100=3000/100=30; 80·50/100=4000/100=40; 50·50/100=2500/100=25; 30+40+25=95<170

60·60/100=3600/100=36; 80·60/100=4800/100=48; 50·60/100=3000/100=30; 36+48+30=114<170

60·70/100=4200/100=42; 80·70/100=5600/100=56; 50·70/100=3500/100=35; 42+56+35=135>170

60·80/100=4800/100=48; 80·80/100=6400/100=64; 50·80/100=4000/100=40; 48+64+40=152<170

60·90/100=5400/100=54; 80·90/100=7200/100=72; 50·90/100=4500/100=45; 54+72+45=171>170

La constante está entre 80/100 y 90/100, mucho más próxima a esta última. Se puede decir que tiene que estar un poco por debajo de 54 min en el primer tramo, un poco por debajo de 72 min en el segundo y un poco por debajo de 45 min en el tercero.

Mecanización

Como A·cte+B·cte+C·cte=(A+B+C)·cte=170, entonces, cte= 170/(A+B+C)

Consolidación

1) Sumamos las cantidades: A+B+C=190

2) Dividimos: lo que desea tardar/ lo que tarda=170/190

3) Multiplicamos cada cantidad por esa razón: A=60·(170/190)=53.68 min, B=80·(170/190)=71.58 min, C=50·(170/190)=44.74 min (usando redondeo)

Evaluación

Hay que comprobar que la suma da 170

53.68+71.58+44.74=170 min

Como ha habido redondeo se han perdido y ganado decimales que se han compensado. En realidad no tiene porque ser así y es una solución aproximada.

Proporcionalidad inversa según el APC. Repartos

Motivación

Juanito va a repartir 630 caramelos entre sus tres amigos, pero lo quiere hacer de forma inversamente proporcional a sus edades, que son de 5, 6 y 7 años. Es decir, al más joven le va a dar más, un poco menos al segundo, y al mayor menos todavía, y se va a cumplir que lo que reparta a cada uno multiplicado por su edad da lo mismo para los tres.

Experimentación

Juanito sabe sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones. Si el reparto es inversamente proporcional, hay una constante de proporcionalidad que le sirve para repartir. Se cumple que si reparte A al primero, B al segundo, y C al tercero, entonces A·5=B·6=C·7=constante. O sea, A=constante/5, B=constante/6, C=constante/7

Si la constante fuese 420 repartiría 420/5=84 al primero, 420/6=70 al segundo, y 420/7=60 al tercero, así reparte 84+70+60=214, entonces sobran caramelos para repartir. Hay que encontrar la constante para repartir todo lo posible.

Conceptualización

La constante tiene que ser múltiplo de 5, 6 y 7, entonces se empieza con el mínimo múltiplo común de los tres, en este caso por el producto 5·6·7=210. Luego se va incrementando con los siguientes múltiplos.

Procesamiento

En este caso los múltiplos son: 210, 420,....

210/5=42; 210:6=35;210:7=30; 42+35+30=107<630

420/5=84; 420/6=70; 420/7=60; 84+70+60=214<630

630/5=126; 630/6=105; 630/7=90; 126+105+90=630

El reparto es de 168 al de 5, 140 al de 6 y 120 al de 7.

Mecanización

Empezar por el mínimo común múltiplo de las edades: 5·6·7=210

Como A+B+C=630, cte/5+cte/6+cte/7=cte(1/5+1/6+1/7)=630, cte=630/ (1/5+1/6+1/7)=630/(107/210)=630·210/107=132300/107

Consolidación

Supongamos que las edades son 5, 6 y 8. Los caramelos son 630.

1) El m.c.m (5,6,8)=120

2) 1/5+1/6+1/8=(24+20+15)/120=59/120

3) cte= 630/(59/120)=75600/59

4) A=(75600/59)/5=256 división entera; B=(75600/59)/6=213 división entera; C=(75600/59)/8=160 división entera; 

Evaluación

A+B+C=256+213+160=629<630, sobra 1 caramelo

256>213>160

Al mas pequeño se le da más, al mediano un poco menos, y al mayor menos todavía.