De la observación nace la idea

La integral de una función es la operación inversa de la derivación. Mientras que la derivada de una función es única, la integral da infinitos resultados que sólo se diferencian en una constante.

Si tenemos f(x)=sen(x), su derivada es f'(x)=cos(x). La integral de f(x)=cos(x), es F(x)=sen(x)+C

Supongamos que queremos calcular la integral,

Lo primero es observar la expresión del radicando. El denominador tiene una forma que recuerda a algo, si hemos trabajado anteriormente con identidades notables podemos caer en la cuenta que es el cuadrado de la suma: 

Gracias a este hecho reescribimos la integral,

Ahora nos nace la idea de cómo resolver la misma. Tiene estructura de integral potencial compuesta,

¿Cómo integrar una función potencial compuesta? Si tenemos f(x)=(g(x))ⁿ, su derivada es, usando la regla de la cadena, f'(x)=n(g(x))^(n-1)·g'(x). Entonces si tenemos que integrar una expresión que tenga una potencia por la derivada de la función base, por el exponente más uno, el resultado es la potencia incrementada en una unidad.

Ahora sólo tenemos que aplicar la regla de integración de una función potencial compuesta para obtener la solución:

Lo importante es que si no hay experiencia de haber trabajado con las identidades notables, guardada en la memoria a largo plazo, no puede surgir la idea para resolver la integral.