Horarios y ecuaciones.

• Sofía camina todos los días 3/4 de hora. Si quiere acumular 6 horas, ¿cuántos días tiene que caminar?

Si x es el número de días, 3/4*x=6, 3*x=4*6, 3*x=24, x=24/3=8

• Joel ve la tele todos los días, aproximadamente 2 horas y media cada día, ¿Cuántos días tienen que pasar para que acumule un día entero de ver televisión?

Si x es el número de días, 2'5*x=24, x=24/2'5=9'6

• Gisella tiene que preparar un examen para dentro de 3 días. Si quiere dedicarle 5 horas como mucho, ¿cuánto tiene que estudiar cada día?

Si x es el tiempo diario, 5=3*x, x=5/3=1+2/3=1h 40m

• Eric va a hacer un curso de formación, tiene que hacer 60 horas, 30 no presenciales y el resto presenciales. Los días que tiene que asistir son de 5 horas, ¿cuántos días tiene que estar presente recibiendo el curso?

Si x es el número de días, 60=30+5*x, 60-30=5*x, 30=5*x, x=30/5=6

• Noelia tiene que elegir entre ponerse en la cola A o en la B. En la A hay 30 personas y en la B hay 20. En la A van más rápido, atienden a 2 personas cada 5 minutos y en la B más lentos, 1 persona por cada 5 minutos. ¿En que cola debe ponerse?

Si x es el tiempo que tardan las dos colas en igualarse, 30-(x/5)*2=20-(x/5)*1, 30*5-2*x=20*5-1*x, 150-2*x=100-x, 150-100=2*x-x, x=50 min, quedan 10 personas, luego debe ponerse en la cola A.

El trabajo y el sueldo, y las ecuaciones

• Un trabajador cobra por un trabajo por horas 550 euros. El primer día trabajó 2 horas y media, y el segundo 3 horas. ¿A cuánto le pagan la hora?

Si x es lo que le pagan por hora, 550=(2+1/2+3)*x, 550=(11/2)*x, x=2*550/11, x=100

• Un trabajador cobra por un trabajo 300 euros, le pagan a razón de 20 euros la hora. Trabajó dos días, el primero hizo 8 horas y el segundo no se acuerda. ¿Cuántas horas trabajó el segundo día?

Si x son las horas trabajadas el segundo día, 300=20*8+20*x, 300=160+20*x, 300-160=20*x, 1400=20*x, x=140/20=7

• Un trabajador cobra por su trabajo 500 euros en bruto, pero le entregan 480 euros porque el resto es lo que contribuye al fisco. ¿Qué porcentaje del bruto le aplican para el descuento fiscal?

Si x es el porcentaje, 500=480+500*x, 500-480=500*x, 20=500*x, x=20/500=0'04=4%

• Un trabajador puede elegir entre dos empleos, en el primero le pagan 700 euros al mes y una gratificación de 300 euros en Navidad, y en el otro le pagan 650 euros al mes y una gratificación de 550 euros en Navidad. ¿En qué momento se igualará lo que cobra en una empresa y en la otra?

Si x es el número de meses trabajados, y suponemos que cobra una vez la gratificación, 700*x+300=650*x+550, 700*x-650*x=550-300, 50*x=250, x=5

Los ingresos y gastos, y las ecuaciones

• Tenemos 300 euros y hay que pagar una mensualidad de 12 euros, ¿para cuántos meses da?. 

Si x es el número de meses, 300=12*x, x=300/12=25.

• Tenemos 300 euros y hay que pagar una mensualidad de 12 euros con una fianza de 70 euros, ¿para cuantos meses da?

Si x es el número de meses, 300=12*x+70, 300-70=12*x, 230=12*x, x=288/12=19'17, da para 19 meses.

• Tenemos 300 euros y todos los meses nos van a ingresar de un alquiler 20 euros, ¿cuántos meses tardaremos en juntar 5000 euros?

Si x es el número de meses, 5000=300+20*x, 4700=30*x, x=4700/20=235.

• Tenemos 300 euros y cada mes nos ingresan 30 euros de alquiler, pero por otro lado pagamos un alquiler de 40 euros, ¿cuántos meses se podrá mantener el sistema?

Si x es el número de meses, 300+30*x=40*x, 300=40*x-30*x, 300=10*x, x=300/10=30.

• Tenemos 300 euros, ingresamos un fijo mensual de 50 euros y tenemos un gasto mensual de 40 euros, además, tenemos que hacer un gasto fijo de 1000 euros, ¿en que mes se puede hacer ese gasto fijo?

Si x es el mes en que se puede hacer el gasto, 1000=(300+50*x)-40*x, 1000-300=50*x-40*x, 700=10*x, x=700/10=70.

Ecuaciones: El reino del pensamiento inverso

Si tenemos 100 euros y le añadimos 200 euros, entonces juntamos 100+200=300 euros. Pensemos al revés. Si tenemos 100 euros y queremos sumar una cantidad x para juntar 300 euros, ¿cuánto vale esa cantidad?. En notación algebraica, la ecuación es 10+x=300. La operación que hay que hacer es la inversa de la suma, la resta, x=300-100=200.
Si juntamos durante 5 meses 40 euros todos los meses, al final, tendremos 5·40=200 euros. Al revés, ¿cuantos meses hay que poner 40 euros mensualmente para tener 200 euros? La ecuación es 40x=200, la operación que hay que hacer para despejar x es la inversa de la multiplicación, x=200/40=5 meses.
Supongamos que tenemos 100 euros y durante 5 meses vamos acumulando 40 euros, al final habremos juntado 100+5·40=100+200=300. Si pensamos al revés, partimos de 100 euros y vamos acumulando durante varios meses 40 euros mensuales, ¿cuántos meses hay que acumular para tener al final 300 euros? En lenguaje algebraico, 100+40x=300. Como ya se parte de 100 euros, entonces hay que ahorrar 300-100=200 euros, es la operación inversa de la suma, y la ecuación simplificada es, 40x=200. ¿Qué cantidad hay que multiplicar por 40 para que de 200? Pues es la operación inversa de la multiplicación, x=200/40=5 meses.

Pensamiento matemático: El prime-time

Se lee en un blog: "El Prime-Time es el horario televisivo de máxima audiencia, que se ubica entre las 21:00 y las 00:00 horas, siendo España uno de los países de Europa y del mundo con el prime time más tardío".
No es difícil comprender que detrás de esta frase está un pensamiento matemático. Y no sólo en los números, si uno se fija en lo que significa el Prime-Time, el concepto que se transmite es el de la hora de máxima audiencia de TV.
Cualquier persona puede comprender este concepto sin mucho esfuerzo y es en sí un concepto matemático importante. La cuestión es, ¿hasta que punto se quiere ir en el intento de desentrañar este pensamiento matemático? Si una persona tuviera que explicar qué sentido matemático tiene tendría que hablar de las dos variables que se manejan en la frase: t=el tiempo y S=nº de televidentes. T corresponde al tiempo en que se emite la TV, se puede suponer 24 h. Se supone S>0. Se asume que hay una relación entre t y S, la S "crece" con el tiempo y después "decrece" , alternativamente a lo largo del tiempo de emisión, alcanzando un instante t en el que hay máximo valor de S, que está entre las 21:00 y las 00:00 horas. 
Si se consiguiese establecer una relación funcional entre S y t, S(t), en cada país, se podría intentar encontrar ese instante a partir las técnicas de derivación y comprobar que la afirmación es correcta. 
A las televisiones les interesa esta función porque con ella establecen la tarifación de publicidad.

Una aproximación funcional la da el siguiente problema:

Una cadena local de TV ha determinado, por medio de encuestas, que el porcentaje de ciudadanos que la ven entre las 6 de la tarde y las 12 de la noche viene dado por la función:
s(t) = 660 - 231t + 27t² - t³  
donde t indica las horas transcurridas desde las 12 en punto de la mañana. 
Calcular a qué hora tiene la televisión su máxima audiencia y cuándo tiene su mínima audiencia. 

s'(t)=-231+54t-3t² 
s'(t)=0, t=7, t=11
s''(t)=54-6t
s''(7)=12, mínimo
s''(11)=-12, máximo

¿Cómo se determina la función por medio de encuestas? Pués a través de la inferencia estadística, del estudio de la regresión. Se muestrean una serie de puntos, pares de valores (t, s(t)), obteniéndose así una nube de puntos y a partir de ahí se estudia el tipo de dependencia entre las dos variables y su grado, y la regresión a un modelo de curva, y se halla esa función.

Hexacopo

El fractal llamado hexacopo o curva de Koch o copo de nieve es un fractal que sirve como modelo para explicar las unidades didácticas de este blog. Es un mandala que representa los estilos del APC.

UNIDAD DIDÁCTICA: PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA

ORIENTACIÓN

En el tratamiento de imágenes es frecuente la necesidad de hacer un zoom de las mismas aumentando o disminuyendo su tamaño de manera que se mantenga la forma (por ejemplo las fotocopias ampliadas o reduccidas). La figura que se obtiene se dice que es semejante a la original.

Observa en la imagen las figuras semejantes obtenidas por ampliación o por reducción

EXPERIMENTACIÓN

Si tenemos una fotografía de forma rectangular, si un lado aumenta en una proporción el otro también debe de aumentar en la misma proporción, sino la figura resultante no mantiene la forma.

CONCEPTUALIZACIÓN

De forma más simple consideremos que las figuras son triángulos. Supongamos que dos triángulos son semejantes entonces los lados de uno se han transformado en los correspondientes homólogos del otro. Se tiene que cumplir que la razón de aumento o disminución de cada uno con su homólogo tiene que ser la misma (fig.1). Es decir, en los dos triángulos semejantes los tres lados son proporcionales.

Hay una propiedad geométrica que cumplen los triángulos semejantes: si se superponen los triángulos adquieren una configuración, denominada, de Thales, en la que dos lados están en linea y el tercero es paralelo (fig.2). Esto significa que dos triángulos semejantes tienen los tres ángulos iguales.

fig. 1

fig. 2

PROCESAMIENTO

Vamos a fijar estas ideas para lograr llegar a ver los triángulos semejantes en determinados casos. Haz un esfuerzo por visualizar la semejanza.

1) Indica, explicando el motivo, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. A)  El triángulo de lados 3, 5 y 7 cm es semejante a otro de lados 7,5; 12,5 y 16,8 cm.  B) Dos triángulos rectángulos son siempre semejantes. C) Dos triángulos rectángulos isósceles son siempre semejantes. D) En  dos  triángulos  semejantes,  la  razón  de  dos  alturas  correspondientes  es  igual  a  la  razón  de semejanza. E) Dos triángulos equiláteros son siempre semejantes.

MECANIZACIÓN

Entonces cuando tenemos triángulos semejantes la razón entre lados homólogos es la misma. Se puede comprobar también geométricamente si son semejantes viendo si los ángulos son iguales.

Con ayuda de la semejanza de triángulos se pueden hacer medidas de longitudes a las que no podemos acceder. Se trata de encontrar triángulos semejantes comprobando la igualdad de los ángulos y utilizar la igualdad de la razón de semejanza de los lados homólogos.

1) Entre  Sergio,  de  152  cm  de  altura,  y  un  árbol,  hay  un  pequeño  charco  en  el  que  se refleja su copa. Calcula la altura de dicho árbol sabiendo que las distancias que separan a Sergio del lugar de reflejo en el charco y del árbol son de 3,2 m y 10,7 m, respectivamente.

2) Una  torre  mide  100  m  de  altura.  En  un  determinado  momento  del  día,  una  vara vertical de 40 cm arroja una sombra de 60 cm. ¿Cuánto medirá la sombra proyectada en ese instante por la torre?

En la práctica la semejanza también se utiliza en las escalas de los mapas y planos. Un mapa es semejante a la realidad y la escala es la razón de semejanza. Si un mapa está en escala 1:1000 significa que una longitud L entre dos puntos representa en la realidad una longitud L’ , cumpliéndose que L/L’=1/1000, o sea, L’=1000·L

1) Lorena  presenta  este  plano  de  su  cocina  junto  con  el  tendedero  a  una  empresa  de reformas. ¿De qué superficie dispondrá si decide unir la cocina y el tendedero?

2) En un mapa, de escala 1:250 000, la distancia entre dos pueblos es de 1,3 cm. A)  ¿Cuál es la distancia real entre ambos pueblos? B)  ¿Cuál sería la distancia en ese mapa, entre otros dos pueblos que en la realidad distan 15 km?

CONSOLIDACIÓN
El nivel siguiente es la proporcionalidad entre áreas de figuras planas semejantes y volúmenes de figuras tridimensionales semejantes. Es fácil ver que cuando las figuras planas son semejantes la razón de proporcionalidad entre las áreas es el cuadrado de la razón de proporcionalidad entre longitudes. Si se trata de comparar volúmenes de figuras tridimensionales semejantes, la razón ahora es el cubo de la razón lineal.

1) Un arquitecto ha hecho una maqueta a escala 1:100 de un edificio destinado a oficinas, con forma de cubo cuya arista mide 70 m. Calcula la superficie de la planta y el volumen que el edificio tendrá en la maqueta.

2) Los lados de dos pentágonos regulares miden 7 cm y 5 cm, respectivamente. ¿Son semejantes? En caso afirmativo calcula la razón de semejanza entre sus áreas.

3) Un rectángulo tiene dimensiones 3 cm x 6 cm. Calcula el área y las dimensiones de otro rectángulo semejante a él, sabiendo que la razón entre sus áreas es de 9/4.

4) Una lata cilíndrica de fabada, que se anuncia para dos raciones, tiene un radio de 5 cm y una al tura de 15 cm. Otra lata de tamaño familiar, semejante a la anterior se anuncia para 6 personas. ¿Qué volumen y qué dimensiones deberá tener? ¿Qué relación existe entre las superficies de hojalata de una y otra lata?

5) En los muelles del Sena, en París, venden reproducciones de la Torre Eiffel que pesan 1,5 Kg y están elaboradas con el mismo material que la auténtica. Un folleto turístico indica que la Torre tiene 321 m de altura y pesa 7 millones de kilos. ¿Cuánto medirá la altura de la reproducción?

EVALUACIÓN

La clave está en utilizar dos figuras semejantes y establecer la proporción entre longitudes homólogas. Ahora con ayuda de los ejercicios anteriores ya te has formado un criterio de cómo abordar los siguientes problemas.

1) En una fotografía, María y Fernando miden 2,5 cm y 2,7 cm, respectivamente; en la realidad, María tiene una altura de 167,5 cm. ¿A qué escala está hecha la foto? ¿Qué altura tiene Fernando en la realidad?

2) Marcos ha realizado este plano de su habitación a escala 1:50. Calcula el área de la habitación y las dimensiones de la cama.

3) En un mapa, dos poblaciones aparecen separadas 7,5 cm. ¿Cuál será la escala de ese mapa si la distancia real entre ambas poblaciones es de 153 km? En ese mismo mapa, ¿cuál sería la distancia real entre dos poblaciones que distan 12,25 cm?

4) Una piscina tiene 2,3 m de ancho; situándonos a 116 cm del borde, desde una altura de 1,74 m, observamos que la visual une el borde de la piscina con la línea del fondo. ¿Qué profundidad tiene la piscina?

5) Calcula la altura de una casa sabiendo que en un determinado momento del día proyecta una sombra de 3,5 m y una persona que mide 1,87 m tiene, en ese mismo instante, una sombra de 85 cm.

6) En un triángulo rectángulo se inscribe un rectángulo cuya base es dos veces su altura. Los catetos del triángulo miden 5 cm y 7 cm, respectivamente. Calcula las dimensiones del rectángulo.

7) Dos caminos paralelos se unen entre sí por dos puentes, que a su vez se cortan en el punto O. Teniendo en cuenta las medidas de la figura, calcula la longitud de los dos puentes.

UNIDAD DIDÁCTICA: La distribución binomial

Orientación
Se va a empezar por el juego de los palitos.
El juego es para dos jugadores, cada uno con seis palitos decorados de forma similar a como se muestra en el gráfico:

Haz y envés

Por una cara están en blanco y por la otra decorados con motivos diversos y coloreados. También, deben de existir diez monedas o botones que forman la banca.
Los palitos se pueden construir con materiales de madera tipo soporte de helado o instrumento del médico para observar la garganta. Los pueden decorar los propios alumnos.
Cada jugador tira los seis palitos alternativamente.
Sólo hay tres jugadas ganadoras en cada tirada:
1) Salen todos los palitos con la cara decorada hacia arriba: gana tres monedas.
2) Todos salen con la cara sin decorar hacia arriba: gana dos monedas.
3) Tres salen con la cara decorada y tres sin ella: gana una moneda.
En cualquier otro caso no se gana nada.
Cuando se acaben las monedas de la banca se cobra del las monedas que tenga ganadas el contrario.
Gana el jugador que consiga las diez monedas.

Después de jugar varias partidas se pide a los alumnos que analicen el modelo matemático de probabilidades que subyace en el juego.

Experimentación
Se va a llamar X a la variable aleatoria discreta que cuenta el número de palitos que salen con la cara decorada hacia arriba. X puede tomar varios valores en cada lanzamiento: {0,1,2,3,4,5,6}

{X=2} representa el suceso que salieron 2 con la cara decorada hacia arriba y 4 con la cara sin decorar.
{X=0} representa el suceso que no salió ninguna con la cara decorada hacia arriba.

Los sucesos ganadores son:
{X=6} con 3 monedas
{X=0} con 2 monedas
{X=3} con una moneda

Sea p la probabilidad de que un palito salga con la cara decorada hacia arriba y q hacia abajo (p+q=1). En principio se puede suponer a priori que p=50%=0'5 y q=50%=0'5. Siempre se puede hacer un estudio de frecuencias relativas para cada palito y ver la tendencia para usar una probabilidad a posteriori.
También podemos suponer que cada palito sale con una u otra cara independientemente de cómo salgan los otros palitos.

Supongamos que tenemos numerados los palitos del 1 al 6 por necesidad de notación. Si el 4 sale decorado escribiremos d4, y sino, nd4. Así un lanzamiento de los 6 puede salir: d1-nd2-d3-d4-nd5-nd6
El suceso {X=6} es igual a d1-d2-d3-d4-d5-d6
El suceso {X=0} es igual a nd1-nd2-nd3-nd4-nd5-nd6
Y el suceso {X=3} tiene varias opciones, todas aquellas en las que salgan 3 decorados, como por ejemplo: d1-d2-d3-nd4-nd5-nd6

La probabilidad del suceso es igual al producto de probabilidades de los sucesos elementales cuando estos son independientes (teoremas de probabilidades compuestas), por ejemplo para  d1-d2-nd3-d4-nd5-nd6 será p(d1)·p(d2)·p(nd3)·p(d4)·p(nd5)·p(nd6).
Por lo tanto, se tiene como probabilidad para los dos primeros sucesos ganadores:
p{X=6}=p(d1)·p(d2)·p(d3)·p(d4)·p(d5)·p(d6)=p·p·p·p·p·p=p⁶ (0'5⁶=0'015625=1/64)
p{X=0}=p(nd1)·p(nd2)·p(nd3)·p(nd4)·p(nd5)·p(nd6)=q·q·q·q·q·q=q⁶ (0'5⁶=0'015625=1/64)

Falta ver los casos que entran en el suceso {X=3}

Conceptualización 
Todos los sucesos elementales que pueden ocurrir se pueden contabilizar con ayuda de un árbol binario, donde la primera opción es lo que puede ocurrir con el primer palito, salir d1 o nd1. A continuación, para cada una de las dos opciones, se pone lo que ocurre con el segundo palito, salir d2 o nd2, Desde estas cuatro opciones se ponen las dos opciones del tercer palito, d3 o nd3, y así sucesivamente hasta los seis palitos. Sale un árbol de 6 niveles con 64 nodos hoja. En el siguiente gráfico se muestra el árbol hasta el nivel 4:

El suceso {X=6} corresponde al caso de seguir siempre hacia arriba (el borde superior), y el suceso {X=0} al caso de seguir siempre hacia abajo (el borde inferior). El suceso {X=3} corresponde a varios itinerarios intermedios, todos aquellos que tengan 3 decorados con 3 no decorados. Por lo tanto cada camino se encuentra eligiendo tres posiciones de las seis para poner los decorados, el resto serán no decorados. ¿De cuántas maneras se pueden elegir 3 lugares en un conjunto de 6 posibles? Son tantas como combinaciones de 6 elementos tomadas de 3 en 3: C_6,3=20. La probabilidad de cada camino es un producto de tres probabilidades para los decorados por tres probabilidades para los no decorados, p³q³ (0'5³·0'5³=0'15625=1/64. Los distintos caminos son sucesos incompatibles, por lo que, en conjunto se suman para obtener la probabilidad conjunta.

Para el suceso {X=3}, p{X=3}=20·p³q³  (20·0'5³·0'5³=20·0'15625=0'3125=5/16=20/64)

Es decir, suponiendo la probabilidad 0'5, sacar tres monedas ocurre 1 vez de cada 64 lanzamientos. Sacar dos monedas, también. Y sacar una moneda ocurre 20 de cada 64 lanzamientos.

Procesamiento
Para averiguar todas las combinaciones de 6 tomados de 3 en 3 siguiendo el árbol se empieza por la parte superior y se van descendiendo por los ramales:
d1-d2-d3-nd4-nd5-nd6
d1-d2-nd3-d4-nd5-nd6
d1-d2-nd3-nd4-d5-nd6
d1-d2-nd3-nd4-nd5-d6
d1-nd2-d3-d4-nd5-nd6
d1-nd2-d3-nd4-d5-dn6
d1-nd2-d3-nd4-nd5-d6
d1-nd2-nd3-d4-d5-nd6
d1-nd2-nd3-d4-nd5-d6
d1-nd2-nd3-nd4-d5-d6
nd1-d2-d3-d4-nd5-nd6
nd1-d2-d3-nd4-d5-nd6
nd1-d2-d3-nd4-nd5-d6
nd1-d2-nd3-d4-d5-nd6
nd1-d2-nd3-d4-nd5-d6
nd1-d2-nd3.nd4-d5-d6
nd1-nd2-d3-d4-d5-nd6
nd1-nd2-d3-d4-nd5-d6
nd1-nd2-d3-nd4-d5-d6
nd1-nd2-nd3-d4-d5-d6

La cantidad de C_6,3=20. Cada unos de estos sucesos elementales tiene la misma probabilidad de suceder p³q³ porque en todos aparecen 3 decorados y 3 no decorados. Por lo tanto:
P{X=3}=C_6,3p³q³
y para los otros dos casos:
P{X=6}=C_6,6p⁶q⁰
P{X=0}=C_6,0p⁰q⁶

Mecanización
¿Cómo calcular cualquier la probabilidad  de otro suceso? Por ejemplo {X=2}. Los sucesos elementales que conforman este suceso sólo tienen 2 palitos decorados y 4 no decorados. El número de sucesos elementales es  C_6,2 y cada uno de ellos tiene de probabilidad p²q⁴, por lo tanto:
P{X=2}=C_6,2 p²q⁴
En general si hay r palitos decorados:
P{X=r}=C_6,r p^rq^n-r
Que es la fórmula general para calcular la probabilidad de casa suceso, siendo r={0,1,2,3,4,5,6}
Para el caso en que el número de palitos sea n
P{X=r}=C_n,r p^rq^n-r
Los resultados están ya calculados para distintos valores de n, r, p y q en las tablas de distribuciones binomiales.

Consolidación
Un experimento aleatorio cuyos sucesos elementales están constituidos por n sucesos individuales , como puede ser lanzar los seis palitos, es un experimento Binomial si:
1) Los sucesos individuales son del tipo éxito (salir decorado) o fracaso (no salir decorado)
2) Las probabilidades de éxito y fracaso se mantienen constantes para todos
P(éxito)=p, P(fracaso)=q, p+q=1
3) Los sucesos individuales son independientes, es decir lo que ocurre en un suceso individual no influye en los otros.

La variable aleatoria que cuenta el número de éxitos, X, se dice que es una variable aleatoria binomial y esto se expresa diciendo que X es B(n,p). En el juego de los palitos X es B(6,0'5). La función de probabilidad es  P{X=r}=C_n,r p^rq^n-r  , y se puede demostrar que la media=n·p y la varianza=n·p·q. Cualquier suceso que defina en la distribución binomial se puede estudiar su probabilidad a través de la función de probabilidad.

Evaluación
Para que un problema aleatorio sea del tipo binomial debemos de comprobar que es un experimento compuesto donde los n sucesos individuales, ocurre A (éxito), son independientes con la misma probabilidad de ocurrir, p, o no, q. La variable asociada X es la que cuenta el número de veces que ocurre A. Se tiene la función de probabilidad con la fórmula anterior. Ahora, todo esto, se puede aplicar para resolver los siguientes problemas:

1)      Los resultados de una encuesta sobre el nivel de aceptación de un determinado partido político han revelado que el 30% de la población es favorable a dicho partido, siendo desfavorable el resto.

En una encuesta realizada telefónicamente sobre 8 personas elegidas al azar, se desea saber la probabilidad de que:

a)      Únicamente tres sean favorables al partido.

b)      Al menos una persona sea favorable.

c)      A lo sumo dos sean desfavorables.

2)      Cierto medicamento contra una enfermedad provoca mejoría en el 60% de los casos. Si se receta a un grupo de 5 pacientes, cuál es la probabilidad de que:

a)      Los 5 pacientes mejoren.

b)      Al menos 4 mejoren.

c)      A lo sumo 2 no experimenten mejoría.

3)      Se analizan 10 empresas para decidir cuántas están en quiebra. La probabilidad de que una empresa esté en quiebra es 0’12.

a)      Calcula la probabilidad de que exactamente 2 de ellas estén en quiebra.

b)      ¿Cuál es el número esperado de empresas en quiebra?

c)      Halla la media y la desviación típica de la variable utilizada.

Infinito versus cero

Supongamos que tenemos 1Kg de azucar y lo vamos a repartir entre 2 personas, ¿cuánto le toca a cada una? Pues la operación es fácil, 1Kg/2p=0.5Kg/1p. Si el reparto fuera entre 4 personas la solución sería, 1Kg/4p=0.25Kg/1p. Si continuamos haciendo divisiones del kilo entre más personas, cada vez la cantidad por persona se hace más pequeña, acercándose cada vez más a cero.

1/2=0.5, 1/4=0.25, 1/8=0.125,....,1/100=0.01,......, 1/1000=0.001,.....

La sucesión numérica converge hacia cero.

Se dice que 1/n tiende a 0 cuando n tiende a infinito

Vamos a plantear la división al revés. Si tenemos 1Kg de azucar y queremos repartir entre varias personas  a razón de 0.5Kg de azucar, para cada una, ¿a cuántas personas se lo puedo dar? Pues la solución es, 1Kg/0.5Kg/1p=2p. Si lo que reparto es 0.25Kg por persona, lo puedo repartir entre 1Kg/0.25Kg/1p=4p. Si continuamos bajando la cantidad de azucar a repartir por persona se puede repartir entre más personas, haciéndose el número de estas tan alto como queramos.

1/0.5=2, 1/0.25=4, 1/0.125=8,....,1/0.01=100,.....,1/0.001=1000,.......

En este caso vemos que la sucesión numérica se va hacia infinito.

Se dice que 1/n tiende a infinito cuando n tiende a 0

Tres relojes de arena acoplados

En cualquier tienda de té venden unos relojes de arena para tener el saquito con las hojas en la infusión el tiempo preciso antes de retirarlo. Suelen ser tres relojes de arena acoplados en una estructura que funcionan en conjunto: uno de 3 min, otro de 4 min y el último de 5 min.
La primera cuestión que surge es si con esos tres relojes se puede medir cualquier tiempo, al menos de 1 a 10 min. La respuesta es claramente que sí se puede:

• 1 min: Poner el de 3 min y cuando se acabe empieza a contar el minuto hasta que acabe el de 4 min
• 2 min: Poner el de 3 min y cuando acabe empiezan los 2 min que acaban cuando acaba el de 5 min
• 3 min: Poner el de 3 min.
• 4 min: Poner el de 4 min.
• 5 min: Poner el de 5 min.
• 6 min: Poner el de 3 min y cuando acabe dar la vuelta y volver a ponerlo
• 7 min: Poner el de 4 min y cuando acabe dar la vuelta y contar el tiempo con el de 3 min
• 8 min: Poner el de 4 min y cuando acabe dar la vuelta y poner otra vez el de 4 min.
• 9 min: Poner el de 5 min y cuando acabe dar la vuelta y contar con el de 4 min
• 10 min: Poner el de 5 min y cuando acabe dar la vuelta y poner otra vez el de 5 min

Las operaciones que se hacen en cada caso son:

• 1=-3+4
• 2=-3+5
• 3=3
• 4=4
• 5=5
• 6=3+3
• 7=4+3 (no es conmutativo)
• 8=4+4
• 9=5+4 (no es conmutativo)
• 10=5+5

También se podían contar los primeros 10 min con un reloj de 2 min y otro de 3 min, el coste estaría en que habría que dar más de dos vueltas al reloj acoplado en algunos casos.

¿Qué tienen en común la temperatura que hace, el ascensor de mi casa y mi cuenta en el banco?

Pues, que se rigen por el modelo matemático de los números enteros, {...,-4,-3,-2,-1,-0,+1,+2,+3,+4,...}.

Los enteros positivos {+1,+1,+3,...} se usan para medir la temperatura cuando hace calor (de grado en grado), los pisos que están por encima del bajo (de piso en piso), o cuando tengo superávit (de euro en euro) en mi cuenta corriente. Así digo que hace 12ºC, que subo al 4º piso o que tengo 200 euros de saldo en mi cuenta corriente. El punto frontera entre los positivos y negativos lo marca el 0. A 0ºC cambia el agua de estado de líquido a sólido. El piso 0 es la planta baja. Y tener 0 euros en el banco es no tener nada. Los negativos {...-3,-2-1} sirven para representar valores por debajo del cero. Si está nevando probablemente estemos a -3ºC o menos. Si voy al sótano a coger el coche pulso en los botones negativos del panel del ascensor, el -1, el -2, o los que haya. Si debo dinero al banco figura en mi cuenta con valores negativos, -100 euros, -300 euros, etc.

Es muy útil tener representados en una linea con intervalos idénticos a los números enteros. Así podemos ver la temperatura en un termómetro, los pisos en un panel lineal dentro del ascensor, y aunque el banco no tiene un instrumento específico para tal fin nos lo imaginamos en forma de línea debe-haber.

Podemos encontrar muchas más situaciones cotidianas que emplean el modelo matemático de los números enteros para situar el nivel en que se encuentran las cosas. Es importante fijar el cero, lo que significa ser positivo y lo que significa ser negativo. 

ACTIVIDAD: Piensa cómo se utiliza el modelo de los números enteros para medir alturas y profundidades de metro en metro.

UNIDAD DIDACTICA: El teorema del resto chino (2)

ORIENTACIÓN
Una banda de 17 piratas posee un tesoro de peces de oro de igual valor. Proyectan repartirselo en partes iguales y dar el resto al cocinero chino. Este debería llevar 3 peces, pero los piratas discuten entre si y matan a 6. En un nuevo reparto igualitario le toca al cocinero el resto que son 4 peces. Tienen un naufragio y sólo se salvan, el tesoro, seis piratas y el cocinero. En el nuevo reparto le dan a este último 5 peces de oro. ¿Cuántos peces se llevaría el cocinero como mínimo si este decide envenenar al resto de los piratas?

Este es un nuevo ciclo en el que se amplia en forma de espiral el aprendizaje. En este caso no se puede resolver con los criterios de divisibilidad, hay que buscar la solución de forma general.

EXPERIMENTACIÓN
La solución s es el número de peces de oro que hay en el tesoro.
En el primer reparto, s=17x+3, s=3mod(17), en el segundo, s=11y+4, s=4mod(11), y en el tercero, s=6z+5, s=5mod(6)
Se trata por tanto de resolver un sistema de congruencias. Por ser solución de la primera congruencia pertenece al conjunto {3,20,37,...}. Por serlo de la segunda tiene que pertenecer al conjunto {4,15,26,...}, y por serlo de la tercera pertenece al conjunto {5,11,17,......}.
Con ayuda de una hoja de cálculo se pueden programar estas clases y comprobar cuál es el primer número coincidente. La solución que sale es 785.
¿La clase de las soluciones es una congruencia?¿Cuál es el paso?¿Cómo se puede averiguar la primera solución sin la hoja de cálculo?

CONCEPTUALIZACIÓN
La congruencia s=785mod(17·11·6) es una clase de soluciones del sistema. Cualquier número de la misma cumple:
s'=17·11·6·k+785
y pertenece a las congruencias del sistema puesto que:
s'/17=11·6·k+785/17=11·6·k+46+3/17
s'/11=17·6·k+785/11=17·6·k+71+4/11
s'/6=17·11·k+785/6=17·11·k+130+5/6
Luego
s={785, 1907, 2692,...}

PROCESAMIENTO
El objetivo es ver como se encuentra la primera solución.

UNIDAD DIDÁCTICA: El teorema chino del resto

MOTIVACIÓN
¿Cuántos soldados hay en el ejército de Hang Xing si, ordenados en dos columnas, sobra un soldado, ordenados en tres columnas sobra otro soldado, y ordenados en cinco columnas sobran tres?

EXPERIMENTACIÓN
¿Se puede hacer mirando de uno en uno?
Hay que dividir cada número de la sucesión:1,2,3,.... , por 2, por 3 y por 5. La solución será aquel número que dé de restos 1, 1 y 3, al dividir por 2, por 3 y por 5, respectivamente.
Establecemos la sucesión y ponemos si: a) da de resto 1; b) da de resto 1; c) da de resto 3.

1 soldado: a) SI; b) SI; C) NO
2 soldados: a) NO; b) NO; C) NO
3 soldados: a) SI; b) NO; C) SI
4 soldados: a) NO; b) SI; C) NO
5 soldados: a) SI; b) NO; C) NO
6 soldados: a) NO; b) NO; C) NO
7 soldados: a) SI; b) SI; C) NO
8 soldados: a) NO; b) NO; C) SI
9 soldados: a) SI; b) NO; C) NO
10 soldados: a) NO; b) SI; C) NO
11 soldados: a) SI; b) NO; C) NO
12 soldados: a) NO; b) NO; C) NO
13 soldados: a) SI; b) SI; C) SI
...........................
13 soldados es una solución, ¡¡pero puede haber más!!

CONCEPTUALIZACIÓN
¿Cómo son las soluciones?
La solución s tiene que ser un número que al dividir por 2 dé de resto 1, al dividir por 3 dé de resto 1 y al dividir por 5 dé de resto 3. La solución es congruente con 1 modulo 2, s=1mod(2), congruente con 1 módulo 3, s=1mod(3) y congruente con 3 modulo 5, s=3mod(5).
Los números s=1mod(2) son {1,3,5,7,9,11,13,....}
Los números s=1mod(3) son {1,4,7,10,13,...}
Los números s=3mod(5) son {3,8,13,...}
Son sucesiones aritméticas cuyos términos generales son:
1) s=1+(n-1)2=2n-1=>s+1=2n
2) s=1+(n-1)3=3n-2=>s+1=3n
3) s=3+(n-1)5=5n-2=>s+2=5n
De 1) concluimos que sólo puede acabar en 1,3,5,7 ó 9
De 3) concluimos que sólo puede acabar en 3 u 8
De ambos concluimos que sólo puede acabar en 3
Si solo tiene dos cifras, de esto último y de 2) concluimos que la primera cifra sólo puede ser 1, 4 ó 7, esto es s=13, s=43 ó s=73

PROCESAMIENTO
¿Para buscar más soluciones qué tenemos que hacer?
La solución tiene que se un número que acaba en 3 y que al restarlo de 1 sea un múltiplo de 3. Supongamos que queremos una solución con 4 cifras: s=abc3
Lo restamos de 1:
abc3-1=abc2
Ahora las cifras deben de sumar múltiplo de 3, pero hay un límite, tiene que ser un múltiplo de 3, para este caso, que esté entre 3 y 27. No puede ser más para las tres cifras dadas.
Tenemos muchas posibilidades y podemos enumerarlas todas. Pero supongamos un caso más práctico, si a=2, y b=9, entonces a+b+c+2=2+9+c+2=c+13. Ahora podemos coger cualquier múltiplo de 3 mayor que 13 y menor que 27, por ejemplo el 21. Tenemos c+13=21, entonces c=8. El número será el 2983 

MECANIZACIÓN
¿Se puede encontrar una fórmula para encontrar las soluciones?
Si la solución la dividimos en las cifras iniciales C y la final 3, s=C&3.
Resulta que C&2 es múltiplo de 3, C&2=3n, pero C&2=C·10+2=3n, de donde,
C=(3n-2)/10
C es un número natural, por lo tanto solo valen múltiplos de 3 que acaben en 2:
3·4=12, 3·14=42, 3·24=72,...
Así sale:
Para n=14, C=1=> s=13
Para n=24, C=4=> s=43
Para n=34, C=7=> s=73
.......................................
Para n=104, C=31=> s=313
......................................
Para n=994, C=298=> s=2983
.......................................

CONSOLIDACIÓN
¿Cómo encontrar una solución si se me olvida de la fórmula?
1) La solución menos 1 es un múltiplo de 2, eso significa que acaba en 1,3,5,7,ó 9
2) La solución menos 3 es un múltiplo de 5, eso significa que acaba en 3 u 8. Y según lo anterior sólo puede acabar en 3.
3) La solución menos 1, es un múltiplo de 3, eso significa que si sumamos todas las cifras menos la primera con un 2 tienen que sumar un múltiplo de 3.
Por ejemplo:
373, 10453, 6553, ....

EVALUACIÓN
¿Qué particularidad tienen los números que son solución?
Los tres primeros, 13, 43 y 73 son números primos. ¿Serán todos números primos?
C=(3n-2)/10 con n=4,14,24,34,44,54,64,74,......
s=C·10+3
s=3n+1 con n=4,14,24,34,44,54,64,74,.....=4+10·1, 4+10·2, 4+10·3, 4+10·4,..=4+10(k-1)
s=3(4+10(k-1))+1=12+30k-30+1=30k-17, con k=1,2,3,4,...
Para k=17, s=30.17-17=29·17=493, que no es primo

s=13, 43, 73, 103, 133, 163, 193, 223, ..... una progresión aritmética de diferencia 30 y primer término 13, aunque curiosamente hay muchos números primos

Actividad: 
Una banda de 17 piratas posee un tesoro de peces de oro de igual valor. Proyectan repartirselo en partes iguales y dar el resto al cocinero chino. Este debería llevar 3 peces, pero los piratas discuten entre si y matan a 6. En un nuevo reparto igualitario le toca al cocinero el resto que son 4 peces. Tienen un naufragio y sólo se salvan, el tesoro, seis piratas y el cocinero. En el nuevo reparto le dan a este último 5 peces de oro. ¿Cuántos peces se llevaría el cocinero como mínimo si este decide envenenar al resto de los piratas?