viernes, 23 de mayo de 2014

Medir el radio del Sol. Una investigación científica

Problema: Averiguar cuánto mide el radio del Sol sabiendo que la distancia media de la Tierra al Sol es de 149 600 000 km.
Material: Utilizar un tubo de cartón, papel de aluminio, papel transparente, una regla y elásticos.
Método: Se cubre un extremo del tubo con papel aluminio y se sujeta con un elástico. El otro extremo se cubre con el papel translucido, sujetado con el elástico. Se hace un agujero redondo en el centro del papel aluminio. Se pone el tubo paralelo a los rayos de Sol de forma que un rayo incida por el agujero y se refleje en el papel translúcido. Se utilizan triángulos semejantes como se indica en el gráfico.
Los triángulos OPQ, ORS y OP'Q' son semejantes. 

 Se mide el diámetro del agujero (RS=c) y el del Sol reflejado en el otro extremo (PQ=a). También se mide la longitud del tubo (TM=b).
Se cumple que OM=OT+TM, siendo OM y OT desconocidos. Por la semejanza de triángulos se cumple que OM/PQ=OT/RS. Con estas dos ecuaciones se calcula OM y OT. Ahora también se cumple que OM/PQ=OM'/P'Q'. De aquí se despeja P'Q' que es el diámetro del Sol
Resultados: Los que obtengan los alumnos.
Discusión: La que establezcan los alumnos.
Conclusiones: Las que obtengan los alumnos.

jueves, 1 de mayo de 2014

Metodología matemática vs enseñanza de las matemáticas

Cojamos la organización de la materia en el tema de resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se empieza por resolver ecuaciones de una incógnita: 2x+6=2. Se añaden paréntesis y denominadores y se busca simplificar las ecuaciones: 3(x-3)/4+5x/2=5. El método general en esta parte es eliminar denominadores, quitar paréntesis y despejar la incógnita. Se pasa a sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. 3x-4y=7; -5x+y=7. Siempre se referencia a escribir las ecuaciones de esta forma estándar, las incógnitas a la izquierda de las igualdades y los términos independientes a la derecha. Si hay paréntesis, denominadores u otra distribución de las incógnitas se arreglan las ecuaciones para tenerlas en forma estándar. A partir de aquí tres métodos: igualación, sustitución y reducción. El método de reducción se generaliza para obtener el método general para cualquier número de incógnitas y de ecuaciones, el llamado método de Gauss. Se hace la triangulación del sistema. También se puede mejorar el método completándolo con el método de Jordan. Sin embargo la introducción de matrices y determinantes permite obtener otro método general que evita hacer cálculos estudiando previamente la existencia de soluciones con los rangos. Primero se resuelven Sistemas de Cramer identificando los sistemas con ecuaciones matriciales. Si el sistema es cuadrado y la matriz de coeficientes es regular, entonces, es un sistema de Cramer, se puede calcular la matriz inversa y despejar  la matriz de las incógnitas. El proceso se concreta en el método de Cramer usando determinantes, proceso que está conectado, también, con el método de reducción. El teorema de Rouché-Frobenius permite dedicir la existencia de solución en un sistema general y a partir del rango se simplifica el sistema a uno de Cramer y se resuelve con su método. Esto cierra el problema de resolver cualquier sistema de ecuaciones lineales. Hasta aquí la organización algebraica y la metodología matemática. Ahora, la reflexión es que esto es la consolidación del estudio de este problema matemático en la que intervinieron muchos matemáticos en la historia. La cuestión es: ¿Nuestros estudiantes sólo tienen que aprender estos métodos?¿Deben de descubrir los métodos?¿Deben de aprender solamente a aplicarlos?¿Deben de aprender los conceptos implicados y las estructuras profundas que los sostienen?¿Deben de aprender criterios para saber cuándo y cómo emplearlos?
La cuestión más honda del problema es: ¿La metodología del aprendizaje es diferente a la metodología de la materia?¿Hay que aprender los métodos, o cómo se obtiene, o cómo y cuándo se emplean?