¿Qué hay que hacer?

Volvemos al principio del blog otra vez y al problema de los bolígrafos:

Pedro compró dos bolígrafos y un bloc y pagó con un billete de 5 euros. En el bloc encuentra una etiqueta que pone que cuesta 3 euros y quiere averiguar lo que le costó cada bolígrafo.

Deshacer las operaciones del camino supone tener camino presente para desandarlo. Vamos a llamar x al precio de cada boligráfo, y como son 2 bolígrafos han costado 2x, entonces, hagamos cuentas:

Los boligrafos cuestan ----->2x

El bloc cuesta ----------------->3

-----------------------------------------

Total: ----------------------------->5

-----------------------------------------
Si quitamos el precio del bloc en la cuenta sólo queda 2x y en el total 2. Entonces x=1.

¿Para qué sirven las matemáticas?

Volvemos al problema inicial, ¿para qué sirven las ecuaciones?

Pedro compró dos bolígrafos y un bloc y pagó con un billete de 5 euros. En el bloc encuentra una etiqueta que pone que cuesta 3 euros y quiere averiguar lo que le costó cada bolígrafo.

¿Cuál es la relación entre objetos y dinero?
Mentalmente deshacemos el camino desde el final hasta el principio. A los 5 euros le descontamos los 3 y quedan 2 euros. Los bolígrafos costaron 2 euros. Ahora, como eran 2 bolígrafos debemos dividir 2 euros entre 2 bolígrafos y sale a 1 euro cada bolígrafo.


La orientación a seguir es deshacer el camino realizando operaciones inversas. Si se fue acumulando el precio ahora debemos restarlo y si en algún momento se multiplicó, debemos dividirlo.

Los problemas del camino

Reflexión:

Vamos a iluminar el asunto. Se desea poder averiguar la cantidad de mantequilla que va con una cantidad dada de harina. Asumiendo que el reparto es homogéneo, en la mitad del pastel hay mitad de harina y mitad de mantequilla.

250g de harina van con 50g de mantequilla
125g de harina van con 25g de mantequilla.
Si el pastel fuese el doble grande tendría doble de harina con doble de mantequilla.
500g de harina van con 100g de mantequilla.
Problema 1:
No es fácil encontrar cómo pasar mentalmente de 250g de harina a 800g de harina. Se hace pesado, hay que aligerarlo.

Estrategia:
Si nos fijamos en la posiciones de los números se trata de multiplicar o dividir los números al unísono.
250g de harina ---------> 50g de mantequilla
250/2=125-------------> 50/2=25
2·250=500------------> 50·2=100
800---------------------> 50·800/250=160g de mantequilla

La regla es multiplicar la nueva cantidad de harina por la cantidad de mantequilla que se conoce y dividir por la cantidad de harina inicial.

Con esto se descarga la mente para centrarlo en la multiplicación y en la división.

Problema 2:
Las cantidades con las que operar pueden ser grandes y complica la obtención del resultado. Hay que hacerlo sencillo.

El aprendizaje como experiencia personal y colectiva

Aprender es realizar un camino con mucha gente. Hay una serie de etapas que nos van enseñando:

Relación: Motivar para realizar un camino, soñar con el sitio a donde se va y entusiasmarse.
Estrategia: Los preparativos del camino, su inicio, tomándolo como un juego divertido.
Razonamiento: La primeras hambres del camino y el establecimiento de las raciones.
Estructura: Los primeros cansancios y flaqueo en el seguir, la firmeza del sentido del camino.
Funcionamiento: Los esfuerzos y trabajos para poder continuar, las primeras enfermedades.
Formulación: La disciplina y mecanización, la practicidad en el caminar.
Método: La llegada con todo lo aprendido y la selección de lo absolutamente necesario para repetir el camino.

Una receta de cocina

Para hacer un pastel se deben de emplear 250 g de harina con 50 g de mantequilla (aparte de otros ingredientes). Si queremos que sea más grande y utilizamos 1000 g de harina, ¿cuánta mantequilla debemos de añadir?¿Cuánta mantequilla se necesita con 800 g de harina?

1) Relación

¿Cómo relacionamos las cantidades de harina y mantequilla? Hay una relación de proporcionalidad directa entre la cantidad de harina y la de mantequilla:

Si usamos 1000 g de harina cuadruplicamos la cantidad inicial de los 250 g de harina. Entonces debemos de cuadruplicar la cantidad de mantequilla, es decir, necesitamos 200 g de mantequilla. Ahora, si por 1000 g de harina empleamos 200 g de mantequilla, estamos poniendo 20 g de mantequilla por cada 100 g de harina, y si queremos que el pastel tenga 800 g de harina, entonces hay que multiplicar por 8 los 20 g, esto es, se necesitan 160 g de mantequilla.