Menos por menos es más

¿De dónde viene las reglas de multiplicar los signos?

Más por más es más

5·6=30 

Si hay que sumar 5 veces 6 obviamente da 30, sumar números positivos da positivo

Más por menos es menos

5·(-6)=-30

Si hay que sumar 5 veces el -6 obviamente da -30, sumar números negativos da negativo

Menos por más es menos

-5·6=-30

Por la conmutatividad del producto -5·6=6·(-5) y, como antes, sumar 6 veces el -5 da -30

Menos por menos da más

-5·(-6)=30

¿El resultado podría ser negativo?

Como, usando la propiedad distributiva, -5·(-6)+(-5)·6=(-5)·(-6+6)=-5·0=0

entonces son opuestos, por lo tanto el resultado es positivo

El problema de la vaca y la oveja

 

Un labrador tiene pienso para alimentar una vaca para 27 días y para alimentar una oveja para 54 días. ¿Para cuántos días tiene si alimenta a los dos animales a la vez?

Si lo que dura la comida para las ovejas es el doble que lo que dura para una vaca, 54/27=2, entonces una vaca equivale a dos ovejas. Si pone juntos los animales equivale a 3 ovejas. Entonces si una oveja come el pienso en 54 días, 3 ovejas lo comen en la tercera parte, 54/3=18 dias.

Sumar y restar más uno y menos uno

Tienes una cuenta de banco, si la tienes en positivo es que tienes capital y si está en negativo es que tienes deuda. Veamos los siguientes casos:

A) Tienes un euro e ingresas otro euro

1+1=2

ahora tu saldo es de dos euros.

B) Tienes un euro y extraes un euro

1-1=0

ahora tu saldo es de cero euros.

C) Debes un euro al banco e ingresas un euro

-1+1=0

ahora cancelas la deuda y no tienes nada.

D) Debes un euro al banco y le pides que te preste un euro

-1-1=-2

ahora tu deuda aumenta a dos euros.

E) Tienes un euro y le pides al banco que pague una deuda que tienes con otro banco de un euro

1+(-1)=0

ahora tienes cero euros en cuenta.

F) Tienes un euro y le pides que te quite una deuda que tienes de un euro que te cobraron indebidamente

1-(-1)=2

ahora tienes dos euros.

G) Debes un euro al banco y le pides que pague una deuda de un euro que tienes con otro banco

-1+(-1)=-2

ahora debes dos euros

H) Debes un euro y le pides que te quiten la deuda de un euro porque la cobraron indebidamente

-1-(-1)=0

ahora no debes nada.

El operador de la resta y el signo menos de los negativos

Son dos cosas diferentes el operador menos de la resta

6-4=2

y el signo menos de los negativos

-5

Si son dos cosas diferentes, ¿por qué se utilizan con el mismo símbolo?

Primero hay que distinguirlos cuando se utilizan en la misma expresión:

7-3 es la resta del positivo 7 del positivo 3

Se podría escribir (+7)-(+3), pero a los positivos no se les suele poner el signo.

5-(-3) es la resta del positivo 5 con el negativo -3

resulta que restar un negativo es lo mismo que sumar el positivo opuesto

5-(-3)=5+3

en el caso de restar un negativo de otro negativo

-4-(-6)=-4+6

(el operador menos y el signo menos se convierten en el operador más)

que es sumar un negativo con un positivo y como la suma es conmutativa

-4+6=6+(-4)

pero sumar un positivo con un negativo es lo mismo que restar ambos positivos

6+(-4)=6-4=2

(se observa que el signo menos se convierte en el operador menos de la resta)

Reglas para operar con enteros

Por coherencia las matemáticas preservan lo anteriormente establecido y esto lleva a reglas que ayudan a realizar cálculos de forma generalizada.

Los números enteros tienen una interesante propiedad que hay que tener en cuenta a la hora de operar. 

Todo número entero tiene su opuesto.

El opuesto del 5 es el -5, el opuesto de 3 es el -3. Y para los negativos, el opuesto del -5 es el 5 y el del -3 es el 3. El opuesto del 0 es el mismo 0. 

El que dos números sean opuestos significa que su suma es cero.

5+(-5)=0,  3+(-3)=0,  -5+5=0,  -3+3=0,  0+0=0

Se observa que 5+(-5)=5-5=0,  3+(-3)=3-3=0,  -5+5=5-5=0,  -3+3=3-3=0

Al sumar un negativo da lo mismo que restar con el positivo. 

Sumar un negativo con un positivo da lo mismo que restar el positivo del negativo

Entonces, 4+(-2)=4-2=2, 3+(-6)=3-6=-3

Para obtener el opuesto sólo hay que cambiar el signo del número (los positivos no suelen llevar el + pero se le supone). Cuando se le cambia el signo a un negativo se tiene que se convierte en positivo.

-(-5)=5,  -(-3)=3

Restar es lo mismo que sumar con el opuesto.

6-4=6+(-4)=2, 

Entonces

Restar un número negativo es lo mismo que sumar el positivo

7-(-3)=7+(-(-3))=7+3=10