jueves, 31 de diciembre de 2009

Matemáticas relacionales (todo vinculado)

El área de un triángulo rectángulo como vínculo común permite obtener las áreas de otras figuras planas estableciendo la acción adecuada con esta orientación: hacer la conveniente división de la figura en triángulos rectángulos y combinar sus áreas. Así, un triángulo equilátero (o un isósceles) está formado por dos triángulos rectángulos de base b/2 y altura a, su área será: A=((b/2)·a)(1/2)·2=(b·a)/2.

Un rectángulo se divide en dos triángulos rectángulos por la diagonal, su área es: A=(b·a)(1/2)2=b·a. Lo mismo pasa con el cuadrado en el que a=b, quedando entonces su área, A=a·a=a2.

Un pentágono regular se divide en 5 triángulos isósceles, su área será: A=(5·b·a)/2=(p·a)/2, ya que 5·b=p es el perímetro del pentágono. El valor de a se llama apotema. Cualquier otro polígono regular de más lados también tiene esta fórmula.

Para un triángulo obtusángulo podemos suponer que su área se obtiene restando el área de un triángulo rectángulo de base b1+b2 y altura a de otro de base b1 y altura a. A=(b1+b2)·a/2- b1 ·a/2= b2·a/2.

Para el rombo, descomponiéndolo en cuatro triángulos rectángulos como se ve en la figura, su área queda: A=4·(b/2)(a/2)/2=(b·a)/2=(d·D)/2, siendo d y D las diagonales menor y mayor, respectivamente.

Para un trapecio (equilátero, isósceles o escaleno), dividiéndolo en dos triángulos de igual altura por una de las diagonales (ya no se necesita que sean rectángulos), tenemos: A=(B·a)/2+(b·a)/2=(B+b)·h/2, siendo a=h la altura, B la base mayor y b la menor.




martes, 29 de diciembre de 2009

Matemáticas prácticas (todo demostrado por escrito)

Un ejemplo: Juan tiene 500 euros en el banco y en el plazo de 5 años amplia su capital hasta 550 euros, ¿que rendimiento le ha generado el capital? y ¿a qué interés tenía ese capital?.

Se define el rédito, r, como el rendimiento generado por el capital, lo que se ha incrementado en proporción al capital inicial. Si C1 es el capital inicial y C2 el final, la fórmula del rédito es: r=(C2-C1)/C1. Se expresa en tanto por uno o por ciento.

En este caso: r=(550-500)/500=50/500=0'1=10%. Lo cual demuestra que el capital se incrementó un 10% del capital inicial.

Se define el interés, i, como el rédito por unidad de tiempo. Entonces la fórmula del interés es: i=r/t.

En este caso, i=0'1/5=0'02=2%. Lo cual demuestra que el capital se incrementó el 2% del capital inicial en cada uno de los 5 años.

Formulario para calcular el rédito y el interés:

(C1)Capital inicial (C2)Capital final (t)Tiempo transcurrido (r)Rédito=(C2-C1)/C1 (i)Interés=r/t





sábado, 28 de noviembre de 2009

Cegados para las matemáticas

CUANDO LA PASIÓN NO PERMITE VER LA RAZÓN:
Hay chicos que parecen que están cegados para el aprendizaje matemático (y otros aprendizajes intelectuales), las causas pueden ser diversas pero la resultante es el comportamiento de ceguera ante las propuestas de aprendizaje. No son capaces de percibir esa realidad y por contra suelen desempeñar una frenética actividad en contra del aburrimiento que les provoca el aprendizaje. Si realizásemos el experimento de hacer asistir a clase a un buen estudiante con los ojos tapados, sin la posibilidad de ver la pizarra, ni el cuaderno, ni a profesor, ni a compañeros, probablemente con el paso de los días tendríamos los mismos resultados que aporta cualquier chico del que hablamos inicialmente. No son alumnos irrecuperables como éstos se consideran, no tienen una neurona de menos como llegan a decir, solamente hay que averiguar la causa de su ceguera, y, tal vez, lavándole los ojos recuperen la vista.

sábado, 21 de noviembre de 2009

Empaquetando cubos

Una caja P(x) la puedo llenar con 5 cubos de volumen x3, con 2 paralelepípedos de volumen 1·x2 y con 4 cubos de volumen 1. Otra caja Q(x) la puedo llenar con 3 cubos de volumen x3, con 4 paralelepípedos de volumen 1·x2 pero me sobran 4 cubos de volumen 1. Si junto las cajas en una tercera, ¿qué cantidad de piezas tienen que caber al menos?.

Empaquetando materia y antimateria

jueves, 19 de noviembre de 2009

El espacio como escena

Dados los siguientes polinomios: P(x)=2x3+3x2-4x+3 y Q(x)=-3x3+4x2-5x-2; calcular su suma: P(x)+Q(x).

ORIENTACION:
Hay que considerar que P(x) y Q(x) son dos posiciones en el papel y que en todo momento los polinomios son una serie de posiciones ocupadas por los monomios. Hay que aproximar los monomios semejantes.

CAMINO:
En el lugar de P(x) y de Q(x) ponemos la expresión polinómica que les corresponde:
P(x)+Q(x)=2x3+3x2-4x+3 + (-3)x3+4x2-5x-2

Reordenamos juntando los monomios de igual grado:
P(x)+Q(x)=2x3-3x3 + 3x2+4x2 + (-4)x-5x + 3-2

Realizamos las operaciones entre los monomios de igual grado:
P(x)+Q(x)=-x3+7x2-9x+1

martes, 3 de noviembre de 2009

Conseguir el conocimiento

The two galaxies happen to be oriented so that they appear to mark the number 10. The left-most galaxy, or the "one" in this image, is relatively undisturbed apart from a smooth ring of starlight. It appears nearly on edge to our line of sight. The right-most galaxy, resembling a zero, exhibits a clumpy, blue ring of intense star formation. The galaxy pair was photographed on October 27-28, 2008. Arp 147 lies in the constellation Cetus, and it is more than 400 million light-years away from.
http://hubblesite.org/



¡Qué fuerte! ¿Como conseguir un 10 como este en Matemáticas? Pero, ¿cuantos kilómetros hay para ir hasta la constelación Cetus (La ballena)?. Y, yendo a la velocidad del mejor cohete posible, ¿cuánto tiempo tardaríamos?

La velocidad de escape del planeta Tierra es de 40221 Km/h. La del Sol es de 3204000 km/h. Eso quiere decir que para escapar de la atracción terrestre y del Sol hay que ir por encima de esas velocidades, respectivamente. Vamos a suponer que tenemos un cohete que nos permite salir del Sistema Solar a 3204000 km/h, ¿cuánto tardaríamos en llegar a Cetus?
La velocidad de la luz suponemos que es 3·105 km/s, que en km/h sería, 3·105·3600 = 1,08·109 km/h. La luz tarda 400 millones de años en llegar desde la constelación Cetus hasta nosotros, o sea, 4·108·365·24 = 3,504·1012 horas. Por tanto hay 3,504·1012·1,08·109 = 3,784·1021 km de distancia. Un cohete que consiguiese salir con la velocidad de escape necesaria para salir del Sistema Solar tardaría 3,784·1021 /3,204·106 = 1,181·1015 horas = 1,181·1015/(365·24) = 1,348·1011 años. Un buen puñado de años. Tal vez haya un atajo.

Actividad hecha con el Maxima

domingo, 1 de noviembre de 2009

Construir el conocimiento

Definición: Una división entre naturales es exacta cuando el resto es cero:
Ejemplo: 45 dividido entre 3 da de cociente 15 y de resto 0 y por lo tanto es una división exacta.

Definición: Un número tiene por divisor a otro número cuando la división por ese número es exacta.
Ejemplo: 25 tiene por divisor al 5 porque al dividir 25 entre 5 da de resto 0.
Ejemplo: 24 no tiene por divisor al 5 porque el resto de la división de 24 entre 5 es 4.

Proposición: El 1 es divisor de cualquier número:
Demostración: Es obvio que al dividir cualquier número entre 1 da una división de resto cero.

Proposición: Todo número es divisor de sí mismo.
Demostración: Es obvio que al dividir cualquier número entre sí mismo da división de resto cero.

Definición: Un número primo es aquel que solo admite como divisores al mismo número o la unidad.
Ejemplo: El 2 es primo, el 3 es primo, el 5 es primo.
Ejemplo: El 4 no es primo porque es divisible por 2, y el 9 tampoco es primo porque es divisible por 3.

Definición: Un número que no sea primo se dice compuesto.
Ejemplo: El 14 es compuesto

Proposición: Todo número compuesto admite algún número primo como divisor.
Demostración: Si es compuesto admite un divisor distinto de 1 y del propio número. Si este divisor no es primo entonces es compuesto y a su vez admitirá un divisor primo o compuesto. Si seguimos así llegaremos a que en algún momento el divisor tiene que ser primo porque en última instancia llegaríamos a que sólo admite al 1 o al propio número como divisor y por lo tanto es primo.
Ejemplo: El 42 es compuesto y admite al 6 como divisor. Pero el 6 admite al 3 como divisor que es primo y por tanto el 3 también es divisor primo de 42.

Teorema: Existen infinitos números primos.
Demostración: Suponemos que existen sólo un número finito de números primos que numeramos así: p1, p2, p3, ...pn. Si consideramos el número que resulta de multiplicar todos esos números primos y sumarle el uno tendremos un nuevo número: q= p1· p2· p3· ...·pn+1; pues resulta que ese nuevo número también es primo, porque si lo dividimos por cualquiera de los primos pi da de resto 1; y si lo dividimos por cualquier número compuesto distinto de 1 y de q tampoco puede dar exacto porque sino habría un primo divisor. Como q es mayor que cualquier pi tal como se construyó estaríamos diciendo que hay más de n números primos contradiciendo la hipótesis de partida de que sólo había n. Entonces no podemos aceptar que haya un número finito de números primos.

sábado, 31 de octubre de 2009

Contar el conocimiento

Los numerales arábigos:

Es de todos conocidos que las representaciones numéricas de los números que empleamos nos llegaron con los árabes a Europa a través de la invasión por el sur de España, por eso se les llaman también números arábigos, y que a su vez éstos los habían extraído de los hindúes. La genealogía de los numerales actuales empieza con las formas de representar los números en la civilización hindú de los Brahmi (300 a.C), pasa a los Gwalior (500 d.C) y de ahí a los árabes. Éstos tienen dos ramas, los orientales (800) y los occidentales (950), estos últimos son los que vienen a España. Matemáticos árabes como al-Sizji (945-1020), al-Biruni (973-1048) o al-Banna al-Marrakushi (1256-1321) difunden con sus tratados estos nuevos numerales que llegan a occidente. Aunque suele corresponder a al-Khwarizmi (780-850), por parte árabe, y a Leonardo de Pisa (Fibonacci, 1170-1250), por parte europea, todo el protagonismo del traspaso.

Calculistas vs abaquistas:

En el transcurso histórico los números van sufriendo transformaciones en su forma de escribirlos. Hay varios factores que influyen en esta evolución. Uno de ellos es el sentido de la escritura, según se escriba de izquierda a derecha o al revés, de arriba abajo o al revés, esto influye en la grafía, de ahí que los primeros números árabes occidentales y orientales sólo difieren en un giro de 90º. Otra de las influencias es el medio de cálculo que se emplea, por ejemplo, en Europa desde el principio de milenio hasta varios siglos después, se desarrolló toda una lucha entre los calculistas con ábaco y los que usaban las cifras árabes trazadas sobre la arena. El dibujar las cifras en un tablero de arena o polvo (Gobar) permitía escribir y borrar varias veces, mejorando el proceso de cálculo, y este fue un factor importante para que los numerales árabes se impusieran a los ábacos.


Modas y futuro:

También han influido determinadas escuelas y personajes de diversos ámbitos, como los discípulos de Pitágoras, sobre el año mil, que ponen de moda los números ápices, A. Durero sobre el 1500 que diseña unos números geométricos o Gutenberg que en esa época los tiene que diseñar junto con la letra gótica en las prensas de su imprenta. Lo curioso es que los diez dígitos que empleamos hoy en día alcanzan su tipografía actual hace poco más de 500 años, y ya nos hemos familiarizado con ellos, aunque con la llegada de los ordenadores ya les hemos visto con nuevo aspecto, pero cabe preguntarse si no seguirán evolucionando en el futuro, puesto que cada época también les reviste de su impronta.

viernes, 30 de octubre de 2009

Completar conocimiento

Resolver las operaciones con números enteros en TODOS los casos:
LISTA:

a) 2+3; 3+6; 2+9; 5+5 (suma de dos números naturales a+b con a<=b).

b) 4+2; 7+2; 6+6; 8+1 (suma de dos números naturales a+b con a>b).

c) 5-3; 6-2; 8-4; 7-7 (resta de dos números naturales a-b con a>=b).

d) 5-7; 4-9; 3-8; 5-9 (resta de dos números naturales a-b con |a|<=b).

e) -3+4; -5+5; -2+7; -1+4 (suma de un entero negativo con otro positivo a+b con |a|<=b).

f) -4+2; -6+2; -5+3; -7+1 (suma de un entero negativo con otro positivo a+b con |a|>b).

g) -8+(-1); -6+(-3); -6+(-6); -7+(-2) (suma de un entero negativo con otro negativo a+b con |a|>=|b|).

h) -3+(-7); -2+(-5); -3+(-9); -1+(-5) (suma de un entero negativo con otro negativo a+b con |a|<|b|).

i) 4-(-3); 8-(-2); 5-(-5); 6-(-3) (resta de un entero positivo con otro negativo a-b con a>=|b|).

j) 3-(-5); 5-(-8); 2-(-3); 1-(-6) (resta de un entero positivo con otro negativo a-b con a<|b|).

k) -4-(-3); -6-(-1); -6-(-2); -8-(-8) (resta de un entero negativo con otro negativo a-b con |a|>=|b|).

l) -3-(-6); -1-(-5); -4-(-7); -2-(-9) (resta de un entero negativo con otro negativo a-b con |a|<|b|).

El HILO CONDUCTOR son las sumas y restas de enteros distinguiendo si los números son positivos o negativos y si el primer número de la operación en valor absoluto es mayor o igual que el segundo en valor absoluto o no.

martes, 27 de octubre de 2009

Generar conocimiento

IDEA: Los números primos se definen como aquellos que sólo admiten dos divisores diferentes, el 1 y el propio número. Así 7 es primo porque DIV(7)={1,7}. ¿Pero qué pasa si catalogamos los números según la cantidad de divisores que tienen?

TRONCO: Tendríamos:
Con un sólo divisor:
El 1; DIV(1)={1}
Que llamaremos 1-primo.

Con sólo dos divisores:
2; DIV(2)={1,2}
3; DIV(3)={1,3}
5; DIV(5)={1,5}
...........
Todos los números primos, que desde ahora llamaremos 2-primos.

Con sólo tres divisores:
4; DIV(4)={1,2,4}
9; DIV(9)={1,3,9}
16; DIV(25)={1,5,25}
..............
Los llamaremos 3-primos.
RAMA: Los 3-primos son los cuadrados de los números primos.

Con sólo cuatro divisores:
6; DIV(6)={1,2,3,6}
8; DIV(8)={1,2,4,8}
10; DIV={1,2,5,10}
...............
Los llamaremos los 4-primos.
RAMA: Dentro de los 4-primos están los cubos de los números primos, como por ejemplo el 8 y el 27. También están los que son producto de dos primos diferentes, como por ejemplo el 6 y el 10.

Y así sucesivamente

RAMA: Se van formando una serie de secuencias de p-primos:
1-primos: 1
2-primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13,.....
3-primos: 4, 9, 25, 49, 121, 169,.....
4-primos: 6, 8, 10, 14, 15,.........
5-primos: 16, 81, ......
6-primos: 12, 18, 20,.....
¿Se pueden relacionar las series?

sábado, 24 de octubre de 2009

Un diccionario de doble sentido

Mis alumnos (1º ESO) han hecho un diccionario con palabras de uso matemático y de uso común. Ahí va:

Palabra --> en el uso matemático --> en el uso común

  1. área --> de la figura --> el área está protegida
  2. base --> de la figura --> tú tienes que tener una base
  3. cateto --> del triángulo --> eres un cateto
  4. coma --> 0'4 --> ortográfica
  5. cono --> figura --> un helado de cono
  6. cuadrado --> figura --> ese tío está cuadrado
  7. cubo --> 43 --> guárdalo en ese cubo
  8. entero --> número --> la leche es entera
  9. división --> operación --> la carrera se dividió
  10. igual --> 4+5=9 --> esta persona es igual que yo
  11. lista --> secuencia --> eres muy lista
  12. más --> 3+5 --> esto es más que eso
  13. menos --> 10-5 --> tú eres menos grande que yo
  14. multiplicación --> operación --> esa gente se multiplica
  15. número --> número --> yo soy el número uno
  16. operación --> 10+20=30 --> esta operación ha sido un éxito
  17. paréntesis --> operar --> ortográfico
  18. pié --> 0'3048m --> parte del cuerpo
  19. potencia --> 72 --> cualidad de la persona
  20. primo --> número --> Alex es primo de Ángel
  21. producto --> 6·7 --> este producto sirve para comer
  22. resultado --> 4+4=8 --> el resultado del partido
  23. tabla --> multiplicar --> de madera
  24. triángulo --> figura --> el triángulo es un instrumento musical

jueves, 22 de octubre de 2009

Sumar significativamente

Una pareja de patos cría en el mes de marzo alrededor de 10 polluelos. Si los patos pueden criar durante 10 años, ¿cuántos descendientes llegaría a haber en 4 años de una pareja suponiendo que sobrevivieran todos en ese período y que los nuevos patos criasen al año de nacer? ¿Cuántos si el indice de mortalidad es del 50% anual?

Número de descendientes contabilizados en relación causa-efecto:El primer año: 10 patos
El segundo año: 10 patos de la primera pareja+ la primera pareja = 11 parejas a criar=>110 nuevos patos
El tercer año: 11 parejas del año pasado+ 110 nuevas parejas= 121 parejas a criar=>1210 nuevos patos
El cuarto año: 121 parejas del año pasado+1210 nuevas parejas= 1331 parejas a criar=>13310 nuevos patos.

El número de parejas a criar cada año es un número "redondo", ¡es un número capicúa!

Número total de patos viviendo en los cuatro años sin contar consortes= 1+10+110+1210+13310=14641 (otro número capicúa)
¡Es una buena cantidad de patos!, se puede decir que la Naturaleza en generosa, pero el caso es que no todos sobreviven.

Kant: La ley causal rige siempre y de manera absoluta simplemente porque la razón del hombre capta todo lo que sucede como una relación causa-efecto.

sábado, 17 de octubre de 2009

Multiplicar con engranajes

Un sistema está formado por tres engranajes de 16, 8 y 12 dientes, respectivamente. La rueda de 16 dientes gira en sentido horario a razón de 3 vueltas por segundo. ¿En qué sentido y a qué velocidad gira la rueda de 12 dientes?

Cada rueda transmite a la que le sigue un sentido de giro y una velocidad:

Regla 1: El sentido de giro se invierte de una rueda a otra.

Regla 2: La velocidad que transmite una rueda a la siguiente es k veces su propia velocidad, siendo k la razón entre el número de dientes entre la rueda que transmite y la que recibe.


Por tanto, por la regla 1, como el sentido de giro de la rosa es horario, el de la rueda intermedia verde es antihorario y el de la última rueda naranja es horario.
Por la regla 2, la velocidad de la rueda intermedia es 16/8=2 veces la inicial, o sea, el doble que la inicial, 6 vueltas por segundo. La rueda naranja girará con una velocidad 8/12=2/3 veces la verde, por tanto gira a (2/3)·6=4 vueltas por segundo.

domingo, 11 de octubre de 2009

Hallar la raiz

Vamos a empezar por poner una columna desde el 1 al 10. A su derecha ponemos columnas, cada columna es la raíz cuadrada de la anterior izquierda (usando la calculadora), consiguiendo con ello que los resultados cada vez se parezcan más. Con la raíz cuarta coinciden en las unidades y con la raíz treintaidosava en las unidades y las décimas.
  • Así el 1, 2, 3 y 4 tienen su raíz dieciseisava coincidiendo en las unidades y en las décimas; el 5, 6, 7, 8, 9, y 10, tienen su raíz dieciseisava coincidiendo en las unidades y las décimas.
  • El 1 y el 2, tienen su raíz octava coincidiendo en las unidades y las décimas; también para el 3 y el 4 ocurre lo mismo; para el 5, 6, 7 y 8; y para el 9 y el 10.


{1
,2,3,4,5,6,7,8,9,10}-->(32)rango [1.00,1.076]

{{1,2,3,4},{5,6,7,8,9,10}}-->(16)rangos [1.00, 1.092] [1.105,1.156]

{{{1,2},{3,4}},{{5,6,7,8},{9,10}}}-->(8)rangos [1.00,1.092] [1.146,1.190] [1.222,1.298] [1.315,1.335]

Se puede hacer lo mismo si los parecidos sólo se hacen en las unidades, cogiendo las dos primeras columnas.



Al final tenemos un árbol que nos dice, por ejemplo, que la raíz octava de 5 y de 7 coinciden en las unidades y las décimas, o que la raíz dieciseisava de 6 y de 9 coinciden en las unidades y las décimas.




Las sucesivas raíces cuadradas de dos números naturales cualesquiera cada vez se van pareciendo más hasta que llegan a ser coincidentes en 1 (¡si pudiésemos hacer infinitas veces la raíz cuadrada!). 



1

miércoles, 7 de octubre de 2009

Simplificar es dividir

Mosaico de una casa romana de Pompeya. ¿Qué deducimos de la imagen?


Análisis: Vamos a considerar los seis cuadrados diferentes que hay antes de la escena de caza del jabalí. Los dos primeros cuadrados contienen figuras que tienen en común 4 hojas; los siguientes tienen 6 partes diferenciadas, 6 hojas a la izquierda y 6 triángulos en el de la derecha; en los dos cuadrados siguientes hay 8 hojas en el de la derecha y una figura de un laurel con tres ramas a la izquierda.
Proposición:La secuencia es 4,4; 6,6; 8,8.
Demostración: El laurel con tres ramas tiene que ser un 8, en romano VIII; la V por lo de la victoria que representa la corona de laurel y los tres palitos por las tres ramas. c.q.d.

Según OCCAM la solución más simple suele ser la correcta.

martes, 6 de octubre de 2009

El espacio es potencial

¿Cuantos cubos pequeños hay en el cubo grande?


Obviamente 2·2·2=23.

Ahora, ¿con cuántos segmentos de igual longitud se construye esta figura?
Si se consideran los segmentos grandes, hay 9 verticales, 9 horizontales y 9 hacia atrás: 9+9+9=3·32=33.
Cada segmento grande está formado por dos pequeños, luego en total hay 2.33

Si separamos los 23 cubos pequeños, ¿cuántas aristas diferentes hay?
Como cada cubo pequeño tiene 3·22 aristas y son 23 cubos, pues habrá 3·22·23=3·25 aristas.

Luego, al juntar todos los cubos pequeños para formar el grande se comparten 3·25-2.33 aristas

sábado, 26 de septiembre de 2009

El significado es el fluir

Los antiguos griegos debieron de usar una rueda de radio un pie, la dirigieron en línea recta contando 100 vueltas, una distancia que les encajaba bien en un número entero de pies, 625, y marcaron una distancia aceptable para correr. Para acordarse de ello elaboraron el mito de los 5 hermanos asociándolo con la realización de los juegos cada 4 años (54=625). Con ello podían establecer un estándar de longitud a correr, y, tal vez lo más valioso, daban una referencia numérica de cómo relacionar la longitud de la circunferencia con su radio. Eso pudo ser lo que sucedió, el fluir de los acontecimientos, o sea, la significación de que el estadio mida 192.27 metros, en medición actual.

Hay que fijarse en que los sacerdotes pertenecían a los dáctilos, que significa dedos, las unidades de medidas elementales de la antigüedad:

1 pie= 16 dedos;
625 pies=16·625 dedos=24·54=104=1002 dedos

Esto nos diría que la longitud de la rueda de radio un pie era de 100 dedos.

Todo es razonable, pero, ¿ocurrió así?

sábado, 12 de septiembre de 2009

¿Una joya matemática?

Tal vez Olimpia guardaba el tesoro de la aproximación del numero pi.
Si consideramos la longitud de 628 pies (encaja mejor esta distancia) y que la longitud de la rueda para medir era de 2π pies, y que se giraba 100 veces, se tiene:

628·pie=2·π·pie·100---> π=628/200=3.14

Nota:
Si un estadio tiene 600 pies, entonces π=3; si tiene 625, entonces π=3.125; si tiene 628, entonces π=3.14
Hay que considerar que 54=625, que puede ser importante para que sea mejor la segunda opción (nos acordamos por los de 5 hermanos y cada 4 años)

viernes, 11 de septiembre de 2009

De la causa al efecto

¿Por qué mide 192.27 m un estadio en Olimpia? Bueno, pudo haber sucedido así: cogieron e hicieron una rueda de radio un pie, con lo cual su longitud sería, 2·π pies, la pusieron a caminar 100 vueltas en línea recta con lo cual, midieron los 200·π pies, o sea, aproximadamente, 625 pies, o sea, 192.27 metros. ¿Sucedió así? ¡Probablemente!.


Ver esta animación de Wikipedia

El pie griego

Los antiguos griegos no usaban el metro como unidad de medida, como es obvio, usaban el llamado pie griego. Se dice que el estadio de Olimpia tiene 600 pies de longitud -el pie utilizado se dice que era el del famoso Hércules. ¿A cuántos metros equivale entonces un pie de Hércules teniendo en cuenta que son 192.27 metros la longitud del estadio?

1 pie..... x metros
2 pies... 2x metros
3 pies... 3x metros
................................
600 pies... 600x=192.27 metros --> x=192.27/600=0.32045 metros=32.045 centímetros

Esta dimensión es mayor que la habitual del pie griego que es de 30.7 cm. Algunos autores hablan de una longitud de 625 pies. En ese caso sale que la longitud del pie griego es: x=192.27/625=0.307 m=30.7 cm, lo que se espera.
Hay que recordar que el radio del montículo alrededor del que corrieron los hermanos es de 30.6 m. Eso implica que: 2·π·30.6=625·0.307-->200·π es aproximadamente 625. Eso significaría que los sacerdotes griegos debieron de hacer un estadio que medía 200·π pies.

lunes, 7 de septiembre de 2009

La leyenda

Según se recoge en la Enciclopedia Libre Universal en español:

Pausanias da una explicación sobre la presencia de Zeus en el santuario. Cuenta que Rea, la madre de Zeus, al dar a luz en una cueva situada en el monte Ida en la isla de Creta confió el niño a los dáctilos o curetes, que eran los sacerdotes del monte Ida. Estos sacerdotes eran cinco hermanos:

Heracles
Peoneos
Epimedes
Iasos
Ida

Fue el primogénito, Heracles, quien propuso a los demás hacer una carrera en honor de Zeus niño, y otorgar al vencedor una corona de olivo. De esta manera, Heracles instituyó lo que en el futuro serían los Juegos Olímpicos, que se celebrarían cada cuatro años a partir del 776 adC. Tras pasar la infancia en este lugar, los propios curetes trasladaron al niño a Olimpia.

jueves, 27 de agosto de 2009

Los exvotos

Los participantes en los juegos traían un regalito que depositaban en unas capillas que había para cada ciudad a la entrada al estadio. Era una ofrenda para tener buena suerte. Normalmente eran figuras en bronce de caballos y animales en general. Un atleta depositó la figurita que se ve en la fotografía y representa a 7 personas unidos por los brazos haciendo un círculo, en actitud de baile tal vez. Es una buena imagen de la solidaridad.

miércoles, 26 de agosto de 2009

Corriendo varios estadios

Las carreras podían ser de varios estadios:
1..........192.27 m
2..........192.27·2=384.54 m
6..........192.27·6=1153.62 m
12........192.27·12=2307.24 m
24........192.27·24=4614.48 m

Un número par de estadios significaba que iban y volvían.
Si fuesen x estadios, x vueltas a la colina, recorrerían 192.27·x metros.

Los corredores corrían desnudos. Aquellos que hacían trampas (dejándose ganar) tenían que hacer una estatua de Zeus, con su nombre en la base, y ponerla al principio del estadio para que quedase un recuerdo permanente de lo tramposos que habían sido -una prevención para el juego límpio. A los ganadores les ponían una corona de olivo.

Siendo razonables

Pasaron de una circunferencia a un segmento. Es más razonable que corrieran todos en línea recta que no alrededor de una circunferencia para no dar ventaja a nadie.


L=2·π·r-->192.27=2·π·r-->r=192.27/(2·π)=30.6 m aprox.

También es más razonable que compitan a ver quién gana corriendo a que se maten entre ellos a ver quién es más poderoso. Cambiaron el campo de batalla por el gimnasio, la palestra y el estadio (una oportunidad para la paz).

lunes, 24 de agosto de 2009

Olimpia

En Olimpia está su famoso estadio olímpico donde se celebraron las primeras olimpiadas del mundo antiguo. Existían otros tres estadios en otras tantas ciudades de la época (Delfos, Corinto o Argólida) y, tal vez, de ahí que cada cuatro años, por alternancia en la celebración de juegos, se repitiesen los juegos olímpicos. El largo mínimo (como los 100 metros lisos) que tenían que correr los atletas era de 192.27 metros, un "estadio", pero había distintas pruebas de correr varios estadios. ¿Por qué esa distancia? Pues según la mitología esa era la longitud de la circunferencia de una elevación que había a la entrada del estadio -pegado al templo de Zeus-, que hizo de primera pista improvisada a unos hermanos que se disputaron la construcción de dicho templo (por indicación del propio Zeus), corriendo por ese perímetro a ver quién se ganaba tal honor.

Estadio de Olimpia con el monte Kronios al fondo.

viernes, 10 de julio de 2009

Relación matemática

Una forma de ver las matemáticas es viendo las relaciones que hay.
Una ecuación lineal consta de dos partes relacionadas por un signo "=", en cada parte puede haber números y una incógnita x relacionados por operaciones aritméticas elementales, "+", "-", "/" y "·".
Su resolución consiste en transformar la ecuación en otras de forma que desaparezcan todos los operadores aritméticos, agrupando términos, manteniendo verdadera la relación de igualdad entre ambas partes, hasta llegar a una ecuación de la forma x=s. Cada nueva ecuación es una reducida de la anterior(más pequeña), estableciéndose así un orden parcial entre ecuaciones.
Para eliminar operadores hay que:
1) Realizar las operaciones agrupando elementos semejantes: números con números y términos con x con términos con x.
2) Si un término está sumando en una parte de la ecuación y lo quitamos debemos de quitar lo mismo a la otra y si está restando y lo quitamos debemos de añadirlo sumando en la otra y la igualdad sigue siendo cierta.
3) Si un término está multiplicando en una parte de la ecuación y lo quitamos debemos de añadirlo dividiendo a la otra y si está dividiendo debemos añadirlo multiplicando y la igualdad sigue siendo cierta.
4) Se debe de agrupar en una parte los términos en x y en la otra los números.

Puede comprobarse cómo quedaría cada ecuación a partir de la inicial en forma de árbol.

jueves, 9 de julio de 2009

Equivalencia matemática

Una forma de ver las matemáticas es a través de la equivalencia.
Podemos decir que una ecuación lineal, ax+b=c, es equivalente a otra, a'x+b'=c', cuando tiene la misma solución. Por ejemplo: 3x+5=11 es equivalente a 2x+8=3x+6.

Las ecuaciones equivalentes se pueden generar a partir de otras de la siguiente manera:
1) Si se multiplica o divide la ecuación lineal por un número entonces se obtiene una ecuación equivalente. Por ejemplo: partiendo de 3x+5=11, multiplicando por 5 se obtiene 15x+25=55
2) Se obtienen ecuaciones equivalentes sumando o restando una misma cantidad en ambas partes de la ecuación. Por ejemplo: restando 11 a ambas partes de la ecuación 3x+5=11 obtenemos 3x-6=0.
3) La suma o resta de ecuaciones lineales equivalentes dan una ecuación equivalente con las anteriores. Por ejemplo: sumando 3x+5=11 con 2x+8=3x+6 se obtienen 5x+13=3x+17
4) Todas las ecuaciones lineales equivalentes se pueden reducir a una ecuación de la forma x=s, donde "s" es la solución común a todas ellas. Por ejemplo: para 3x+5=11 la equivalente reducida es x=2.

miércoles, 8 de julio de 2009

Invarianza matemática

Una de las maneras de ver las matemáticas es a través de los invariantes.
En una ecuación lineal como las que hemos visto hasta ahora, tenemos una igualdad A=B, y de lo que se trata es que las transformaciones que hagamos en A y en B no cambien la igualdad: T(A)=T'(B).
Las transformaciones pueden perseguir objetivos diferentes, por ejemplo, podemos estar intentando simplificar la ecuación: 4x+6=12-x+9. T puede ser restar 6 y T' también, 4x=15-x. Pero también podemos tener 700·9=31·x, ahora T es cambiar 9 por 60, entonces T' tiene que ser cambiar x por y, 700·60=31·y

Cuando se trata de una ecuación lineal ¿que tipos de transformaciones mantienen invariante la igualdad?:
1) ax+b=c--->ax+b± b'=c±b'--->ax+(b±b')=(c±b')
2) ax+b=c--->b'(ax+b)=b'c--->a(b'x)+bb'=cb'--->(ab')x+(bb')=cb'--->ay+(bb')=(cb')
3) ax+b=c--->(ax+b)/b'=c/b'--->a(x/b')+b/b'=c/b'--->(a/b')x+(b/b')=(c/b')--->ay+(b/b')=(c/b')
4) ax+b=c y a'x+b'=c'--->(ax+b)±(a'x+b')=(c+c')--->(a+a')x+(b+b')=(c+c')

Podemos ver que estas transformaciones no solo no cambian la igualdad sino que mantienen el mismo formato de ecuación lineal.

martes, 7 de julio de 2009

La continuidad del problema 1

¿Qué no cambia? Pues la razón 700/31.
700/31=x/9=y/60-->x=(700·9)/31=203; y=(700·60)/31=1355

El principio del problema 1

Partimos de que 0'31x=700, de ahí concluimos que x=2258. Todas las demás ecuaciones que necesitamos tienen esta misma solución. Entonces el 40% de 2258 es 0'4·2258=903; los que han tomado cosas pero no alcohol son el 9%, o sea, 0'09·2258=203.

Identificando los grupos en el problema 1

Los grupos se pueden representar con ayuda del gráfico:


Podemos establecer proporciones: 31/700=9/x=60/y---> x=203; y=1355; total=2258

lunes, 6 de julio de 2009

Definiendo el problema 1

Vamos a separar los casos simples para definir el problema:

La ecuación x=700+0'09x+0'6x recoge todas las cuestiones. También podemos resolver 0'31x=700. Solución 2258 muertos en total en 2008, 700 habían tomado alcohol, 203 no habían tomado alcohol pero sí drogas y/o psicofármacos y 1355 no habían tomado nada de eso.

Problema 1: Leyendo datos en el periódico

Una de las fuentes más comunes de recogidas de datos está en los periódicos y es por lo general, por razones obvias, incompleta. Veamos un ejemplo:
El 40%. Ése es el porcentaje de automovilistas fallecidos en 2008 que dieron positivo por consumo de alcohol, drogas y/o psicofármacos, según la Memoria del Instituto Nacional de Toxicología. En el 31% de los casos, habían consumido bebidas alcohólicas. El alcohol sigue apareciendo en cada estadística como factor concurrente o determinante en un tercio de los siniestros de circulación, con un total de 700 víctimas mortales. [El País (06/07/09)]

a) ¿Cuántas víctimas mortales hubo en el año 2008 en España?
b) ¿Cuántas de esa víctimas no dieren positivo por consumo de alcohol, drogas y/o psicofármacos?
c) ¿Cuántas de esas víctimas dieron positivo sólo en el consumo de drogas y/o psicofármacos?

Lo que diferencia (2)

Las figuras diferentes resaltan cuando la contrastamos en la continuidad:


Para las ecuaciones:
Se ponen las x en verde y los 1 en naranja. Si x es negativa en algún miembro de la ecuación se pasa al otro cambiado de signo y lo mismo con los 1. Se pueden ver indistintamente las ecuaciones de izquierda a derecha o de derecha a izquierda. Se ve que la segunda ecuación está decompesada y por tanto en el proceso de simplificación no se puede pasar por ahí, hay una discontinuidad.



Lo que falta (2)

Lista de figuras según el número de vértices:


En el caso de la resolución de la ecuación siguiendo el método:

domingo, 5 de julio de 2009

Lo que es parecido (2)

El concepto se puede considerar como algo generativo:





Las ecuaciones lineales que tienen la misma solución se llaman equivalentes.
Las ecuaciones lineales permiten generar nuevas ecuaciones equivalentes de la siguiente manera:
1) La suma o resta de ecuaciones equivalentes da una ecuación equivalente.
2) la multiplicación o división de una ecuación equivalente por un número da una ecuación equivalente.
Por ejemplo consideremos las ecuaciones equivalentes generadas desde la x+3=8, observamos que todas tienen la misma solución, el efecto de multiplicar por dos y por cuatro provoca un desplazamiento hacia arriba de los triángulos:
x+3=8
2x+6=16
4x+12=32

Lo que divide (2)

Vamos a separar las piezas y hacer un recuento con ayuda de una tabla:


Las ecuaciones también se pueden clasificar separadamente:

sábado, 4 de julio de 2009

Lo que sobra (2)

Un juego de cartas:
Dos jugadores juegan una partida con una baraja especial. Solo hay las seis cartas que ves en las dos manos. Se reparten inicialmente las seis cartas. Por turno cada jugador elige una carta de su oponente sin mirarla. Antes de dar a elegir el jugador puede cambiarlas de posición. El jugador gana cuando consigue un trío de cartas en escalera, según el número de lados de la figura. Hay que haber jugado al menos una ronda para finalizar.

Las situaciones ganadoras son: (3,4a,5), (3,4b,5), (4a,5,6), (4b,5,6). La peor jugada es coger el círculo.

Resolver una ecuación jugando una partida:
Resolver la ecuación 3x+2-2x-2=x+3-x-3
Para dos jugadores. Hay que usar un tablero dividido en cuatro partes con los signos {+,-+,-} según el ejemplo. Se echan cartas que tienen la x y el 1 en los cuatro cuadrantes. Según la ecuación dada, en la fila superior se echan 3 equis en el positivo, 2 unos en el positivo, 2 equis en el negativo y 2 unos en el negativo. El la fila inferior se echan una x en el positivo, 3 unos en el positivo, una x en el negativo y 3 unos en el negativo.
Cada jugador por turno puede decidir resolver o aligerar el tablero. Resolver es dar la solución de x y aligerar es eliminar un par de cartas, un par de equis o un par de unos, tomándolos en la misma fila o la misma columna pero de distinta celda. Gana el que acierte la solución. Cuando un jugador pide resolver se comprueba si ha acertado, en caso contrario pierde el juego.

viernes, 3 de julio de 2009

Lo que pega (2)

Con las piezas se pueden hacer varias cosas, por ejemplo esta lamparita con su luz:

Para las ecuaciones:
a) 3x-4x+6x-5+2=4-5
c) -3+5x=-1

Lo que relaciona (2)

La ecuación que relaciona los datos y la incógnita, 50x+30·20=1000, se puede expresar con ayuda de un árbol:


Las figuras también tienen su árbol de relaciones:


jueves, 2 de julio de 2009

Lo que relaciona (1)

1) Relaciona las siguientes piezas entre sí:


2) Relaciona en una ecuación los siguientes datos: En una caja de 1000 dm3 de capacidad vaciamos el contenido de 30 cajas de 20 dm3, y queremos averiguar cuantas cajas más de 50 dm3 nos caben:
a) 30x+50·20=1000
b) 20x+50·30=1000
c) 50x+30·20=1000

1) Grupos: Tienen todos los lados rectos={A,B}; Tienen algún lado recto={A, B, E}; Tienen lados curvos={C,D}; Tienen algún lado curvo={D,C,E}. 2) Grupo: x cajas de 50 más 30 cajas de 20 hacen 1000 (c)

miércoles, 1 de julio de 2009

Lo que pega (1)

1) ¿Qué figuras se pueden pegar entre sí?:


2) ¿Qué ecuaciones se pueden enlazar por agrupamiento de términos semejantes?
a) 3x-4x+6x-5+2=4-5
b) 9x+9-2x-2x=7x+7
c) -3+5x=-1
d) 9-2x-7=0

1) Puzzle: Una pieza pega con otra si puede tener varios puntos de un lado en contacto con otros tantos de los de otro lado de otra pieza. El óvalo es el único que no puede pegar con todas las demás, solo la linealidad vale; 2) Puzzle: Se agrupan términos que contienen "x" con términos que contienen "x" y números con números. De esta forma se puede pasar de a) a c) y de b) a d)

Lo que divide (1)

1) Clasifica las siguientes formas:
2) Clasifica las siguientes ecuaciones:
a) 2x-8=12
b) 3x2+4x=7
c) 9x-3=x+4
c) 3x=9
d) 5x2=3-8

1) Si elegimos las características color y forma. Clasificación: Hay figuras naranjas, fucsia y azules. Dentro de estas hay triángulos, cuadrados y círculos (menos azul); 2) Si elegimos la característica grado (potencias de x). Clasificación: De gardo 1 y 2. Dentro de las de grado 2 las hay completas (con todos los grados) e incompletas (falta algún grado)

Lo que falta (1)

1) Completa la serie.


2) ¿Qué ecuación falta para seguir todos los pasos del método?
a) 3x+6=18
b) 3x=18-6
c) 3x=12
d) x=4

1) El hilo conductor es el número de vértices: Falta uno con 6 vértices; 2) El hilo conductor es despejar la x: Falta x=12/3.

Lo que sobra (1)

1) ¿Cuál de las siguientes figuras está de más?


2) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones no es lineal?
a) 3x-5=0
b) -2x+9=3
c) 4x-9=4x+5
d) 2x-4x=5-9

1) El criterio es que tenga lados rectos: Sobra el círculo; 2) El criterio es que sea de la forma ax+b=0 (con "a" distinto de 0): La c) después de simplificar queda 14=0.