domingo, 24 de enero de 2010

Matemáticas generadas (todo está en la idea)

Etimología: Fracción=rotura
Concepto: Una fracción es la razón entre la parte y el todo
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Si una tarta está dividida en 13 raciones y se comen 5, decimos que se han comido las 5/13 partes de la tarta. Si esas trece raciones se dividiesen a la mitad y se comiese el doble de antes, se habrían comido las 10/26 partes de la tarta, que coinciden con las 5/13 partes. La segunda fracción es la amplificada de la primera y la primera es la simplificada de la segunda.

5/13=10/26

Es cualquier caso es tan importante conocer la parte como el todo. Por eso sumar o restar fracciones no es tan trivial como pretenden algunos, porque tenemos que disponer de un todo común y referenciar cada parte a ese todo común.

Si en un grupo las 2/5 partes son aficionados del equipo A y las 3/8 partes del equipo B, juntos ¿qué fracción suman?. Suponemos que es excluyente ser aficionado de A y B.

Como el todo (denominador) no coincide en ambos casos es que se han simplificado las fracciones, luego debemos amplificarlas. El total en el primer caso tendría que ser un múltiplo de 5 y en el segundo de 8. Un múltiplo común de 5 y 8 es 40, y es el menor múltiplo común. Podemos suponer que es 40 el total para ambos casos; la parte también cambia, ahora hay que amplificar las fracciones para que tengan denominador 40.

2/5=16/40 y 3/8=15/40.

Entonces, respecto a 40, la parte de los aficionados al equipo A son 16 y la parte de los aficionados al B son 15, entonces los dos grupos suman una parte conjuntamente de 31 personas de un total de 40, o sea, son las 31/40 partes del grupo.

2/5+3/8=16/40+15/40=31/40

sábado, 16 de enero de 2010

Matemáticas contadas (todo con nombre)

Los conjuntos numéricos han ido apareciendo conforme las operaciones numéricas han ido siendo imposibles de resolver, planteando en cada caso la necesidad de sus ampliaciones. Empezando con los números naturales {1,2,3,4,...}, la suma (2+3=5; 7+8=15; ...) es una operación cerrada en este conjunto numérico porque elegidos dos números naturales cualesquiera el resultado es otro número natural. Con los naturales la suma se puede hacer siempre. También la multiplicación, que es hacer sumas repetidas, es cerrada para los números naturales, el producto de dos naturales es un natural (3·5=15; 7·4=28; ...).

Si sólo sumásemos o multiplicásemos, con los números naturales ya tendríamos todo resuelto, pero resulta que hay otra operación inmediata a la suma, la resta. Si restamos dos naturales, a veces el resultado es un natural (7-3=4; 4-3=1; ...), pero a veces no (5-5=?; 4-6=?). Hacen falta nuevos números para poder cerrar el problema de la resta, es por lo que aparecen los números negativos, y se amplían los naturales (que pasan a ser los positivos) con el cero y los negativos, dando lugar a los llamados números enteros {...-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}. Con los enteros tenemos los números necesarios para hacer todo tipo de restas con naturales (5-5=0; 4-6=-2). Además estas tres operaciones se extienden en este nuevo conjunto numérico (-3-5=-8; (-4)·7=-28; 8+(-10)=-2; ...) consiguiendo con ello que sean cerradas en los enteros.

Si sólo sumásemos, restásemos o multiplicásemos con los números enteros tendríamos todo resuelto, pero resulta que después de la multiplicación viene la división (24:3=8; (-12):(-4)=3; ...), y hay divisiones que no tienen resultado en el conjunto de los enteros (4:7=?; 23:5=?; ..). Esto plantea la necesidad de ampliar el último conjunto numérico, hay que introducir las fracciones (4/5; -2/5; ...), y con ellas podemos hacer todas las divisiones (4:7=4/7; 23:5=23/5; ...). Este nuevo conjunto numérico se llama ahora el conjunto de los números racionales, está formado por los enteros y por las fracciones agrupadas en clases, las que forman distintas fracciones que son equivalentes entre si. Para evitar este pequeño lío, les buscamos una nueva notación a los irracionales y los escribimos en forma de número decimal concluyendo que los números racionales son los números decimales exactos (4.5; 3.889;7.0;-3.55; ...), los decimales periódicos puros (5.66666...; -3.56565656....; 9.120120120....) y los decimales periódicos mixtos (4.5633333....; 67.5923232323....).

Si sólo sumásemos, restásemos, multiplicásemos o dividiésemos, con los números racionales ya tendríamos resuelto todo, las cuatro operaciones son cerradas en este conjunto pero resulta que después de estas cuatro operaciones aún viene la radicación, el cálculo de raíces. Ya los pitagóricos sabían que raíz de 2 no es una fracción. Se necesitan los números irracionales para completar a los racionales para poder hacer estas raíces. Los irracionales son los números de infinitos decimales no periódicos (23.12123123412345....; 4.45673438956034302043...; ...). Los irracionales y los racionales, o sea, todos los números en notación decimal, forman los llamados números reales. Aún así no se resuelve el problema de las raíces porque en este conjunto numérico no se pueden calcular las raíces pares de los números negativos.

lunes, 4 de enero de 2010

Matemáticas metódicas (todo paso a paso)

Los algoritmos permiten obtener paso a paso resultados de manera consistente y duradera. Un algoritmo básico es el de Euclides que permite obtener el máximo común divisor de dos números a partir de un proceso iterativo. Con ayuda de una tabla se van poniendo las divisiones sucesivas a realizar en la fila del medio, los cocientes en la fila superior y los restos en la inferior y seguimos el hilo de los datos que se obtiene:

Algoritmo de Euclides para el cálculo del máximo común divisor de dos números (D y d, con D>d):
1) Ponemos los datos del dividendo, D, y el divisor, d, en dos celdas consecutivas de la fila central y efectuamos la división, obteniendo un cociente, C, y un resto, r. El cociente se pone encima del divisor d y el resto debajo.
2) Se pasa el resto a la derecha del divisor y ahora se realiza de nuevo la división siendo D=d y d=r.
3) Se sigue repitiendo el paso 2 hasta que el resto de la división sea 0. En ese caso, el penúltimo resto es el máximo común divisor buscado.



mcd(45,12)=3








El algoritmo es correcto gracias a que mcd(D,d)=mcd(d,r). Esto es así porque el máximo común divisor de D y d también es un divisor de r, puesto que: Si mcd(d,d)=m, entonces, D=mD' y d=md'. Por la división euclidea D=dC+r. Sustituyendo D y d, queda: mD'=md'C+r, y despejando r, r=m(D'-d'C), lo cual establece que m también es divisor de r.