La igualdad es una relación entre dos objetos matemáticos.
Los objetos de la aritmética son los números. Cuando tenemos dos números parece obvia la comprobación de si son iguales o no. Por ejemplo 4=5 es falso y 4=4 es verdadero. A veces requiere un poco más de tiempo comprobar si la igualdad es verdadera o falsa, por ejemplo 4=8/2 ó 4=raiz(16). Y no digamos si ponemos 4=3'9999...
En el álgebra los objetos son los polinomios. Si tenemos dos polinomios el comprobar si son iguales o no ya plantea algún que otro interrogante. Así, por ejemplo, es cierto que 2x+5=x+3+x+2, y lo comprobamos fácilmente. La cuestión es que la igualdad puede ser cierta siempre, para todo valor de la variable, o puede ser cierta para ciertos valores de la variable. Por ejemplo 3x+4=8x-6, solo es cierta cuando x vale 2 (la solución). En este caso la igualdad es una ecuación y no una identidad.
En el caso del análisis los objetos matemáticos son las funciones. Comprobar si dos funciones son iguales puede reducirse al problema anterior de igualdad de expresiones algebraicas. Por ejemplo f(x)=3x+4 es igual a g(x)= x-2 sólo cuando x vale -3, es el punto de corte de ambas funciones. Pero también puede ocurrir que las funciones sean iguales en tramos enteros de valores de x. ¿Cómo tienen que ser estas funciones? Por ejemplo si f(x)=sen(x) y g(x) coincide con f(x) en el intervalo [3,6], entonces g(x) se define como g(x)=sen(x) si x pertenece a [3,6] y toma otro valor diferente fuera de este intervalo (una función definida a trozos).
