viernes, 27 de marzo de 2015

UNIDAD DIDÁCTICA: La distribución binomial

Orientación
Se va a empezar por el juego de los palitos.
El juego es para dos jugadores, cada uno con seis palitos decorados de forma similar a como se muestra en el gráfico:

Haz y envés
Por una cara están en blanco y por la otra decorados con motivos diversos y coloreados. También, deben de existir diez monedas o botones que forman la banca.
Los palitos se pueden construir con materiales de madera tipo soporte de helado o instrumento del médico para observar la garganta. Los pueden decorar los propios alumnos.
Cada jugador tira los seis palitos alternativamente.
Sólo hay tres jugadas ganadoras en cada tirada:
1) Salen todos los palitos con la cara decorada hacia arriba: gana tres monedas.
2) Todos salen con la cara sin decorar hacia arriba: gana dos monedas.
3) Tres salen con la cara decorada y tres sin ella: gana una moneda.
En cualquier otro caso no se gana nada.
Cuando se acaben las monedas de la banca se cobra del las monedas que tenga ganadas el contrario.
Gana el jugador que consiga las diez monedas.

Después de jugar varias partidas se pide a los alumnos que analicen el modelo matemático de probabilidades que subyace en el juego.

Experimentación
Se va a llamar X a la variable aleatoria discreta que cuenta el número de palitos que salen con la cara decorada hacia arriba. X puede tomar varios valores en cada lanzamiento: {0,1,2,3,4,5,6}

{X=2} representa el suceso que salieron 2 con la cara decorada hacia arriba y 4 con la cara sin decorar.
{X=0} representa el suceso que no salió ninguna con la cara decorada hacia arriba.

Los sucesos ganadores son:
{X=6} con 3 monedas
{X=0} con 2 monedas
{X=3} con una moneda

Sea p la probabilidad de que un palito salga con la cara decorada hacia arriba y q hacia abajo (p+q=1). En principio se puede suponer a priori que p=50%=0'5 y q=50%=0'5. Siempre se puede hacer un estudio de frecuencias relativas para cada palito y ver la tendencia para usar una probabilidad a posteriori.
También podemos suponer que cada palito sale con una u otra cara independientemente de cómo salgan los otros palitos.

Supongamos que tenemos numerados los palitos del 1 al 6 por necesidad de notación. Si el 4 sale decorado escribiremos d4, y sino, nd4. Así un lanzamiento de los 6 puede salir: d1-nd2-d3-d4-nd5-nd6
El suceso {X=6} es igual a d1-d2-d3-d4-d5-d6
El suceso {X=0} es igual a nd1-nd2-nd3-nd4-nd5-nd6
Y el suceso {X=3} tiene varias opciones, todas aquellas en las que salgan 3 decorados, como por ejemplo: d1-d2-d3-nd4-nd5-nd6

La probabilidad del suceso es igual al producto de probabilidades de los sucesos elementales cuando estos son independientes (teoremas de probabilidades compuestas), por ejemplo para  d1-d2-nd3-d4-nd5-nd6 será p(d1)·p(d2)·p(nd3)·p(d4)·p(nd5)·p(nd6).
Por lo tanto, se tiene como probabilidad para los dos primeros sucesos ganadores:
p{X=6}=p(d1)·p(d2)·p(d3)·p(d4)·p(d5)·p(d6)=p·p·p·p·p·p=p6 (0'56=0'015625=1/64)
p{X=0}=p(nd1)·p(nd2)·p(nd3)·p(nd4)·p(nd5)·p(nd6)=q·q·q·q·q·q=q6 (0'56=0'015625=1/64)

Falta ver los casos que entran en el suceso {X=3}

Conceptualización 
Todos los sucesos elementales que pueden ocurrir se pueden contabilizar con ayuda de un árbol binario, donde la primera opción es lo que puede ocurrir con el primer palito, salir d1 o nd1. A continuación, para cada una de las dos opciones, se pone lo que ocurre con el segundo palito, salir d2 o nd2, Desde estas cuatro opciones se ponen las dos opciones del tercer palito, d3 o nd3, y así sucesivamente hasta los seis palitos. Sale un árbol de 6 niveles con 64 nodos hoja. En el siguiente gráfico se muestra el árbol hasta el nivel 4:

El suceso {X=6} corresponde al caso de seguir siempre hacia arriba (el borde superior), y el suceso {X=0} al caso de seguir siempre hacia abajo (el borde inferior). El suceso {X=3} corresponde a varios itinerarios intermedios, todos aquellos que tengan 3 decorados con 3 no decorados. Por lo tanto cada camino se encuentra eligiendo tres posiciones de las seis para poner los decorados, el resto serán no decorados. ¿De cuántas maneras se pueden elegir 3 lugares en un conjunto de 6 posibles? Son tantas como combinaciones de 6 elementos tomadas de 3 en 3: C6,3=20. La probabilidad de cada camino es un producto de tres probabilidades para los decorados por tres probabilidades para los no decorados, p3q3 (0'53·0'53=0'15625=1/64. Los distintos caminos son sucesos incompatibles, por lo que, en conjunto se suman para obtener la probabilidad conjunta.

Para el suceso {X=3}, p{X=3}=20·p3q3  (20·0'53·0'53=20·0'15625=0'3125=5/16=20/64)

Es decir, suponiendo la probabilidad 0'5, sacar tres monedas ocurre 1 vez de cada 64 lanzamientos. Sacar dos monedas, también. Y sacar una moneda ocurre 20 de cada 64 lanzamientos.

Procesamiento
Para averiguar todas las combinaciones de 6 tomados de 3 en 3 siguiendo el árbol se empieza por la parte superior y se van descendiendo por los ramales:
d1-d2-d3-nd4-nd5-nd6
d1-d2-nd3-d4-nd5-nd6
d1-d2-nd3-nd4-d5-nd6
d1-d2-nd3-nd4-nd5-d6
d1-nd2-d3-d4-nd5-nd6
d1-nd2-d3-nd4-d5-dn6
d1-nd2-d3-nd4-nd5-d6
d1-nd2-nd3-d4-d5-nd6
d1-nd2-nd3-d4-nd5-d6
d1-nd2-nd3-nd4-d5-d6
nd1-d2-d3-d4-nd5-nd6
nd1-d2-d3-nd4-d5-nd6
nd1-d2-d3-nd4-nd5-d6
nd1-d2-nd3-d4-d5-nd6
nd1-d2-nd3-d4-nd5-d6
nd1-d2-nd3.nd4-d5-d6
nd1-nd2-d3-d4-d5-nd6
nd1-nd2-d3-d4-nd5-d6
nd1-nd2-d3-nd4-d5-d6
nd1-nd2-nd3-d4-d5-d6

La cantidad de C6,3=20. Cada unos de estos sucesos elementales tiene la misma probabilidad de suceder p3q3 porque en todos aparecen 3 decorados y 3 no decorados. Por lo tanto:
P{X=3}=C6,3p3q3
y para los otros dos casos:
P{X=6}=C6,6p6q0
P{X=0}=C6,0p0q6

Mecanización
¿Cómo calcular cualquier la probabilidad  de otro suceso? Por ejemplo {X=2}. Los sucesos elementales que conforman este suceso sólo tienen 2 palitos decorados y 4 no decorados. El número de sucesos elementales es  C6,2 y cada uno de ellos tiene de probabilidad p2q4, por lo tanto:
P{X=2}=C6,2 p2q4
En general si hay r palitos decorados:
P{X=r}=C6,r prqn-r
Que es la fórmula general para calcular la probabilidad de casa suceso, siendo r={0,1,2,3,4,5,6}
Para el caso en que el número de palitos sea n
P{X=r}=Cn,r prqn-r
Los resultados están ya calculados para distintos valores de n, r, p y q en las tablas de distribuciones binomiales.

Consolidación
Un experimento aleatorio cuyos sucesos elementales están constituidos por n sucesos individuales , como puede ser lanzar los seis palitos, es un experimento Binomial si:
1) Los sucesos individuales son del tipo éxito (salir decorado) o fracaso (no salir decorado)
2) Las probabilidades de éxito y fracaso se mantienen constantes para todos
P(éxito)=p, P(fracaso)=q, p+q=1
3) Los sucesos individuales son independientes, es decir lo que ocurre en un suceso individual no influye en los otros.

La variable aleatoria que cuenta el número de éxitos, X, se dice que es una variable aleatoria binomial y esto se expresa diciendo que X es B(n,p). En el juego de los palitos X es B(6,0'5). La función de probabilidad es  P{X=r}=Cn,r prqn-r  , y se puede demostrar que la media=n·p y la varianza=n·p·q. Cualquier suceso que defina en la distribución binomial se puede estudiar su probabilidad a través de la función de probabilidad.

Evaluación
Para que un problema aleatorio sea del tipo binomial debemos de comprobar que es un experimento compuesto donde los n sucesos individuales, ocurre A (éxito), son independientes con la misma probabilidad de ocurrir, p, o no, q. La variable asociada X es la que cuenta el número de veces que ocurre A. Se tiene la función de probabilidad con la fórmula anterior. Ahora, todo esto, se puede aplicar para resolver los siguientes problemas:

1)      Los resultados de una encuesta sobre el nivel de aceptación de un determinado partido político han revelado que el 30% de la población es favorable a dicho partido, siendo desfavorable el resto.
En una encuesta realizada telefónicamente sobre 8 personas elegidas al azar, se desea saber la probabilidad de que:
a)      Únicamente tres sean favorables al partido.
b)      Al menos una persona sea favorable.
c)      A lo sumo dos sean desfavorables.

2)      Cierto medicamento contra una enfermedad provoca mejoría en el 60% de los casos. Si se receta a un grupo de 5 pacientes, cuál es la probabilidad de que:
a)      Los 5 pacientes mejoren.
b)      Al menos 4 mejoren.
c)      A lo sumo 2 no experimenten mejoría.

3)      Se analizan 10 empresas para decidir cuántas están en quiebra. La probabilidad de que una empresa esté en quiebra es 0’12.
a)      Calcula la probabilidad de que exactamente 2 de ellas estén en quiebra.
b)      ¿Cuál es el número esperado de empresas en quiebra?
c)      Halla la media y la desviación típica de la variable utilizada.


jueves, 5 de marzo de 2015

Infinito versus cero

Supongamos que tenemos 1Kg de azucar y lo vamos a repartir entre 2 personas, ¿cuánto le toca a cada una? Pues la operación es fácil, 1Kg/2p=0.5Kg/1p. Si el reparto fuera entre 4 personas la solución sería, 1Kg/4p=0.25Kg/1p. Si continuamos haciendo divisiones del kilo entre más personas, cada vez la cantidad por persona se hace más pequeña, acercándose cada vez más a cero.

1/2=0.5, 1/4=0.25, 1/8=0.125,....,1/100=0.01,......, 1/1000=0.001,.....

La sucesión numérica converge hacia cero.
Se dice que 1/n tiende a 0 cuando n tiende a infinito


Vamos a plantear la división al revés. Si tenemos 1Kg de azucar y queremos repartir entre varias personas  a razón de 0.5Kg de azucar, para cada una, ¿a cuántas personas se lo puedo dar? Pues la solución es, 1Kg/0.5Kg/1p=2p. Si lo que reparto es 0.25Kg por persona, lo puedo repartir entre 1Kg/0.25Kg/1p=4p. Si continuamos bajando la cantidad de azucar a repartir por persona se puede repartir entre más personas, haciéndose el número de estas tan alto como queramos.


1/0.5=2, 1/0.25=4, 1/0.125=8,....,1/0.01=100,.....,1/0.001=1000,.......

En este caso vemos que la sucesión numérica se va hacia infinito.
Se dice que 1/n tiende a infinito cuando n tiende a 0