Las cuatro reglas cartesianas, ¿son suficientes?

1) Evidencia: No admitir jamás como verdadero cosa alguna sin conocer con evidencia que lo era.
2) Análisis: Dividir cada una de las dificultades que examinase en tantas partes como fuera posible y como requiriese para resolverlas mejor.
3) Síntesis: Conducir por orden los pensamientos, comenzando por los objetos más simples y más fáciles de conocer para ascender poco a poco, como por grados, hasta el conocimiento de los más compuestos.
4) Comprobación: Realizar en todo unos recuentos tan completos y unas revisiones tan generales que pudiese estar seguro de no omitir nada.

Estableciendo un paralelismo con el APC:

Evaluación: Establece los criterios para que las cosas estén bien hechas
Mecanización: Piensa los resultados para que se puedan automatizar
Conceptualización: Establece la estructura que soporta el conocimiento
Procesamiento: Explica como funcionan las cosas
Experimentación: Asocia el nuevo conocimiento con lo que ya has vivido
Consolidación: Establece un método para que se pueda volver a obtener el repetir
Motivación: Busca la utilidad de las cosas

Evidencia vs Evaluación
Análisis vs Mecanización
Síntesis vs Conceptualización
Comprobación vs Procesamiento

Faltarían las reglas que se corresponden con la experimentación, la consolidación y la motivación.
La correspondiente a la experimentación diría así:
5) Causa-efecto: Enlaza todos las razones de forma que de desarrolles un razonamiento válido desde la causa hasta el efecto.
La de la consolidación diría así:
6) Completitud: Establece una lista de situaciones diferentes con un hilo conductor de forma que se contemplen todos los casos.
Y para la motivación:
7) Relacionabilidad: Identifica y establece las relaciones espaciales posibles de forma que quede orientado el camino a seguir.

Recursividad, las matemáticas de la repetición

MOTIVACIÓN
La recursividad es una forma de resolver problemas basada en la repetición de la misma rutina disminuyendo la dificultad de la resolución de los mismos hasta llegar a un punto en que se resuelven fácilmente. Deshaciendo el camino se puede resolver el problema general. Esta forma de proceder está en la raíz de todas las matemáticas puesto que como vamos a ver está en la definición de la propia multiplicación.
EXPERIMENTACIÓN
Supongamos que tenemos que sumar diez veces tres:
Suma(10,3)=3+3+3+3+3+3+3+3+3+3
entonces podemos calcular primero la suma de nueve tres y sumarle otro tres:
Suma(10,3)=Suma(9,3)+3
y proceder así sucesivamente:
Suma(n,3)=Suma(n-1,3)+3
Hasta que al final podemos resolver el problema:
Suma(2,3)=Suma(1,3)+3=3+3=6
A partir de aquí se retrocede en el camino y se llega al resultado final que es 30.
CONCEPTUALIZACIÓN
Al resolver un problema usando la recursividad necesitamos averiguar cuál es el término general:
Suma(n,3)=Suma(n-1)+3
y cuál es el caso base:
Suma(1,3)=3
El término general nos indica como ir disminuyendo la dificultad del problema y el caso base cómo resolverlo en una situación sencilla.
PROCESAMIENTO:
Veamos como funciona el proceso:
Suma(10,3)=Suma(9,3)+3=(Suma(8,3)+3)+3=((Suma(7,3)+3)+3)+3=(((Suma(6,3)+3)+3)+3)+3=((((Suma(5,3)+3)+3)+3)+3)+3=(((((Suma(4,3)+3)+3)+3)+3)+3)+3=((((((Suma(3,3)+3)+3)+3)+3)+3)+3)+3=(((((((Suma(2,3)+3)+3)+3)+3)+3)+3)+3)+3= ((((((((Suma(1,3)+3)+3)+3)+3)+3)+3)+3)+3)+3=(((((((6+3)+3)+3)+3)+3)+3)+3)+3=((((((9+3)+3)+3)+3)+3)+3)+3=(((((12+3)+3)+3)+3)+3)+3=((((15+3)+3)+3)+3)+3=(((18+3)+3)+3)+3=((21+3)+3)+3=(24+3)+3=27+3=30
MECANIZACIÓN
Si queremos automatizar la ejecución debemos de establecer una cola de espera, donde el último en entrar es el primero en salir. La cola es esperar en este orden S(10,3), S(9,3), S(8,3), S(7,3), S(6,3), S(5,3), S(4,3), S(3,3), S(2,3), S(1,3). Ahora va saliendo desde el final y al último resultado le sumamos 3, S(1,3)=3, S(2,3)=6, S(3,3)=9, S(4,3)=12, S(5,3)=15, S(6,3)=18, S(7,3)=21, S(8,3)=24, S(9,3)=27, S(10,3)=30
CONSOLIDACIÓN
El primer paso es resolver el caso base, resolver el problema en su caso más sencillo, sumar una vez 3, S(1,3). A continuación hay que ver como se hace el siguiente caso más sencillo desde el paso anterior, sumar dos veces 3, S(2,3)=S(1,3)+3, el siguiente, S(3,3)=S(2,3)+3, así ya se puede sacar la fórmula del término general, S(n,3)=S(n-1,3)+3. A partir de ahí se va aplicando está fórmula repetidamente hasta completar el número de veces que se desea sumar 3.
EVALUACIÓN
¿Cuál es la clave para que el problema se pueda hacer de forma recursiva? Es la repetición como su propio nombre indica. Sumar tres diez veces solo se puede hacer sumando tres de uno en uno y acumulando los resultados, diez veces. En este caso es evidentemente la multiplicación de 10 por 3 que se tiene tabulada.
S(1,3)=3=1·3
S(2,3)=S(1,3)+3=3+3=2·3
S(3,3)=S(2,3)+3=S(1,3)+3+3=3+3+3=3·3
S(n,3)=n·3 (regla)
S(10,3)=10·3=30

Demostraciones: Mágia y matemáticas

Es interesante enseñar demostraciones matemáticas en secundaría, y aquí se muestra un ejemplo de lo que se puede hacer en el aula.
Vamos a hacer un pequeño número de magia de adivinación: Si pedimos a una persona que piense un número de tres cifras (que no sea capicúa) y que lo reste del mismo número cambiado de orden de las cifras (restar el mayor del menor), que coja las cifras del resultado y las sume, entonces le podemos decir que le tiene que dar 18 y acertaremos.
La demostración matemática de que esto es así se basa en lo que representa la notación polinómica de los números y es la siguiente:
Suponiendo que el número es abc y lo resta de cba, entonces lo que estamos haciendo en la resta tradicional es:
100a+10b+c-100c-10b-a=99a-99c=99(a-c)=100(a-c)-(a-c)=100(a-c-1)+9·10+(10-(a-c))
Con lo cual el resultado es un número como sigue:
[a-c-1][9][10-(a-c)]
Sus cifras suman:
a-c-1+9+10-(a-c)=18
Como se quería demostrar.