UNIDAD DIDÁCTICA: La coma flotante III (Táctica vs estrategia)

¿Cómo sumar o restar números grandes en notación científica?

Si son del mismo orden sacamos factor común y operamos los coeficientes, arreglando al final para que quede en notación científica en caso de que salga del rango [1,10).

Por ejemplo:

a) 5'78·10^3+6'8·10^3-2'778·10^3=(5'78+6'8-2'778)·10^3=9'802·10^3

b) 5'66·10^5+6'33·10^5=(5'66+6'33)·10^5=11'99·10^5=1'199·10·10^5=1'199·10^6

Si son de distinto orden se pueden pasar a notación ordinaria, se hacen las operaciones y, finalmente, se vuelve a notación científica, o bien transformar para que las potencias de 10 coincidan.

Por ejemplo:

a) 4'778·10^4+5'6·10^5=47780+560000=607780=6'0778·10^5

b) 4'778·10^4+56·10^4=(4'778+56)·10^4==6'0778·10^5

¿Cómo multiplicar o dividir números en notación científica?

Se multiplica o divide la parte coeficiente, se multiplican o dividen las potencias de 10 y se arregla al final para que quede en notación científica.

Por ejemplo:

a) (5'777·10^6)·(3'02·10^4)=5'777·3'02·10^6·10^4=17'44654·10^(6+4)=1'744654·10^11

¿Cuando operamos con números grandes en notación científica cuántos decimales debemos de considerar? 

Cuando se mide algo y se da en notación científica se considera que a partir de determinados dígitos ya no hay precisión suficiente como para seguir obteniendo cifras válidas y entonces se ponen ceros.

Cuando hay distintas medidas en notación científica que sumar o restar se cogen tantos decimales como indique la menor precisión, y la regla a emplear es: "Quedarse con la posición del menor dígito común y redondear"

Por ejemplo:

a) 5'78·10^3+6'8·10^3-2'778·10^3=9'802·10^3 y como el menor dígito común está en las décimas (6'8) el resultado queda 9'8·10^3

b) 4'65·10^3+2'566·10^5=2'6125·10^5 en este caso es la milésima dando 2'613·10^5, ya que si se escribiesen con igual orden (4'65·10^3+25'66·10^3) veríamos que el menor dígito común es el último 6

Para la multiplicación y la división se consideran las cifras significativas que tienen los números, ya que el resultado no va a tener más precisión que los números operados, y la regla es: "Dar el resultado redondeado con tantas cifras significativas como el número que tenga menos cifras significativas"

Por ejemplo:

a) (6'304·10^3)·(8'7·10^6)=5'48448·10^10, y como un número tiene sólo dos cifras significativas queda, 5'5·10^10

b) (4'325·10^4):(3'43·10^2)=126'0932945, y como son tres las cifras significativas queda, 1'26·10^2

UNIDAD DIDÁCTICA: La coma flotante II (Teoría vs práctica)

Escribir un número grande resulta engorroso por la cantidad de cifras que tiene, entonces es necesario utilizar una notación que simplifique la expresión. Sea, por ejemplo, el número 345 349 800 746 387 622, lo primero cuestionar la representatividad de las cifras, por ejemplo,  en un contexto de grandes distancias la escala nos indica que las cifras de la derecha son poco representativas con respecto a las de la izquierda. Si la distancia es en metros los 622 últimos metros son poco significativos con respecto a la cantidad total. Además, una máquina que llegue a esa precisión en la medida es muy improbable, el universo está en continuo movimiento y las distancias son promedios. Entonces podemos decidir aproximar la cantidad sustituyendo cifras de la derecha por ceros. ¿Cuántas cifras sustituir? Se puede tomar un criterio acordado, coger las cuatro cifras significativas de la izquierda: 345 300 000 000 000 000. Ahora eliminamos tantos ceros con potencias de 10, 3453·10^14. Para que quede más preciso el criterio, se decide que el número inicial esté entre 1 y 10, con lo cual queda 3'453·10^3·10^14=3'453·10^17, la notación científica final. La importancia de la potencia de 10 es que la cantidad real es de orden 17, es decir es a groso modo un tres seguido de diecisiete ceros. También podemos decir que es 34 y 16 ceros, ó 345 y 15 ceros, ó 3453 y 14 ceros. Más precisión ya no se necesita.

Vamos a ver los resultados en la práctica:
Consideremos las distancias del Sol a los planetas en Km
Mercurio 57 910 000=5'791·10^7
Venus 108 200 000=1'082·10^8
La Tierra 146 600 000=1'466·10^8
Marte 227 940 000=2'2794·10^8
Júpiter 778 330 000=7'7833·10^8
Saturno 1 429 400 000=1'4294·10^8
Urano 2 870 990 000=2'87099·10^9
Neptuno 4 504 300 000=4'5045·10^9
Plutón 5 913 520 000=5'91352·10^9

Lo primero que se observa es que hay distancias de orden 7, 8 y 9
El número de cifras decimales varía pero las de orden menor tiene menos cifras decimales que las de orden mayor. Como criterio general, cuando se tienen varias cifras deberían de tener un decimal más por cada orden que aumente, así se podría comparar cuánto es mas distante un planeta que otro del Sol. Por ejemplo si restamos la distancia de Júpiter de la de la Tierra, 778 330 000-146 600 000=631 730 000, la distancia de la Tierra al Sol debería de tener una cifra decimal más para ajustar mejor el 3 que está en la 5ª posición.

UNIDAD DIDÁCTICA: La coma flotante I (Método vs razón)

Si queremos poner un número grande en notación científica podemos usar el siguiente método:
23 240 000 000 000
Asumimos que hay una coma decimal detrás del último dígito,
23 240 000 000 000,
y ahora debemos de situar la coma entre el 2 y el 3 iniciales, y por cada lugar que movamos la coma hacia la izquierda incrementamos en 1 la potencia de diez, así,
23 240 000 000, 000·10^3
23 240 0,00 000 000·10^8
2,3 240 000 000 000·10^13
ahora eliminamos los ceros a la derecha
2,324·10^13
y ya tenemos la notación científica del número, con coeficiente 2,324 y de orden 13.

El método queda asentado para poder repetir las cosas sin pensar. Pero, que pasa si nos olvidamos por falta de uso, ¿cómo razonamos para recuperar el método?
Empezamos por acordarnos de que hay un número decimal que debe de estar entre 1 y 10, [1,10), y luego la potencia de 10. Suponiendo que el número es pequeño, por ejemplo 23, no es difícil recordar que
23=2,3·10
la coma se movió un lugar a la izquierda y la potencia de 10 es uno. Ahora, si es uno de tres cifras,
232=2,32·100=2,32·10^2
la coma se mueve dos lugares, la potencia es 2. Para otro más grande de cuatro cifras,
2324=2,324·1000=2,324·10^3
y así sucesivamente, cada cifra nueva que nos movemos a la izquierda es un nuevo múltiplo de 10,
2324000= 2,324·1000000= 2,324·10^6
Entonces podemos reconstruir el método si empezamos razonando con los casos sencillos.

Teoría de la información

Supongamos el mensaje siguiente (puede ser una muestra de especies):
"hhhhdggfsjjujjjakks"
Contabilizamos el número de veces que aparece cada letra en el mensaje :
h->4
d->1
g->2
f->1
s->2
j->5
u->1
a->1
k->2
Total=19
La probabilidad de cada letra es:
p(h)=4/19
p(d)=1/19
p(g)=2/19
p(f)=1/19
p(s)=2/19
p(j)=5/19
p(u)=1/19
p(a)=1/19
p(k)=2/19
Calculando la información que aporta cada letra con el -log2(pi) según Shannon:
-log2(p(h))=-lo2(4/19)=2'25
-log2(p(d))=-log2(1/19)=4'25
-log2(p(g))=-log2(2/19)=3'25
-log2(p(f))=-log2(1/19)=4,25
-log2(p(s))=-log2(2/19)=3,25
-log2(p(j))=-log2(5/19)=1,93
-log2(p(u))=-log2(1/19)=4'25
-log2(p(a))=-log2(1/19)=4'25
-log2(p(k))=-log2(2/19)=3'25
Es una medida de la información que aporta cada letra, las que aparecen poco aportan más información y, las que aparecen más, menos información. Las unidades de información son bits. Esto significa que si aparece una j ya sabemos que está, la segunda vez ya la conocemos y así hasta la quinta vez (es una especie menos valiosa porque está repetida). Si hay ruido tenemos bastante certeza de que nos llegue (en otra muestra en el lugar es fácil volver a encontrar la especie j).
Ahora promediamos la información que hay en el mensaje con las probabilidades de aparecer.
H=2'25(4/19)+4'25(1/19)+3'25(2/19)+4'25(1/19)+3'25(2/19)+1'93(5/19)+4'25(1/19)+4'25(1/19)+3'25(2/19)=2'55
El mensaje tiene un información promedio de 2'55 bits por letra. Cuantas más letras e igualmente repartidas más información hay. En este caso tenemos una información equivalente a repartir 5'85.. letras entre las 19 del mensaje con frecuencia 3'24.. veces, usando para codificarlas 2'55 dígitos.

La derivada de una función, un concepto

Una función es derivable cuando es suave.
¿Cómo podemos caracterizar ésto geometricamente? Pues, es cuando podemos dibujar en todos sus puntos una recta tangente.
¿Cómo podemos caracterizar esto algebraicamente sin ver el dibujo? Pues, es cuando podemos escribir la ecuación de la recta tangente, esto es, disponemos del punto y la pendiente.
Pero, ¿cómo obtenemos la pendiente de la tangente? Pues, usando el hecho de que la tangente es el límite (analíticamente) de las cuerdas que pasan por ese punto fijo y otro punto variable que se acerca al punto fijo.
¿Cuál es la pendiente de la cuerda?:   m=(f(x)-f(a))/(x-a)
Por lo tanto la pendiente de la tangente es el límite de las pendientes de las cuerdas: f'(a)=lim(f(x)-f(a))/(x-a) cuando x->a
Por tanto una función es derivable en un punto cuando existe f'(a), y lo es en un intervalo abierto cuando lo es en todos los puntos.
Evidentemente en los extremos del intervalo no podemos dibujar la recta tangente porque esta queda indefinida, lo mismo que pasaría en un pico de la curva. Analíticamente sólo podríamos hablar de límites laterales y, por tanto, de derivadas laterales.

UNIDAD DIDÁCTICA: Fracciones y operaciones

MOTIVACIÓN: ¿Para qué sirven las fracciones?
El euro es la unidad monetaria de la Unión Europea.

http://www.ecb.int/euro/coins/common/html/index.es.html 

Si tenemos 20 euros y queremos repartirlos entre 5 personas resulta fácil de hacerlo, toca a 4 euros por persona. En el caso de tener que repartir 1 euro entre dos personas, tendríamos que dar a cada uno la mitad, que se representa por la moneda de 50 cents. Si el euro lo tenemos que dividir entre 4 personas podemos dar a cada uno una moneda de 20 cents y una de 5 cents. Aún así no siempre podemos hacer un reparto justo con las partes del euro disponibles, por ejemplo, resulta imposible repartir en partes iguales un euro entre tres personas, puesto que al repartir tres monedas de 10 cents y tres de 1 cent a cada uno nos queda una moneda de 1 cent que no podemos repartir entre tres, porque no hay monedas más pequeñas. Si queremos dividir una unidad en partes iguales, para hacer por ejemplo repartos,  necesitamos  una partición suficiente y una notación que nos permita hablar de esas partes. 

ACTIVIDAD 1: La mitad del euro es la moneda de 50 cents. ¿Qué parte representa del euro cada una de las demás monedas existentes?

50 cents la mitad de un euro

20 cents

10 cents

5 cents

2 cents

1 cent

EXPERIMENTACIÓN: ¿Qué significado tienen la fracciones?
Podemos, de forma fácil, representar numéricamente una parte del total con una fracción cuando tenemos una partición regular. Las fracciones representan las partes de la unidad. 

Si dividimos una unidad en 7 partes iguales y queremos cuantificar 4 de esas partes (color naranja), pues consideramos que representa las 4/7 partes de la unidad. 

ACTIVIDAD 2: ¿Qué fracción se debe de emplear para representar la parte que corresponde a cada color en el cubo coloreado:

cubo coloreado

AZUL=            ; NARANJA=           ; VERDE=

ACTIVIDAD 3: En los siguientes mosaicos cuantifica la parte coloreada de cada uno de ellos.

ACTIVIDAD 4: ¿Qué fracción utilizarías para representar la parte sombreada del conjunto suponiendo que el círculo es la unidad?

ACTIVIDAD 5: ¿Cómo representar con una fracción 2 euros y 20 cents?

ACTIVIDAD 6: ¿Cómo escribir los números enteros como fracciones?


CONCEPTUALIZACIÓN: ¿Qué estructura tienen las fracciones?

Podemos considerar una partición en partes más finas que las iniciales lo que nos lleva a representar una misma parte de la unidad con fracciones que son equivalentes. En el ejemplo la parte sombreada es la misma en ambos casos pero las particiones se escriben distintas, 3/9 y 6/18:

Decimos que 6/18 es la fracción equivalente amplificada de 3/9 (nota que 2·3/2·9=6/18)

Decimos que 3/9 es la fracción equivalente simplificada de 6/18 (nota que 6:2/18:2=3/9)

Cuando las fracciones son equivalentes podemos escribir la igualdad entre las mismas, así:  3/9=6/18

Nótese que se pueden reconocer las fracciones equivalentes porque el producto cruzado coincide: 3·18=9·6

De un todas las fracciones equivalentes entre sí la más simplificada se llama fracción irreducible: 1/3=2/6=3/9=4/12=5/15=6/18=.... 

ACTIVIDAD 7: Obtener la fracción irreducible que representa la parte coloreada del gráfico y hacer una comprobación gráfica de la equivalencia.

ACTIVIDAD 8: Obtener la fracción irreducible equivalente para cada fracción:

12/36=                   20/12=                     132/99=                   18/50=

PROCESAMIENTO: ¿Qué secuencia tienen las fracciones?
Con las fracciones debemos de poder hacer comparaciones para comprobar si una es mayor que la otra. Por ejemplo, tenemos tres banderas que emplean color rojo y queremos averiguar cuál de ellas tiene más superficie roja:



A simple vista la menor es la de Colombia, después la de Chile y finalmente la Checa.Si buscamos el denominador común (mcm(4,2,8)=8) y buscamos las fracciones equivalentes por amplificación con denominador común 8 obtenemos:

3/8=3/8 1/4=2/8 1/2=4/8

Comparando los numeradores de las fracciones equivalentes comprobamos que el orden debe de ser, de menor a mayor, Colombia menor que Rep. Checa y esta menor que Chile, como se veía a simple vista.
Representando las fracciones en el intervalo unidad, de 0 a 1, se divide el mismo en ocho partes, en la segunda ponemos el 2/8, en la tercera el 3/8 y en la cuarta el 4/8

Cualquier fracción la podemos representar en la recta real.

ACTIVIDAD 9: Ordenar las banderas según el color amarillo que emplean con ayuda de fracciones y representar estas en un intervalo unidad.

MECANIZACIÓN: ¿Cómo unir o separar fracciones?
Se pueden juntar distintas partes de la unidad, o quitar, llevando aparejado con ello la suma, o resta, de fracciones para calcular la fracción resultante. En el puzle de personajes de Naruto hay 4 personajes, cada uno ocupando tres casillas. Cada personaje ocupa ¼ del puzle, o sea que al completarlo habremos rellenado todo el puzle, 1/4+/4+1/4+1/4=4/4=1. O bien 3/12+3/12+3/12+3/12=12/12=1. 

En el ejemplo se llevan hechos los 6/12 del puzle, o sea la mitad, 1/2. Por personajes 3/12+2/12+1/12=6/12=1/2. A Sakura le falta una pieza, 3/3-2/3=1/3, falta 1/3 de Sakura, y, a Naruto le faltan 3/3-1/3=2/3, dos piezas de tres, faltan los 2/3.

Para sumar o restar fracciones necesitamos que tengan el mismo denominador.

ACTIVIDAD 10: En el siguiente puzle, con ayuda de fracciones, averigua:
1) ¿Qué fracción de puzle está hecho?  2) ¿Cuánto falta por hacer?  3) Comprueba que lo que está hecho más lo que falta por hacer da la unidad.

CONSOLIDACIÓN: ¿Cómo repetir una fracción de una fracción?
Supongamos una caja de botellas de agua de las cuales las 3/4 partes están llenas. De esas 3/4 partes bebemos las 2/5 partes. ¿Qué fracción de la caja contiene botellas llenas?.

La caja inicialmente está dividida en 4 partes iguales de las que 3 corresponden a botellas llenas. Si se beben las 2/5 partes de ellas, quedan 3/5 de botellas llenas de las 3/4 partes del total. Tendríamos que dividir las tres partes anteriores en cinco partes y coger tres. O sea, primero se divide en 4 partes y luego, lo que queda, en 5 partes, para ello dividimos inicialmente toda la caja en 5·4=20 partes iguales. Entonces las 3/4 partes son las 15/20 partes. De esas 15 partes si las dividimos en 5 partes iguales y elegimos 3 representan 9 partes de 20, los 9/20 del total.
La operación con las fracciones es la multiplicación (3/5)·(3/4)=(3·3)/(5·4)=9/20

Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores y los denominadores entre sí.

Si plantamos el problema al revés, inicialmente los 2/3 de la caja eran botellas llenas y al final las 5/12 partes eran botellas llenas, ¿qué fracción de las 2/3 partes se bebieron?
Es la operación inversa de la multiplicación, 5/12:2/3=(5·3)/12·2)=15/24, que podemos comprobar que está bien con la operación inversa de multiplicar, (2/3)·(15/24)=30/72=5/12

Para dividir se multiplica en cruz, numerador por denominador da el numerador resultante, y, denominador por numerador da el denominador resultante.

ACTIVIDAD 11: Realizar las siguientes operaciones:
a) (3/5)·(2/7)    b) (7/5):(4/3)    c) 4/5+(3/2:2/5)   d) 7/2-3+ (2/3)·2   e) 6+(1/2)·(3/4)+(2/3):(5(2)


EVALUACIÓN: ¿Con qué criterio usamos las fracciones?
Si ya sabemos la fracción que representa una parte del total también podemos tener el valor que le corresponde. Por ejemplo, si una caja de botellas de agua contiene 12 botellas de las cuales las ¾ partes están vacías, ¿cuántas botellas llenas tiene?.

1-3/4=4/4-3/4=1/4 son las botellas llenas.

Para calcular ¼ de 12 hay que dividir 12 en cuatro partes y tomar una, 12:4=3, entonces son cuatro partes de tres botellas cada una, y una parte son tres botellas. Esta operación es el producto de ¼ por 12.

ACTIVIDAD 12: Si las 4/5 partes de un grupo de 35 personas son mujeres, ¿Cuántos hombres hay?

ACTIVIDAD 13: Si 3/5 partes de los votantes de una reunión eligen al candidato A, y en la reunión hay 75 personas, ¿cuántos fueron los votantes de A?

ACTIVIDAD 14: Si los 2/3 del dinero recaudado para una causa benéfica fueron 230 euros, ¿cuánto dinero se recaudó?

ACTIVIDAD 15: Saco las 2/5 partes de un líquido de una botella y de lo que queda saco las ¾ partes ¿Qué fracción de la botella queda aún?

ACTIVIDAD 16: Un recipiente de 100 litros está lleno de una mezcla de concentrado de zumo y agua, en la que hay 2/5 de concentrado. Se venden 50 litros, y el recipiente se llena con agua. ¿Cuál es la nueva fracción del concentrado de zumo?

Los números, las operaciones y el orden: 1 + ( )

Podemos aventurar que con el 1, el + y el ( ) empezó todo. El 1 surge de contar la unidad, una manzana, una oveja,...; el + de juntar lo unitario común, 1 manzana + 1 manzana son 2 manzanas,...; el ( ) es el orden de como juntar 2 manzanas con 3 manzanas y con 7 manzanas, (2+3)+7=2+(3+7), porque es imposible contabilizar juntando mas de dos cosas a la vez. A partir de estos tres elementos surge todo lo demás. Tal vez el orden de operar, al principio, no era importante porque la experiencia decía que había asociatividad y distributividad en los cálculos que se hacían. Tal vez la practicidad del cálculo, la búsqueda de formas de operar más simples, fue lo que llevó a poner a la luz la importancia del paréntesis para alterar el orden de operar.

Como toda génesis tiene que haber una estructura y una de las más simples es la de grupo:
Un conjunto de elementos G, con una operación interna *, cumpliendo:
1) Existe un elemento identidad, e, tal que a*e=e*a=a
2) Para todo elemento de G, b, hay un opuesto, b', tal que b*b'=b'*b=e
3) Se cumple la propiedad asociativa: a*(b*c)=(a*b)*c

El ejemplo más conocido de grupo es el de los números enteros con la operación de sumar (Z,+).

Un ensayo sobre la basicidad del paréntesis

Empezamos por lo números y las operaciones que envuelven a la aritmética.
Llamaremos a los números con letras minúsculas; a,b,c,...(como en las ecuaciones)
Llamaremos a las operaciones con letras mayúsculas: A,B,C...(son siete)
Una expresión de cálculo que implica números y operadores es una secuencia finita del tipo: aAbBcDa
Entonces tenemos que resolver las expresiones de cálculo, hacer operaciones de números con las operaciones, y vamos a considerar que el orden es el de la jerarquía de operaciones. Si añadimos el paréntesis, un organizador de operaciones, podemos alterar el orden de operar. El paréntesis debe de abrir y cerrar conteniendo una expresión de cálculo: (aAbBcDa)
Las propiedades del paréntesis sobre el orden de operar son:
1) Si la expresión de cálculo es nula o un número el paréntesis se puede eliminar: ( )=0, (a)=a
2) La resolución de un paréntesis da un número: (aBcAm)=n
y las llamadas de prioridad,
3) Hay que resolver el contenido de la expresión de cálculo del paréntesis antes que cualquier otra expresión: aCdB(aCe)=aCdBs siendo (aCe)=s
4) Cuando hay paréntesis anidados se empiezan a resolver desde los más interiores hasta los más experiores: (dAe(nC(eBs)))=(dAe(cCo)) siendo eBs=o
El paréntesis se convierte así en un operador unario sobre las expresiones de cálculo cuya resultado es un número (en el caso de la aritmética).
Ocurre lo mismo con el operador unario valor absoluto. Hay más operadores unarios como pueden ser la parte entera, el redondeo inferior, el redondeo superior,...
El paréntesis es como el elemento base de los operadores unarios porque desaparece en combinación con los demás operadores al heredar estos las propiedades de prioridad, por ejemplo: |(aBc)|=|aBc|, (Ent(a))=Ent(a). Esto demuestra la rareza del paréntesis su carácter básico para empezar a caminar en las matemáticas.

Paréntesis y recursividad

¿Es el paréntesis un organizador? Puede que sí, su cometido es cambiar el orden de efectuar la operaciones. ¿Qué propiedades tiene? Fundamentalmente la de que indica que hay que hacer primero las operaciones que contiene en su interior (se puede quitar una vez realizadas)  y de que, en caso de anidamiento, hay que hacer primero los paréntesis más internos.
La recursividad es otra forma de organizar un orden de operar, es en parte lo equivalente al anidamiento de paréntesis cuando hay un patrón que seguir. Podemos hacer una multiplicación como ejemplo de todo esto:
Efectuamos 4*7, indicando en rojo el orden de la operación en forma estandar,
4+4+4+4+4+4+4=8+4+4+4+4+4=12+4+4+4+4=16+4+4+4=20+4+4=24+4=28
Ahora alteramos el orden y operamos de derecha a izquierda con ayuda del paréntesis
4+(4+(4+(4+(4+(4+(4))))))=4+(4+(4+(4+(4+(4+4)))))=4+(4+(4+(4+(4+(8)))))=4+(4+(4+(4+(4+8))))=4+(4+(4+(4+(12))))=4+(4+(4+(4+12)))=4+(4+(4+(16)))=4+(4+(4+16))=4+(4+(20))=4+(4+20)=4+24=28
Ahora vamos a simplificar este último proceso con ayuda de la recursividad:
producto(n)=4+producto(n-1), producto(0)=0, n:1..7

El paréntesis, ¿una rareza?

Todos estamos acostumbrados a usar paréntesis  en medio de las expresiones numéricas como forma de priorizar el orden de operar, sin embargo esto no deja de ser una rareza. Consideremos la expresión:

3*5+9-72:3+9

Podemos hacer las operaciones de izquierda a derecha como si estuviéramos leyendo:

15+9-72:3+9

24-72:3+9

-48:3+9

-16+9

-7

O bien, establecemos una jerarquía de operaciones: 1º multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha; 2º sumas y restas de izquierda a derecha:

15+9-24+9

24-24+9

9

Evidentemente da distinto. Lo habitual es el segundo método, lo que se llama operar en forma científica.

Si seguimos este método y queremos alterar el orden, hacer alguna suma o resta antes que un producto o división, es cuando hay que emplear el paréntesis. El paréntesis pasa a ocupar el primer puesto del ranking de la jerarquía, hay que hacer un paréntesis antes que multiplicaciones o divisiones, es decir lo primero es resolver las operaciones del paréntesis:

3*(5+9)-72:(3+9)

3*14-72:12

42-6

36

Lo raro es que usamos un elemento que no es ni número ni operador. Sin embargo es un símbolo muy importante que permite alterar la jerarquía de operaciones, utilizar los números negativos en medio de operaciones con positivos y hablar de propiedades numéricas. Se puede meter entre paréntesis todo lo que queramos, lo que no debe es contener el vacio, se puede anidar y siempre hay que abrir y cerrarlo en algún momento. Es un elemento matemático que de por sí "no vale nada" pero sin él no se podrían haber hecho las matemáticas actuales.

Un examen tipo test contestado al azar

Un examen tipo test consta de tres preguntas, cada una con dos posibles opciones, una correcta y la otra falsa. ¿Cual es la probabilidad de que una persona contestando al azar acierte las tres preguntas?¿Y dos?¿Y una?¿Y ninguna?

Hacemos un grafo dirigido que indica el número de preguntas acertadas según se van contestando. En cada situación hay un 50% de posibilidades de acertar y otro 50% de no acertar. Así, al llegar a 0 aciertos supone pasar por las tres preguntas sin acertar, las probabilidades pasan del 50% en la primera, al 25% en la segunda hasta el 12'5% en la tercera. Para llegar al 1 final hay varias opciones, llegar a 0 en la segunda y acertar en la tercera, o, a 1 en la segunda y no acertar en la tercera. La probabilidad de sólo acertar 1 al final es la suma 12'5%+25%=37'5%. La probabilidad de llegar a 2 al final también es 37'5%. Por último, la probabilidad de llegar a 3 es 12'5%.

Probabilidad en un grafo dirigido

Un coche sale de A y sigue las direcciones de las flechas. Suponiendo que en cada plaza elige aleatoriamente una de sus posibles salidas, ¿cuál es la probabilidad de que acabe en B?¿ Y en E?

Saliendo de A puede ir a B o a C. La probabilidad de llegar a B es 50% y a C, tambien, 50%. Si llega a C ahora tiene tres opciones, ir a B, ir a D  o ir a E. Todas ellas con 1/3 del 50%, o sea, el 16'66..% de posibilidades de llegar a esos puntos pasando por C. Entonces a B puedo acceder directamente desde A (50%) o desde C (16'66..%), por tanto la probabilidad de llegar a B es 66'66..%. A D llega desde C con un 30% del 50%, o sea, el 16'66..% de probabilidad. A E llega desde C con otro 16'66..%. Pero desde D puede acceder desde D con el 100% del 16'66..%, o sea otro 16'66..%. En conjunto puede acceder a E desde C con probabilidad 33'33..%, el complemento al 100% de la probabilidad de llegar a B.

Las ecuaciones de la recta: Hacer Geometría desde el Álgebra

Las rectas se pueden convertir en ecuaciones usando el sistema de coordenadas cartesiano.
Así, las formas que toman las ecuaciones son importantes para que nos digan algo sobre como resolver los problemas de geometría lineal. Ya no hace falta dibujar.
Tenemos:
Las ecuaciones paramétricas, {x=x₀+ku; y=y₀+kv}, ((x₀,y₀) es un punto de la recta y (u,v) el vector director)
La ecuación explícita, y=mx+n (m es la pendiente y n la ordenada en el origen)
La ecuación continua, (x-x₀)/u=(y-y₀)/v ((x₀,y₀) es un punto de la recta y (u,v) el vector director)
La ecuación punto-pendiente, (y-y₀)=m(x-x₀) ((x₀,y₀) es un punto de la recta y m la pendiente)
La ecuación implícita o general, Ax+By+C=0, ((-B,A) es el vector director)
.......
Para resolver un problema geométrico usamos la ecuación más apropiada, por ejemplo para encontrar dónde se cortan dos rectas podemos usar sus ecuaciones explícitas o las implícitas y resolver el sistema de ecuaciones que se forma. Para encontrar una recta paralela a una dada que pasa por un punto, de la que conocemos su pendiente, podemos usar la punto-pendiente, sustituyendo los valores conocidos.
.......
Es la unión del Álgebra con la Geometría iniciada en el XVII por René Descartes que dio lugar a las diversas Geometrías.

Despejar, una estrategia

¿Cómo pasamos de la ecuación explícita de la recta, y=mx+n, a la continua, (x-a)/u=(y-b)/v? La estrategia es despejar x:
y-n=mx
(y-n)/m=x
(x-0)/1=(y-n)/m
donde a=0, b=m, u=1, v=m

Al revés, ¿como pasamos de la continua a la explícita? Ahora la estrategia es despejar y:
(v/u)(x-a)=y-b
y=(v/u)(x-a)+b
y=(v/u)x+[b-(v/u)a]
donde m=(v/u), n=b-(v/u)a

UNIDAD DIDÁCTICA: Medir longitudes a distancia

MOTIVACIÓN:
Cuenta la leyenda que Tales de Mileto consiguió medir la altura de las pirámides de Egipto. ¿Cómo lo hizo? Pues se ayudó del Sol y de la sombra que proyectan las pirámides en un momento dado. Claro está que no necesitó subirse a las pirámides, todo lo hizo sobre el terreno.

EXPERIMENTACIÓN:
En un instante dado, en la misma zona, todos los objetos verticales a los que les da el Sol tienen sombra. Si el objeto tiene poca altura, por ejemplo una persona o un árbol, podemos medir su sombra y su altura. La experiencia nos dice que todos los triángulos ABC que podemos formar representativos de cada situación tienen algo en común: En primer lugar son todos triángulos rectángulos y si movemos los objetos podemos hacer que los triángulos encajen porque los rayos de Sol son paralelos en ese lugar.

¿Qué significa esta propiedad geométrica? Pues que si medimos las sombras y las alturas de varios objetos a la vez obtendremos una secuencia de datos que cumplen la propiedad algebraica siguiente:

sombra/altura=constante

Dicho de otra manera, cuando, por ejemplo, la sombra sea el doble de la altura para un objeto lo es para cualquier otro. Con ello sólo tendríamos que esperar a que ocurriera este suceso, medir la sombra de la pirámide y entonces su altura sería la mitad de su sombra.

CONCEPTUALIZACIÓN:
Aunque la experiencia nos dice que cuando la sombra es el doble de la altura lo es para cualquier objeto, ¿cómo podríamos demostrar esta propiedad matemáticamente?.
Como los rayos son paralelos tenemos que los triángulos rectángulos encajan porque tienen un ángulo común en C=C'=C''

Hay que probar que en general se cumple que:

B'C'/A'B'=B''C''/A''B''

Si calculamos el área del triángulo grande tenemos:

Area(A'B'C')=B'C'·A'B'/2

Éste área es la suma del área del triángulo pequeño, Area(A''B''C''), y del trapecio que queda, Area(A'B'B''A'')

Entonces:

B'C'·A'B'/2=B''C''·A''B''/2+(A'B'+A''B'')·B'B''/2

de aquí, simplificando,

B'C'·A'B'=B''C''·A''B''+(A'B'+A''B'')·B'B''

B'C'·A'B'=B''C''·A''B''+A'B'·B'B''+A''B''·B'B''

teniendo en cuenta que B'B''=B'C'-B''C'',

B'C'·A'B'=B''C''·A''B''+A'B'·(B'C'-B''C'')+A''B''·(B'C'-B''C'')

B'C'·A'B'=B''C''·A''B''+A'B'·B'C'-A'B'·B''C''+A''B''·B'C'-A''B''·B''C''

0=-A'B'·B''C''+A''B''·B'C'

A'B'·B''C''=A''B''·B'C' y de aquí se obtiene,

B'C'/A'B'=B''C''/A''B''

PROCESAMIENTO:

Supongamos que una determinada pirámide de base cuadrada de 6 m de lado tiene una sombra de 24 m medida hasta base (asumimos que los rayos de Sol son perpendiculares al lado de la base), y, en ese mismo momento, un palo de alto 1'2 m tiene una sombra de 1'8 m. ¿Cuál es la altura de la pirámide?
La sombra real es de 24+3=27 m
La razón entre la sombra y la altura es constante. Llamando x a la altura de la pirámide, tenemos:
27/x=1'8/1'2
x=(27·1'2)/1'8=18 m

MECANIZACIÓN:
No es necesario esperar a que haga Sol para medir la altura de una pirámide, se puede construir un instrumento que haga el papel del rayo de Sol. Construimos un clinómetro con una tabla cuadrada de madera, un tubo que haga de visor y una plomada.

Con el visor vemos el vértice de la pirámide y nos fijamos en la plomada en que raya está. El triángulo ABC hace el papel del palo y su sombra, AB es la altura y BC la sombra. El lado BC ya se considera medido y en la regla graduada leemos AB. Luego medimos la distancia desde el punto de observación perpendicular a la base de la pirámide (d) y el lado de la pirámide (s). La altura se obtiene contando con la altura del observador (h), con la fórmula siguiente:

altura=h+AB·(d+s/2)/BC

CONSOLIDACIÓN:
Si queremos medir una altura inaccesible con ayuda de triángulos rectángulos debemos de tener:
1) Un triángulo rectángulo en el que la altura corresponde a la altura buscada.
2) Un segundo triángulo rectángulo más pequeño al que podemos medir su base y su altura. Este triangulo tiene que ser semejante con el primero, es decir, los lados deben de ser paralelos, o bien, los ángulos iguales (se pueden superponer en un vértice que no sea el del ángulo recto).

3) Como los lados son proporcionales, establecemos la proporción:

base1/base2=altura1/altura2

4) Despejando la altura1 tenemos:

altura1=base1·altura2/base2

sustituyendo los datos conocidos nos permite obtener la altura buscada.

EVALUACIÓN:

La unidades en las que se midan las distancias pueden ser distintas para el triángulo menor y para el mayor. Supongamos que la base1 son 14m y la base2=23cm y la altura2=15cm, entonces, por la proporción debe de salir una altura de menos de 14m:

14m/23cm=x/15cm

x=14m·15cm/23cm

los centímetros se cancelan y queda

x=210m/23=9'13m

Medir el diámetro del Sol

Vamos a medir el diámetro del Sol con un experimento casero. Cojamos un tubo de papel, el interior del rollo de papel de cocina, por ejemplo, lo tapamos con papel platina por un lado y con papel cebolla por el otro. Hacemos un pequeño agujero en el papel platina, lo dirigimos al Sol y vemos el círculo amarillo que aparece en la parte del papel cebolla.

Tenemos una homotecia inversa con el centro P en la parte exterior del tubo. Medimos el ancho del agujero AB, y el diámetro de la imágen homotética del Sol, C'D'. Los triángulos PC'D', PCD y PAB son semejantes. Llamando x a la distancia entre el tubo y el centro P, se cumple:

(s+x)/C'D'=x/AB=m/CD

Debemos asumir como valor aproximado de m=149.600.000 km, y medir el agujero AB, la imagen C'D' y la longitud s. Primero se calcula x y después el diámetro CD. Se espera obtener un valor aproximado del diámetro de 1.392.000 km

Construir la ecuación y resolver

Resolver la ecuación teniendo en cuenta que el contenido de cada bola es la suma de los contenidos de la bola superior y de la izquierda.

Una triecuación

Resolver la ecuación en la pirámide numérica. La regla es que la suma de los valores de los dos círculos inferiores da el superior.

Se incorpora la novedad de la construcción de la ecuación.

La base es 2x, 11, -6
La segunda fila es 2x+11, 5
El vértice queda 2x+16=x+1
de aquí se deduce que x=-15

La pirámide queda entonces:
-14
-19, 5
-30, 11, -6

Unidad didáctica: Adivina el número que piensa Juan

Motivación
Juan piensa un número entre 1 y 10, le suma 5, al resultado lo multiplica por 3, y, al resultado le resta 4. Al final le da 23, ¿cuál es el número que pensó?
Desde el resultado hay que ir viendo las operaciones realizadas para averiguar el número.

Experimentación
Si el número pensado está entre 1 y 10 empezamos por probar el 5:
5+5=10
3·10=30
30-4=26
Como da un valor por encima del esperado, probamos con el 4:
4+5=9
3·9=27
27-4=23
El número pensado es el 4.

Conceptualización
Si el número tuviese un rango mayor sería más complicado llegar por tanteo.
Si x es el número pensado escribimos las expresiones algebraicas que representan las operaciones sin tener los resultados intermedios, solo el final:
x+5
3(x+5)
3(x+5)-4=23
Obtenemos una ecuación que hay que resolver volviendo para atrás
23+4=27
27/3=9
9-5=4

Procesamiento
Ahora resolver la ecuación es deshacer el camino pero es más fácil desde la expresión algebraica.
Si lo último fue restar 4, pues sumamos 4 en ambas partes,
3(x+5)-4+4=23+4
3(x+5)=27              (el 4 que está restando en la primera parte pasa sumando a la segunda)
El paso anterior fue multiplicar por 3, entonces dividimos por 3 en ambos lados,
(3(x+5))/3=27/3
x+5=9                    (el 3 que está multiplicando en la primera parte pasa dividiendo a la segunda)
Por último, como sumamos 5 entonces restamos esa cantidad,
x+5-5=9-5
x=4                        (el 5 que está sumando en la primera parte pasa restando a la segunda)

Mecanización
Si queremos hacer independiente el proceso de las operaciones iniciales que construyeron la ecuación podemos eliminar los paréntesis por la propiedad distributiva:
3(x+5)-4=23
3x+15-4=23
Simplificamos haciendo la resta
3x+11=23
El 11 que está sumando pasa restando
3x=23-11
Simplificamos haciendo la resta
3x=12
Y el 3 que multiplica a x pasa dividiendo
x=12/4
Simplificamos haciendo la división
x=4

Consolidación
Para resolver una ecuación de primer grado como la anterior debemos de aislar la x en el primer miembro de la misma, siguiendo los siguientes pasos:
1) Primero quitamos los paréntesis
3x+15-4=23
2) Las expresiones en x se ponen en la primera parte y los números en la segunda, cambiando las sumas y las restas por restas y sumas, respectivamente
3x=23-15+4
3) Se simplifican los términos en x y los números
3x=12
4) Se despeja x pasando el coeficiente al segundo miembro con la operación inversa
x=4

Evaluación
Comprobamos que x=4 es la solución
3(4+5)-4=3·9-4=27-4=23

Unidad didáctica: Evaluar la calidad de vida en la ciudad

MOTIVACIÓN:

Los primeros habitantes inicialmente estaban establecidos en poblaciones  rurales que tenían como medio de vida la agricultura, y, con el paso del tiempo, se fueron agrupando en torno a poblaciones cada vez más numerosas y más grandes.

Las primeras ciudades del mundo surgieron en donde es hoy Irak, en las planicies mesopotámicas cerca de las márgenes de los ríos Tigre y Eufrates. La primera ciudad en llegar al millón de habitantes fue Roma en el año 5 de nuestra era y la población total del planeta era de 170 millones.

La rápida urbanización del mundo ocurre en el período después de la II Guerra Mundial. Desde entonces, la urbanización en los países desarrollados se caracterizó por el surgimiento de una cantidad de ciudades de tamaño mediano. Las capitales de los países desarrollados han funcionado como imanes para la emigración y para las oportunidades de empleo. El desarrollo de mega ciudades es un fenómeno relativamente reciente. Nueva York ha sido la primera mega ciudad en las Américas con más de 10 millones de personas. Esta situación plantea interrogantes sobre la sostenibilidad de esta forma de vida y en general sobre los límites de la población humana.

Vamos a evaluar con ayuda de las matemáticas la calidad de vida de nuestra ciudad y su zona de influencia.

EXPERIMENTACIÓN:

Las ciudades ofrecen ventajas, pero también  inconvenientes, suele haber problemas de transporte, vivienda, abastecimiento, medioambientales y sociales, que aumentan con el incremento poblacional. 

Vamos a considerar la ciudad dividida en tres zonas, A, B y C, que correspondan a sectores homogéneos con peculiaridades similares. Por ejemplo A=centro, B=barrios alrededor y C=periferia.

Se establece una puntuación de 0 a 10 (de nada a mucho) sobre la importancia que tienen los problemas antes enumerados. Este punto requiere que se debata con información suficiente sobre los problemas y se promedien las distintas valoraciones entre todos los que participen. Se hace la tabla de valoración como la del ejemplo:

GRADOS DE IMPORTANCIA QUE OTORGAMOS A LOS PROBLEMAS (puntúa de 0 a 10)
Tipo de problemas	EJEMPLOS	zona A	zona B	zona C
Transporte	Tráfico denso, transporte público deficitario, falta de aparcamientos,...	6	4	2
Vivienda	Alquileres caros, primera vivienda cara, barrios con pocas infraestructuras, infraviviendas, densidad alta,  ....	8	5	3
Abastecimiento y equipamiento	Falta de mercados, lugares de ocio y cultura escasos, centros de sanitarios insuficientes, ...	4	5	7
Medioambientales	Pocos parques, contaminación, focos de infección, ....	6	8	2
Sociales	Convivencia difícil, marginalidad, pandillas de barrio, falta de vigilancia, pocos centros sociales, ...	4	8	4

CONCEPTUALIZACIÓN

Para medir la calidad de vida hay que establecer un índice que tenga en cuenta las puntuaciones que hemos puesto para cada zona y también la población de hay en cada una de ellas. Se ha puntuado la problemática en cada zona, ahora se puede calcular la media de los valores:

Zona A => vma=28/5

Zona B => vmb=30/5

Zona C => vmc=18/5

Ahora, la problemática de la Zona A afecta a un porcentaje de la población, pa, la de B a pb y la de C a pc. Podemos suponer que la distribución de la población es:

Zona A => pa=35%

Zona B => pb=29%

Zona C => pc=36%

El índice de calidad se puede establecer como un reparto de la importancia de los problemas proporcional a la distribución de la población:

IC=vma*pa+vmb*pb+vmc*pc

Es un valor entre 0 y 10. En el ejemplo se tiene que IC=4,996

PROCESAMIENTO

Las diferentes contribuciones de cada zona se pueden calcular de la siguiente manera:
Si no hubiese problemas cada zona tendría un vm=0, entonces vma*pa=vmb*pb=vmc*pc=0. Si todo fuesen problemas cada vm=10, y en este caso vma*pa=3,5, vmb*pb=2,9 y vmc*pc=3,6. La Zona A contribuye con vma*pa=1,96, la B con vmb*pb=1,74, y la C con vmc*pc=1,296. Entonces la Zona A aporta 1,96/3,5=56%, la B, 1,74/2,9=60%, y la C, 1,296/3,6=36%. Se puede decir que la Zona B aporta mayor parte de su posible problemática, después la Zona A y, finalmente, la Zona C. Porcentualmente está peor la Zona B, después la A y finalmente la C.
La ciudad tiene un porcentaje de problemática de 4,996/10=49,96%.

MECANIZACIÓN

Se puede medir la calidad calculando el porcentaje de problemática que hay sobre la máxima que puede haber. En cada zona el valor máximo es sobre 10.

ICmax=10*p, 

siendo p el porcentaje de población.
Entonces la calidad de la zona, teniendo en cuenta que IC=vm*p, es:

C=IC/ICmax*100

Para toda la ciudad el valor máximo es 10, entonces el resultado final para la calidad de toda la ciudad es:

Cfinal=Suma(IC)/10*100

Nótese que la calidad final no se puede obtener como la suma de las calidades de cada zona puesto que estas están calculadas sobre sus máximas posibilidades.

CONSOLIDACIÓN

ZONA	VALORACIÓN PROBLEMAS vm	POBLACIÓN % p	IC IC=vm*p	IC MAXIMA ICmax=10*p	CALIDAD % IC/ICmax
A	28/5	35%	1,96	3,5	56%
B	30/5	29%	1,74	2,9	60%
C	18/5	36%	1,296	3,6	36%
TOTAL	76/5	100%	4,996	10	49,96%

EVALUACIÓN

Finalmente se puede establecer un criterio para calificar la calidad según el valor de I obtenido. Por ejemplo:

Calificación con C=IC/ICmax en %

a) Si C=IC/ICmax pertenece a [0,30) , es una ciudad con buena calidad al haber poca problemática b) Si C=IC/ICmax pertenece a [30,60), es una ciudad con una regular calidad de vida, al haber problemas por resolver c) Si C=IC/ICmax pertenece a [60,100), es una ciudad con mala calidad de vida por haber muchos problemas por resolver

Se puede graduar más la escala y también esta calificación puede servir para tomar medidas para los planes políticos de mejora y comprobar, cuando se apliquen, si son efectivos o no.