La puntuación del examen de números enteros

Juanito tiene un examen de mates sobre los números enteros con una puntuación muy peculiar,  le sube y le baja la puntuación según acierte o falle las preguntas, hasta el punto de que si alcanza puntuaciones negativas y falla le sigue descontando. Si no contesta la pregunta no puntúa. 

En principio empieza en 0. Trata de obtener la puntuación del examen según las preguntas acertadas y falladas. ¿Qué puntuación tiene a mitad de examen? ¿En qué momento estaba por encima de 5? ¿Cuántos puntos negativos sacó? 

En la revisión de la pregunta 3 el profe considera que lo que contestó tenía algún valor y en lugar de quitarle los 4 puntos sólo le quita 2. ¿Cómo le queda la puntuación en ese momento?¿Cuál es la puntuación después de la revisión? 

Éste es el resultado de la corrección del examen de Juanito:

Pregunta 1) vale 2 puntos, Acierta, 

Pregunta 2) vale 5 puntos, Falla, 

Pregunta 3) vale 4 puntos, Falla, 

Pregunta 4) vale 6 puntos, Acierta, 

Pregunta 5) vale 8 puntos, Acierta, 

Pregunta 6) vale 3 Puntos, Falla, 

Pregunta 7) vale 4 puntos, Falla,  

Pregunta 8) vale 2 Puntos, No contesta, 

Pregunta 9) vale 6 Puntos, Acierta, 

Pregunta10) vale 7 puntos, Acierta

Veamos:

P=puntos acumulados

1) Acierta +2 P=2

2) Falla -5  P=2+(-5)=2-5=-3

3) Falla -4 P=-3-4=-7  

4) Acierta +6  P=-7+6=-1

5) Acierta +8  P=-1+8=7  (Puntuación a mitad de examen, momento en que está por encima de 5)

6) Falla -3  P=7-3=4

7) Falla -4  P=4-4=0

8) No contesta 2  P=0+0=0

9) Acierta +6  P=0+6=6  (Aquí está por encima de 5)

10) Acierta +7  P=6+7=13  (Puntuación final. Aquí está por encima de 5)

En total perdió -5-4-3-4=-16 puntos

Después de la revisión en la pregunta 3) lleva  P=-7-(-2)=-7+2=-5

Puntuación final después de la revisión P=13-(-2)=13+2=15

Puntos negativos después de la revisión -16-(-2)=-14

Sumar y restar enteros, ¿por qué es tan complicado?

 

Sumar y restar números naturales, los positivos, está al alcance de todo el mundo pero cuando se trata de sumar y restar enteros, los positivos y los negativos, se pierde la sencillez. ¿Por qué? 

Los números Naturales se pueden ver como una lista que va creciendo, pongamos desde el 1 de uno en uno, sumar es subir en esa lista y restar es bajar.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,...........

SUMAR  ------>     <------RESTAR

Así, si a 3 se le suma 4, desde 3 se cuentan cuatro lugares hacia la derecha y se llega al 7

3+4=7

Moverse un lugar hacia la derecha es acumular una unidad.

Y si a 5 se le resta 3, se cuentan desde 5 tres lugares hacia la izquierda y se llega a 2

5-3=2

Moverse un lugar hacia la izquierda es descontar una unidad.

Se puede aplicar este modelo fácilmente  a situaciones de sumar y restar cantidades de cosas: Si tenemos 3 euros y nos dan 4 entonces tenemos 7 euros. Si estamos en el piso 5 y bajamos 3 pisos se llega al piso 2.

Ahora se añaden los negativos y el cero para tener los enteros.

............-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,............

Los negativos llevan el menos delante y aunque los positivos deberían llevar el más no se le pone.

En general los negativos en la operaciones se ponen entre paréntesis, -4=(-4)

También se pueden poner los positivos entre paréntesis 6=(+6), pero esto no se hace.

Sumar y restar enteros tiene que ser los mismo en la parte de los positivos que antes. Entonces sumar en la parte positiva es ir hacia la derecha y restar es ir a la izquierda. ¿Qué pasa en la parte negativa?

La regla para los enteros es:

1) Sumar un positivo en cualquier parte es ir hacia la derecha tantos lugares como indica el número.  

4+2=6,   (-2)+3=1,  (-5)+7=2, ....

2) Restar un positivo en cualquier parte es ir hacia la izquierda tantos lugares como indica el número.

5-3=2,  3-5=(-2),  (-2)-2=(-4), .....

3) Sumar un negativo en cualquier parte es ir hacia la izquierda tantos lugares como indica el número sin el signo.

4+(-5)=(-1),   (-3)+(-2)=(-5),  3+(-3)=0, .....

4) Restar un negativo en cualquier parte es ir hacia la derecha tantos lugares como indica el número sin el signo.

5-(-3)=8,  (-3)-(-4)=1, (-5)-(-4)=(-1), .....

La complicación es mayor cuando se tiene en cuenta que el signo de la resta y el del número negativo son el mismo, aunque son dos cosas distintas, y cuando se prescinde del paréntesis en los números negativos. Por regla general sólo se mantiene el paréntesis en los negativos si no tienen delante los operadores de la suma y resta.

Así (-2)+4=-2+4, pero 5+(-3) debe de mantener el paréntesis

Pero, 5+(-3) puede perder el paréntesis si se hace un pequeño truco, cambiar el operador. Como sumar (-3) es lo mismo que restar 3, se va para la izquierda en ambos casos, entonces 5+(-3)=5-3. A veces se usa la regla del producto de los signos para hacer este caso, +·-=-, multiplicando el operador por el signo del número.

¿En qué situaciones se usan los negativos y se suman y restan negativos?

En la medición de temperatura se usan estos números:

Estar a -3º y subir 5º es sumar -3+5=2

Estar a 2º y bajar 4º es restar 2-4=-2

En las operaciones financieras:

Tener 4 euros es estar en +4 y deber 5 euros es estar el -5 euros. Ingresar es sumar y pagar restar.

Si se está en 4 euros de deuda, -4, y se ingresan 5 euros, el resultado es -4+5=1, se tiene un euro de activo.

Si se tienen 3 euros de deuda, -3, y hay que pagar 5 euros, -3-5=-8, la deuda es de 8 euros.

Si se tiene una deuda de 4 euros, -4, y se quitan 2 euros de la deuda, -2, entonces se quedan 2 euros de deuda, -2.

-4-(-2)=-4+2=-2

El principio del para todo en las ecuaciones

Una ecuación es una igualdad de dos expresiones algebraicas que están en permanente equilibrio

A=B

Se pueden manipular estas expresiones algebraicas con la condición de que se preserve el equilibrio, lo cual significa que:

1) Lo que se haga en una parte se tiene que hacer en la otra de igual manera

2) Lo que se haga le afecta a toda la parte

Por ejemplo: 

3x-5=-4x+9

Se trata de dejar la x en una sola parte

Se empieza con los números. Se quita el -5 de la primera parte, para ello se añade +5 en las dos partes.

3x-5+5=-4x+9+5

El +5 se puede juntar con cualquier término de cada parte, en particular lo juntamos con los números y los simplificamos:

3x=-4x+14

Se quita el termino en x de la segunda parte, para ello se suma +4x en las dos partes:

3x+4x=-4x+14+4x

Como antes se juntan los términos en x:

7x=14

Ahora, sólo queda dejar la x sola, para ello se divide por 7 ambas partes:

7x/7=14/7

Sólo queda simplificar:

x=7

Resolver una ecuación de primer grado como un juego

Juego: Resuelve la ecuación 2x-8=-4x+6

El juego consiste en lo siguiente:

• La ecuación tiene dos partes, la primera a la izquierda del igual y la segunda a la derecha.
• Hay que dejar una sola x en uno de los dos lados de la igualdad y en el otro un solo número.
• Se pueden añadir números positivos o negativos a la vez en ambos lados de la igualdad de forma que sumen o resten cero con los existentes para eliminarlos de una de las partes.
• Se pueden añadir x en positivo o negativo a la vez a ambas partes de la ecuación para eliminar términos que tienen x en una de las partes y se necesita que esté en la otra.
• Se puede dividir o multiplicar ambas partes por un mismo número.

Estrategia: Ir quitando cosas de cada lado, simplificando los cambios. Observa la ecuación y elige en que parte se va a quedar la x sola y la otra parte en la que va a quedar el número y empieza a quitar.

Partida:

Vamos a dejar la x sola en la primera parte y el número sólo en la segunda. 

1) Para quitar el -8 de la primera parte añadimos +8 en ambas partes

2x-8+8=-4x+6+8

agrupamos

2x=-4x+14

2) para quitar el -4x de la segunda parte añadimos +4x en ambas partes

2x+4x=-4x+4x+14

agrupamos

6x=14

3) Para quitar el coeficiente de x se divide ambas partes por 6

6x/6=14/6

simplificamos

x=7/3

Fin de la partida

Resolver una ecuación de primer grado hablando

Juan tiene un número determinado de lápices, si regala cinco se queda con la mitad de los que tenía mas dos. ¿Cuántos lápices tiene Juan?

Se puede usar el álgebra para plantearlo con una ecuación de primer grado y resolverlo.

Se puede resolver razonando manteniendo en la memoria temporal los datos. El problema es sencillo para esto, cuando se complica el enunciado puede ser más difícil, pero es un buen ejercicio mental el ir pensando lo que se quiere hacer.

Al número de lápices de Juan hay que quitarle los cinco lápices y entonces le queda la mitad más dos. Si sólo le quedase la mitad, entonces, tendría diez. Como le quedan dos más, entonces, al quitarle siete le queda la mitad, luego tiene catorce lápices.