La propiedad conmutativa

Consideremos los números reales y sus siete operaciones. Una operación es conmutativa cuando da el mismo resultado si la realizamos en orden inverso sean cuales sean los números empleados.

• La suma es conmutativa: a+b=b+a, por ejemplo, 3+5=5+3
• La resta no es conmutativa: 6-5<>5-6. Sólo se cumple la conmutatividad cuando el número es el mismo, por ejemplo 4-4=4-4.
• El producto es conmutativo: a*b=b*a, por ejemplo, 6*9=9*6
• La división no es conmutativa: 6/4<>4/6. Sólo se cumple cuando los números son iguales, 8/8=8/8, o son opuestos, 5/(-5)=(-5)/5.
• La potencia no es conmutativa: 5²<>2⁵. Pero, ¿qué pares de números cumplen esa propiedad? Si son iguales se cumple. Sabemos, por ejemplo, que el 2 y el 4 la cumplen también, 2⁴=4².
• La raíz y el logaritmo tampoco son conmutativas. ¿Existen pares de números no iguales que sean conmutativos para esa propiedad?

Propiedades que generan propiedades

La notación normativa o estándar de un polinomio de segundo grado es ax²+bx+c. Aunque un polinomio de segundo grado puede escribirse como a(x-r)(x-s), donde r y s son las  llamadas raíces del polinomio, que por la propiedad distributiva se puede expandir como ax²-asx-arx+ars, que se puede contraer en parte aplicando la distributiva de forma inversa como: ax²+a(-r-s)x+ars. Comparando ambas expresiones se tiene que:
r+s=-b/a; rs=c/a.,
que son las propiedades de la suma y el producto de las raíces de un polinomio.

Reglas vs fórmulas

La solución de una ecuación de segundo grado, ¿fórmula o regla?
Bueno, x=(-b+-raiz(b^2-4ac))/(2a), parece más bien una fórmula porque:

• En primer lugar tiene carácter práctico, da las soluciones de la ecuación, la fórmula se demuestra una sola vez y ya se puede aplicar.
• Hay que sustituir las letras por los coeficientes a, b y c de la ecuación, de forma constructiva.
• Permite separar las ecuaciones con solución de las que no la tienen según el discriminante.

El cuadrado del binomio, ¿regla o fórmula?

Bueno, (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, parece más bien una regla porque:

• Tiene una letanía para acordarse, "el cuadrado del primero, más doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo"
• Nos aligera de tener que hacer el producto (a+b)(a+b).
• Se usa para expandir la expresión.

Propiedades vs reglas

¿La propiedad conmutativa o la regla conmutativa?
Bueno, parece que es más propiedad que regla: a(op)b=b(op)a.

• En primer lugar es general para muchas operaciones, como la suma o el producto de reales. (compara parecidos)
• En segundo lugar es opcional el uso y depende de la conveniencia del momento.
• En tercer lugar indica lo que podemos o no podemos hacer. Por ejemplo no podemos aplicarla en el producto de matrices.

¿La regla del producto de derivadas o la propiedad del producto de derivadas?
Bueno, parece más la regla del producto: f=g·h==>f'=g'·h+g·h'

• En primer lugar es particular, indica como hacer la derivada de un producto, es expansiva.
• En segundo lugar aligera la operatoria puesto que nos evita estar con límites.
• En tercer lugar se memoriza con una frase: la derivada del primero por el segundo sin derivar, más, el primero sin derivar por la derivada del segundo.

Funciones elementales

Las funciones elementales son los objetos más simples del análisis. La primera función que se considera como tal es la función constante, f(x)=k, siendo k un número. Por ejemplo f(x)=6. La siguiente función elemental es la identidad f(x)=x. A partir de aquí se pueden operar estas funciones para obtener nuevas funciones. Por ejemplo, la suma repetida de funciones identidad da otra función elemental, la función afín: f(x)=x+x+x+x=4x. La suma de la función afín con la función constante da la función lineal, por ejemplo f(x)=4x+6. La multiplicación repetida de la función identidad da la función potencia, f(x)=x*x*x=x³. La suma repetida de funciones potencia o la multiplicación de la función constante por la potencia da una función monomio, por ejemplo f(x)=6x³. Finalmente, la suma de funciones monomio da la función polinomio, por ejemplo f(x)=4x²-5x+6.

Funciones encadenadas

Una función tiene una entrada y una salida, a la entrada la llamamos x y la salida y. La función efectúa operaciones con los valores de entrada para obtener los de salida, a esas operaciones las denotamos por f, siendo la función representada como y=f(x).

Por ejemplo si entran números reales y les hacemos su cuadrado, la función devuelve números reales que son el cuadrado de la entrada. La función es y=f(x)=x²

Supongamos otra función que a cada valor de entrada le suma un 4, y=f(x)=x+4. Una tercera función puede hacer que a cada valor de entrada le calcule su coseno, y=f(x)=cos(x). Ahora podemos encadenar las tres funciones en el orden que se dieron haciendo que cada valor de salida sirva como entrada para la siguiente, entonces el valor de entrada sufre tres cálculos, primero se eleva al cuadrado, luego al resultado se le suma 4, y por último, al resultado se le calcula el coseno, por tanto la función encadenada es: y=f(x)=cos(x²+4)

El orden de encadenamiento es fundamental, así puede salir y=f(x)=cos(x²)+4, o y=f(x)=[cos(x)]²+4, o bien y=f(x)=cos(x+4)². Podemos intentar buscar pares de funciones que al encadenarse en distinto orden dan la misma función. También podemos buscar pares de funciones que al encadenarse devuelven la x de entrada.

La séptima operación

La suma de dos números: 3+4=7
La resta. Conocida la suma y un sumando calcular el otro: 3+x=7 ==> x=7-3=4
La multiplicación de dos números como suma repetida: 3*4=3+3+3+3=12
La división. Conocido el producto y uno de los multiplicandos calcular el otro: 3*x=12  ==> x=12/3=4
La potencia como multiplicación repetida: 3^4=3*3*3*3=81
La raíz. Conocida la potencia y el exponente calcular la base: x^4=81 ==> x=raiz(81;4)=3
Pero queda otra opción, la séptima operación. Conocida la potencia y la base calcular el exponente:3^x=81  ==> es el cálculo del logaritmo de 81 en base 3,
 ¡¡log₃ (81)=4!!

Dos principios: repetición y vuelta atrás