¿Dónde hay modelos matemáticos?

• En Aritmética encontramos por ejemplo el modelo de la sucesión de Fibonacci:

a₁=1, a₂=1, a_i=a_i-1+a_i-2

• En Análisis encontramos el modelo lineal:

y=ax+b 

• En matemáticas financieras tenemos el modelos de crecimiento acumulado del capital:

C=C₀(1+i)^t  (siendo C₀ el capital final, i el interés y t el tiempo en años)

• En Topología tenemos el modelo de la cinta de Moebius:

¿Qué es un modelo?

¿Dónde hay conceptos en Matemáticas?

En Aritmética tenemos :

• El concepto de número primo, aquel número natural que sólo es divisible por sí mismo y la unidad.
• El concepto de número irracional, como aquel número real que no se puede expresar como fracción.

En Álgebra tenemos:

• El concepto de raíz de un polinomio, como el de aquel número que hace que el valor numérico del polinomio sea cero.
• El concepto de discriminante de una ecuación de segundo grado, la expresión que permite decidir cuantas soluciones va a tener la ecuación.

 En Estadística tenemos:

• El concepto de media, como el parámetro de centralización que se obtiene como suma de todos los datos dividido por el número de ellos.
• El concepto de mediana, como valor de la variable que separa los datos ordenados de la serie estadística por la mitad.

¿Qué es un concepto?

¿Dónde hay fórmulas en Matemáticas?

En Geometría hay muchas fórmulas para calcular áreas o volúmenes:

• El área del cuadrado de lado l es A=l².
• El área del círculo de radio r es A=πr².

En  Estadística también hay muchas fórmulas para calcular parámetros:

• La media de una serie estadística es:

•  La desviación típica de forma abreviada es:

¿Qué es una fórmula matemática?

¿Dónde hay métodos en Matemáticas?

En el Álgebra encontramos el método de la división de Ruffini:
Por ejemplo para realizar la división (x²-5x+6):(x+4) por dicho método, debemos utilizar los coeficientes del dividendo (1  -5   6) y el termino de grado cero del divisor cambiado de signo (-4)
       1   -5    6
-4         -4   36
----|-----------------
       1   -9   42

1) El primer término, el 1, baja sin más
2) Se multiplica -4 por 1 y el resultado , -4, se pone debajo del -5.
3) Se suma -5 con -4, dando -9.
4) Se multiplica -4 por -9 y da 36 que se pone debajo del 6
5) Se suma 6 y 36 dando 42 que se pone al final.

El cociente es el polinomio de coeficientes 1 y -9, o sea, x-9, y el resto es el último número de la fila inferior, o sea, 42.

¿Qué es un método matemático?

¿Dónde hay reglas en Matemáticas?

En el álgebra, por ejemplo en los productos notables:

• El cuadrado de la suma es igual al cuadrado del primero, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.
• El cuadrado de la resta es  igual al cuadrado del primero, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

En Aritmética, por ejemplo en las operaciones con potencias:

• El producto de potencias de la misma base, es igual a una potencia con la misma base y de exponente la suman los exponentes.
• El cociente de potencias de la misma base es igual a una potencia con la misma base y y de exponente la resta de los exponentes.

En Análisis, por ejemplo en la derivada de operaciones de funciones:

• La derivada de la suma de funciones es igual a la derivada del primero por el segundo sin derivar, más la derivada del segundo por el primero sin derivar.
• La derivada del cociente de funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador sin derivar menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador, dividido todo por el denominador al cuadrado.

¿Qué es una regla matemática?

Consumo sostenible

Parte de los resultados del aprendizaje preferencial se recogen en la wiki de consumo sostenible. Esta wiki es un intento por llevar a la práctica con alumnos estas ideas en colaboración con otros profesores.
https://consumosostenible.wikispaces.com/

Aprendizaje preferencial complementario

El aprendizaje se puede ver como un proceso continuo que de alguna forma tiene etapas.  Cuando queremos aprender algo debemos de contar con una Orientación, un deseo de aprender, algo que nos motive para poder llegar al final  (en este punto tiene que surgir una llamada a la acción sobre la realidad, es la búsqueda de nuevas posibilidades). Hay que contar con algo valioso aprendido previamente que permita establecer un Razonamiento que nos permita discurrir como se llega a alcanzar el nuevo conocimiento (este es un proceso concreto y pasivo, en cuanto a que hay que detenerse a recordar y observar). Los nuevos conocimientos se crean a partir de esos valores y se van estructurando constituyendo los Conceptos (este es un proceso teórico, más propio de un pensamiento sintético). Los nuevos saberes se Trabajan para verificar hasta qué punto permiten alcanzar los objetivos del aprendizaje (esta fase es operativa, propia de un pensamiento funcional). Una vez que se ha visto que lo que sabemos funciona, la fase siguiente es la mecanización de lo aprendido, la construcción de nuevos productos del conocimiento, es la búsqueda de Técnica y herramientas que permitan obtener resultados evitando trabajos innecesarios (es la fase práctica).  La consolidación del aprendizaje es la siguiente fase, aquello que hemos aprendido bien debemos de mantenerlo en el tiempo, es la base de nuestro futuro conocimiento, así el aprendizaje se convierte en Metodo (es cuando se organiza lo aprendido). Por último está la etapa Evaluativa en la que aprendemos a establecer criterios sobre cómo se hace un buen aprendizaje. Si se ha aprendido algo importante se debe de concluir estableciendo un criterio que nos permita juzgar lo que está bien hecho (es el espíritu crítico).

Proceso

1.- MOTIVACIÓN
2.- VALORES
3.- CONOCIMIENTOS
4.- TRABAJOS
5.- PRODUCTOS
6.- MÉTODOS
7.- EVALUACIÓN
1.-.........................

¿Cómo encontrar la función?

1º) Se trata de averiguar cómo funciona el taxímetro con los datos que se han visto en el trayecto.
2º) El precio del trayecto depende de un fijo inicial (fase 1) y de un incremento rítmico que depende del tiempo (fase 2). Se va acumulando todo. Se trata de averiguar como se calcula el precio del trayecto en función del tiempo transcurrido o del número de saltos que da el contador.
3º) Se tiene como datos el fijo inicial de bajada de bandera, el coste final de subida de bandera y el tiempo transcurrido. También hay una estimación del número de saltos del contador por minuto.
4º) Si descontamos el precio inicial del fijo inicial se tiene el coste que se acumuló según el tiempo transcurrido. De esta forma, este dinero es el que depende del tiempo.
5º) El coste del trayecto dependiendo sólo del tiempo se divide entre el tiempo total y da el coste que se acumula por minuto. Como se estima el número de saltos por minuto se puede dividir el coste por minuto entre el número de saltos por minuto y se tiene el coste por salto.
6º) Para calcular cualquier trayecto hay que sumar al fijo inicial (bajada de bandera) el número de saltos del contador multiplicado por el precio por salto. También se puede sumar el fijo con el número de minutos transcurridos multiplicado por el coste por minuto.
7º) En este caso: Coste=1'15+tiempo(min)·0'8=1'15+nº de saltos·0'2
Si el tiempo fue de 13 minutos, Coste(13min)=1'15+13·0'8=11'55 euros

¿Cómo funciona?

Al subir a un taxi un viajero se fijó en que el taxímetro marcaba 1'15 euros. Durante el trayecto, a períodos regulares de tiempo, el taxímetro se iba incrementando, hasta que después de 13 minutos viajando en el taxí este se detuvo en el destino indicado. El marcador marcaba 11'55 euros al final.
El viajero preguntó:
--¡Oiga señor taxista!¿Cómo funciona el taxímetro?
Este le respondió todo amable:
--Hay una tarifa inicial, la bajada de bandera, que es de 1´15 euros. Es un fijo para cualquier trayecto. Después, el aparato, con ayuda de un reloj interno, va sumando una cantidad fija cada poco tiempo.
Cuando llegó a su casa, el viajero aún runruneaba algo en su cabeza:
--La carrera me costó 11'55, el fijo inicial fue de 1'15, entonces la maquina contó 11'55-1'15=10'4 euros. El viaje fue de 13 minutos, luego acumuló 10'4:13=0'8 euros el minuto.
Estimó mentalmente que el contador saltaba cada 15 segundos, y dijo en alta voz:
--¡Eureka! ¡El contador suma 20 céntimos cada 15 segundos!.

Flujo del modelo

1º) La división es la operación inversa de la multiplicación, o sea, comprobar cuantas veces cabe un número en otro.
2º) Se trata de dividir un número D (>0) entre otro d (>0) por restas sucesivas.
3º) Si d>D entonces el cociente es 0 y el resto es D y se acaba la división. Si d<=D entonces se continúa.
4º) Se multiplica d por un entero positivo n elegido de tal forma que d·n<=D.Se anota el valor de n.
5º) Se resta D-d·n, cuyo resultado es el nuevo valor de D.
6ª) Si d<=D, entonces se vuelve al paso 3º), sino la división terminó y se continúa en el siguiente punto.
7ª) Se suman todos los valores de n que se anotaron y eso es el resultado del cociente C. El resto es lo que quedó de D sin poder restar más, R. Se comprueba que el resultado es correcto viendo que D=d·C+R

Modelo: Calcular una división

La división es la operación inversa de la multiplicación, esto quiere decir que si la multiplicación son en su origen sumas repetidas, entonces la división son restas repetidas. Vamos a dividir 13423 entre 48. Se trata por tanto de ver cuántas veces podemos restar de 13423 el 48. Llevamos un cómputo:
1º restamos 100 veces 48, 13423-4800=8623
2º restamos otra vez 100 veces 48, 8623-4800=3823
3º ahora restamos 50 veces 48, 3823-50·48=1423
4º ahora restamos 20 veces 48, 1423-20·48=463
5º ahora restamos 8 veces 48, 463-8·48=79
6º sólo podemos restar una vez 48, 79-48=31
7º ya no se puede restar más.
En total se han restado 100+100+50+20+8+1=279 veces 48 y sobran 31. El cociente es 279 y el resto 31.
Podemos comprobar que está bien si multiplicamos 279 por 48 y sumamos 31, tiene que dar 13423.

Estructura utilizada en la resolución del problema

1º) Para resolver el problema se decide utilizar una estructura algebraica. Se usan incógnitas para representar lo desconocido y se convierten las relaciones entre las incógnitas en ecuaciones.
2º) Se tienen dos animales diferentes, vaca y oveja, que consumen por separado en un determinado tiempo la provisión de pienso (27 días y 54 días, respectivamente). La vaca acaba antes el pienso que la oveja. Se quiere averiguar en cuánto tiempo se comen el pienso los dos animales juntos.
3º)  Si se llama x la cantidad de pienso que se come una vaca en un día, e y a la cantidad que se come una oveja en un día. Si P es la cantidad de pienso total, entonces, por proporcionalidad: x=P/27, e y=P/54. Si T es el tiempo que tardan en comer el pienso los dos animales su velocidad es z=P/T
4º) Se pueden emplear todas las propiedades de la resolución de ecuaciones para poder resolver el problema. Hay una propiedad fundamental, y es, que la velocidad con que comen los dos animales juntos es la suma de las velocidades individuales: z=x+y. De igualar P en las dos primeras ecuaciones obtenemos que x=2·y, que es una relación importante para sustituir x en función de y.
5º) Se trata de despejar T, para ello se dispone de 4 ecuaciones con 5 incógnitas. Se pueden despejar incógnitas en unas ecuaciones y sustituir en otras, intentando eliminar incógnitas a la vez que se eliminan ecuaciones.
6º) Para averiguar T, se despeja en la tercera: T=P/z, se sustituye z por x+y, T=P/(x+y). Ahora si sustituimos x e y por sus expresiones en función de P, conseguimos una expresión de T que depende de P, que simplificando se elimina y da la solución. También se puede poner todo en función de y con lo que resulta más facil de resolver.
7º) Llegamos al final al obtener el valor de T. Conviene revisar si la solución es correcta, para ello hay que recobrar el sentido de todo lo que se ha calculado.

Resolver un problema

Un labrador tiene pienso para alimentar una vaca durante 27 días, y si fuera a una oveja, para 54 días. ¿Para cuánto tiempo tendría pienso si tuviera que alimentar a la vaca y a la oveja?

Lo que consume de pienso una vaca por día le llamamos x. Lo que consume una oveja por día le llamamos y. La cantidad de pienso total es por tanto P=27·x=54·y
Si los dos animales están juntos consumen al día x+y, y el tiempo que les dura el total de pienso es T=P/(x+y)
Entonces, de la primera ecuación tenemos que x=2·y. Sustituimos en la segunda en función de y: T=54·y/(2·y+y)=54/3=18 días
¿Cómo comprobar que está bien? Vamos a dar sentido a lo que obtuvimos: Si x=2·y, entonces es que lo que consume una vaca por día es el doble de lo que consume una oveja. Si juntamos una vaca y una oveja, entonces, equivale a tres ovejas. Una oveja come todo el pienso en 54 días, entonces las tres ovejas lo comeran en la tercera parte de tiempo, 54/3=18 días.

Etapas de la demostración de la fórmula

1º) Se trata de encontrar la fórmula que permite obtener el área del rombo

2º) Se parte de la figura de un rombo y del que se pueden conocer sus dos diagonales D y d.

3º) Suponemos que la fórmula del área del cuadrado de lado l es conocida.

4º) Se descomponen las figuras más complejas en figuras simples de las que se puedan calcular sus fórmulas.

5º) El rectángulo se puede considerar como formado por cuadrados de lado unidad. El romboide se transforma en un rectángulo si quitamos un triángulo de una de sus esquina y lo pegamos en el otro extremo. El romboide se puede dividir por su diagonal y da dos triángulos iguales. Por último, el rombo se puede descomponer como el romboide

6º) Se argumenta a la inversa, se parte de que el rombo es suma de dos triángulos (dividiéndolo por una de sus diagonales) lo cual lleva a tener que buscar la fórmula del área del triángulo, que podemos sacar si se tiene la del romboide, que es suma de dos triángulos iguales. Pero la del romboide puede obtenerse de la del rectángulo, que a su vez se puede calcular de la del cuadrado. Ahora se hace la demostración desde el cuadrado hasta el rombo.

7º) Se finaliza cuando se consigue llegar a la fórmula del área del rombo