UNIDAD DIDÁCTICA: Medir longitudes a distancia

MOTIVACIÓN:
Cuenta la leyenda que Tales de Mileto consiguió medir la altura de las pirámides de Egipto. ¿Cómo lo hizo? Pues se ayudó del Sol y de la sombra que proyectan las pirámides en un momento dado. Claro está que no necesitó subirse a las pirámides, todo lo hizo sobre el terreno.

EXPERIMENTACIÓN:
En un instante dado, en la misma zona, todos los objetos verticales a los que les da el Sol tienen sombra. Si el objeto tiene poca altura, por ejemplo una persona o un árbol, podemos medir su sombra y su altura. La experiencia nos dice que todos los triángulos ABC que podemos formar representativos de cada situación tienen algo en común: En primer lugar son todos triángulos rectángulos y si movemos los objetos podemos hacer que los triángulos encajen porque los rayos de Sol son paralelos en ese lugar.

¿Qué significa esta propiedad geométrica? Pues que si medimos las sombras y las alturas de varios objetos a la vez obtendremos una secuencia de datos que cumplen la propiedad algebraica siguiente:

sombra/altura=constante

Dicho de otra manera, cuando, por ejemplo, la sombra sea el doble de la altura para un objeto lo es para cualquier otro. Con ello sólo tendríamos que esperar a que ocurriera este suceso, medir la sombra de la pirámide y entonces su altura sería la mitad de su sombra.

CONCEPTUALIZACIÓN:
Aunque la experiencia nos dice que cuando la sombra es el doble de la altura lo es para cualquier objeto, ¿cómo podríamos demostrar esta propiedad matemáticamente?.
Como los rayos son paralelos tenemos que los triángulos rectángulos encajan porque tienen un ángulo común en C=C'=C''

Hay que probar que en general se cumple que:

B'C'/A'B'=B''C''/A''B''

Si calculamos el área del triángulo grande tenemos:

Area(A'B'C')=B'C'·A'B'/2

Éste área es la suma del área del triángulo pequeño, Area(A''B''C''), y del trapecio que queda, Area(A'B'B''A'')

Entonces:

B'C'·A'B'/2=B''C''·A''B''/2+(A'B'+A''B'')·B'B''/2

de aquí, simplificando,

B'C'·A'B'=B''C''·A''B''+(A'B'+A''B'')·B'B''

B'C'·A'B'=B''C''·A''B''+A'B'·B'B''+A''B''·B'B''

teniendo en cuenta que B'B''=B'C'-B''C'',

B'C'·A'B'=B''C''·A''B''+A'B'·(B'C'-B''C'')+A''B''·(B'C'-B''C'')

B'C'·A'B'=B''C''·A''B''+A'B'·B'C'-A'B'·B''C''+A''B''·B'C'-A''B''·B''C''

0=-A'B'·B''C''+A''B''·B'C'

A'B'·B''C''=A''B''·B'C' y de aquí se obtiene,

B'C'/A'B'=B''C''/A''B''

PROCESAMIENTO:

Supongamos que una determinada pirámide de base cuadrada de 6 m de lado tiene una sombra de 24 m medida hasta base (asumimos que los rayos de Sol son perpendiculares al lado de la base), y, en ese mismo momento, un palo de alto 1'2 m tiene una sombra de 1'8 m. ¿Cuál es la altura de la pirámide?
La sombra real es de 24+3=27 m
La razón entre la sombra y la altura es constante. Llamando x a la altura de la pirámide, tenemos:
27/x=1'8/1'2
x=(27·1'2)/1'8=18 m

MECANIZACIÓN:
No es necesario esperar a que haga Sol para medir la altura de una pirámide, se puede construir un instrumento que haga el papel del rayo de Sol. Construimos un clinómetro con una tabla cuadrada de madera, un tubo que haga de visor y una plomada.

Con el visor vemos el vértice de la pirámide y nos fijamos en la plomada en que raya está. El triángulo ABC hace el papel del palo y su sombra, AB es la altura y BC la sombra. El lado BC ya se considera medido y en la regla graduada leemos AB. Luego medimos la distancia desde el punto de observación perpendicular a la base de la pirámide (d) y el lado de la pirámide (s). La altura se obtiene contando con la altura del observador (h), con la fórmula siguiente:

altura=h+AB·(d+s/2)/BC

CONSOLIDACIÓN:
Si queremos medir una altura inaccesible con ayuda de triángulos rectángulos debemos de tener:
1) Un triángulo rectángulo en el que la altura corresponde a la altura buscada.
2) Un segundo triángulo rectángulo más pequeño al que podemos medir su base y su altura. Este triangulo tiene que ser semejante con el primero, es decir, los lados deben de ser paralelos, o bien, los ángulos iguales (se pueden superponer en un vértice que no sea el del ángulo recto).

3) Como los lados son proporcionales, establecemos la proporción:

base1/base2=altura1/altura2

4) Despejando la altura1 tenemos:

altura1=base1·altura2/base2

sustituyendo los datos conocidos nos permite obtener la altura buscada.

EVALUACIÓN:

La unidades en las que se midan las distancias pueden ser distintas para el triángulo menor y para el mayor. Supongamos que la base1 son 14m y la base2=23cm y la altura2=15cm, entonces, por la proporción debe de salir una altura de menos de 14m:

14m/23cm=x/15cm

x=14m·15cm/23cm

los centímetros se cancelan y queda

x=210m/23=9'13m

Medir el diámetro del Sol

Vamos a medir el diámetro del Sol con un experimento casero. Cojamos un tubo de papel, el interior del rollo de papel de cocina, por ejemplo, lo tapamos con papel platina por un lado y con papel cebolla por el otro. Hacemos un pequeño agujero en el papel platina, lo dirigimos al Sol y vemos el círculo amarillo que aparece en la parte del papel cebolla.

Tenemos una homotecia inversa con el centro P en la parte exterior del tubo. Medimos el ancho del agujero AB, y el diámetro de la imágen homotética del Sol, C'D'. Los triángulos PC'D', PCD y PAB son semejantes. Llamando x a la distancia entre el tubo y el centro P, se cumple:

(s+x)/C'D'=x/AB=m/CD

Debemos asumir como valor aproximado de m=149.600.000 km, y medir el agujero AB, la imagen C'D' y la longitud s. Primero se calcula x y después el diámetro CD. Se espera obtener un valor aproximado del diámetro de 1.392.000 km

Construir la ecuación y resolver

Resolver la ecuación teniendo en cuenta que el contenido de cada bola es la suma de los contenidos de la bola superior y de la izquierda.

Una triecuación

Resolver la ecuación en la pirámide numérica. La regla es que la suma de los valores de los dos círculos inferiores da el superior.

Se incorpora la novedad de la construcción de la ecuación.

La base es 2x, 11, -6
La segunda fila es 2x+11, 5
El vértice queda 2x+16=x+1
de aquí se deduce que x=-15

La pirámide queda entonces:
-14
-19, 5
-30, 11, -6

Unidad didáctica: Adivina el número que piensa Juan

Motivación
Juan piensa un número entre 1 y 10, le suma 5, al resultado lo multiplica por 3, y, al resultado le resta 4. Al final le da 23, ¿cuál es el número que pensó?
Desde el resultado hay que ir viendo las operaciones realizadas para averiguar el número.

Experimentación
Si el número pensado está entre 1 y 10 empezamos por probar el 5:
5+5=10
3·10=30
30-4=26
Como da un valor por encima del esperado, probamos con el 4:
4+5=9
3·9=27
27-4=23
El número pensado es el 4.

Conceptualización
Si el número tuviese un rango mayor sería más complicado llegar por tanteo.
Si x es el número pensado escribimos las expresiones algebraicas que representan las operaciones sin tener los resultados intermedios, solo el final:
x+5
3(x+5)
3(x+5)-4=23
Obtenemos una ecuación que hay que resolver volviendo para atrás
23+4=27
27/3=9
9-5=4

Procesamiento
Ahora resolver la ecuación es deshacer el camino pero es más fácil desde la expresión algebraica.
Si lo último fue restar 4, pues sumamos 4 en ambas partes,
3(x+5)-4+4=23+4
3(x+5)=27              (el 4 que está restando en la primera parte pasa sumando a la segunda)
El paso anterior fue multiplicar por 3, entonces dividimos por 3 en ambos lados,
(3(x+5))/3=27/3
x+5=9                    (el 3 que está multiplicando en la primera parte pasa dividiendo a la segunda)
Por último, como sumamos 5 entonces restamos esa cantidad,
x+5-5=9-5
x=4                        (el 5 que está sumando en la primera parte pasa restando a la segunda)

Mecanización
Si queremos hacer independiente el proceso de las operaciones iniciales que construyeron la ecuación podemos eliminar los paréntesis por la propiedad distributiva:
3(x+5)-4=23
3x+15-4=23
Simplificamos haciendo la resta
3x+11=23
El 11 que está sumando pasa restando
3x=23-11
Simplificamos haciendo la resta
3x=12
Y el 3 que multiplica a x pasa dividiendo
x=12/4
Simplificamos haciendo la división
x=4

Consolidación
Para resolver una ecuación de primer grado como la anterior debemos de aislar la x en el primer miembro de la misma, siguiendo los siguientes pasos:
1) Primero quitamos los paréntesis
3x+15-4=23
2) Las expresiones en x se ponen en la primera parte y los números en la segunda, cambiando las sumas y las restas por restas y sumas, respectivamente
3x=23-15+4
3) Se simplifican los términos en x y los números
3x=12
4) Se despeja x pasando el coeficiente al segundo miembro con la operación inversa
x=4

Evaluación
Comprobamos que x=4 es la solución
3(4+5)-4=3·9-4=27-4=23

Unidad didáctica: Evaluar la calidad de vida en la ciudad

MOTIVACIÓN:

Los primeros habitantes inicialmente estaban establecidos en poblaciones  rurales que tenían como medio de vida la agricultura, y, con el paso del tiempo, se fueron agrupando en torno a poblaciones cada vez más numerosas y más grandes.

Las primeras ciudades del mundo surgieron en donde es hoy Irak, en las planicies mesopotámicas cerca de las márgenes de los ríos Tigre y Eufrates. La primera ciudad en llegar al millón de habitantes fue Roma en el año 5 de nuestra era y la población total del planeta era de 170 millones.

La rápida urbanización del mundo ocurre en el período después de la II Guerra Mundial. Desde entonces, la urbanización en los países desarrollados se caracterizó por el surgimiento de una cantidad de ciudades de tamaño mediano. Las capitales de los países desarrollados han funcionado como imanes para la emigración y para las oportunidades de empleo. El desarrollo de mega ciudades es un fenómeno relativamente reciente. Nueva York ha sido la primera mega ciudad en las Américas con más de 10 millones de personas. Esta situación plantea interrogantes sobre la sostenibilidad de esta forma de vida y en general sobre los límites de la población humana.

Vamos a evaluar con ayuda de las matemáticas la calidad de vida de nuestra ciudad y su zona de influencia.

EXPERIMENTACIÓN:

Las ciudades ofrecen ventajas, pero también  inconvenientes, suele haber problemas de transporte, vivienda, abastecimiento, medioambientales y sociales, que aumentan con el incremento poblacional. 

Vamos a considerar la ciudad dividida en tres zonas, A, B y C, que correspondan a sectores homogéneos con peculiaridades similares. Por ejemplo A=centro, B=barrios alrededor y C=periferia.

Se establece una puntuación de 0 a 10 (de nada a mucho) sobre la importancia que tienen los problemas antes enumerados. Este punto requiere que se debata con información suficiente sobre los problemas y se promedien las distintas valoraciones entre todos los que participen. Se hace la tabla de valoración como la del ejemplo:

GRADOS DE IMPORTANCIA QUE OTORGAMOS A LOS PROBLEMAS (puntúa de 0 a 10)
Tipo de problemas	EJEMPLOS	zona A	zona B	zona C
Transporte	Tráfico denso, transporte público deficitario, falta de aparcamientos,...	6	4	2
Vivienda	Alquileres caros, primera vivienda cara, barrios con pocas infraestructuras, infraviviendas, densidad alta,  ....	8	5	3
Abastecimiento y equipamiento	Falta de mercados, lugares de ocio y cultura escasos, centros de sanitarios insuficientes, ...	4	5	7
Medioambientales	Pocos parques, contaminación, focos de infección, ....	6	8	2
Sociales	Convivencia difícil, marginalidad, pandillas de barrio, falta de vigilancia, pocos centros sociales, ...	4	8	4

CONCEPTUALIZACIÓN

Para medir la calidad de vida hay que establecer un índice que tenga en cuenta las puntuaciones que hemos puesto para cada zona y también la población de hay en cada una de ellas. Se ha puntuado la problemática en cada zona, ahora se puede calcular la media de los valores:

Zona A => vma=28/5

Zona B => vmb=30/5

Zona C => vmc=18/5

Ahora, la problemática de la Zona A afecta a un porcentaje de la población, pa, la de B a pb y la de C a pc. Podemos suponer que la distribución de la población es:

Zona A => pa=35%

Zona B => pb=29%

Zona C => pc=36%

El índice de calidad se puede establecer como un reparto de la importancia de los problemas proporcional a la distribución de la población:

IC=vma*pa+vmb*pb+vmc*pc

Es un valor entre 0 y 10. En el ejemplo se tiene que IC=4,996

PROCESAMIENTO

Las diferentes contribuciones de cada zona se pueden calcular de la siguiente manera:
Si no hubiese problemas cada zona tendría un vm=0, entonces vma*pa=vmb*pb=vmc*pc=0. Si todo fuesen problemas cada vm=10, y en este caso vma*pa=3,5, vmb*pb=2,9 y vmc*pc=3,6. La Zona A contribuye con vma*pa=1,96, la B con vmb*pb=1,74, y la C con vmc*pc=1,296. Entonces la Zona A aporta 1,96/3,5=56%, la B, 1,74/2,9=60%, y la C, 1,296/3,6=36%. Se puede decir que la Zona B aporta mayor parte de su posible problemática, después la Zona A y, finalmente, la Zona C. Porcentualmente está peor la Zona B, después la A y finalmente la C.
La ciudad tiene un porcentaje de problemática de 4,996/10=49,96%.

MECANIZACIÓN

Se puede medir la calidad calculando el porcentaje de problemática que hay sobre la máxima que puede haber. En cada zona el valor máximo es sobre 10.

ICmax=10*p, 

siendo p el porcentaje de población.
Entonces la calidad de la zona, teniendo en cuenta que IC=vm*p, es:

C=IC/ICmax*100

Para toda la ciudad el valor máximo es 10, entonces el resultado final para la calidad de toda la ciudad es:

Cfinal=Suma(IC)/10*100

Nótese que la calidad final no se puede obtener como la suma de las calidades de cada zona puesto que estas están calculadas sobre sus máximas posibilidades.

CONSOLIDACIÓN

ZONA	VALORACIÓN PROBLEMAS vm	POBLACIÓN % p	IC IC=vm*p	IC MAXIMA ICmax=10*p	CALIDAD % IC/ICmax
A	28/5	35%	1,96	3,5	56%
B	30/5	29%	1,74	2,9	60%
C	18/5	36%	1,296	3,6	36%
TOTAL	76/5	100%	4,996	10	49,96%

EVALUACIÓN

Finalmente se puede establecer un criterio para calificar la calidad según el valor de I obtenido. Por ejemplo:

Calificación con C=IC/ICmax en %

a) Si C=IC/ICmax pertenece a [0,30) , es una ciudad con buena calidad al haber poca problemática b) Si C=IC/ICmax pertenece a [30,60), es una ciudad con una regular calidad de vida, al haber problemas por resolver c) Si C=IC/ICmax pertenece a [60,100), es una ciudad con mala calidad de vida por haber muchos problemas por resolver

Se puede graduar más la escala y también esta calificación puede servir para tomar medidas para los planes políticos de mejora y comprobar, cuando se apliquen, si son efectivos o no.

Ecuaciones e identidades

Una igualdad entre expresiones algebraicas es una relación del tipo A=B, siendo A y B expresiones algebraicas que en principio podemos suponer dependientes de la variable x, A(x) y B(x). Por ejemplo 3x-4=(7x^2+3)/4.

La cuestión es que la igualdad puede ser cierta para todo x, en cuyo caso tenemos una identidad, o para algunos valores de x, en cuyo caso tenemos una ecuación. Pero también puede que no sea cierta para ningún valor de x, en cuyo caso, es una igualdad falsa. Las identidades se usan para definir las propiedades algebraicas fundamentalmente, por ejemplo la distributividad, 3(x+2)=3x+6. Si intentamos resolver una identidad como una ecuación llegamos a la expresión 0=0. En este caso concluiríamos que la posible ecuación tiene infinitas soluciones. Si intentamos resolver una igualdad falsa como una ecuación, por ejemplo 3x+5=3x-8, llegamos a un absurdo numérico, como en el ejemplo anterior nos daría 5=-8. También puede ocurrir que tengamos ecuaciones que no podamos decidir si tiene o no solución, porque no tenemos método para resolverla, o bien, puede ocurrir que en un campo numérico no tengamos solución pero en otro sí, por ejemplo x+3=0, no tiene solución para los naturales pero sí para los enteros.
Para resolver una ecuación A(x)=B(x), lo que haríamos es utilizar identidades que sustituyan ambas partes por expresiones cada vez más simples, A1(x)=B1(x), siendo A(x)=A1(x) y B(x)=B1(x) identidades; y quitarmos finalmente dos expresiones idénticas en ambas partes, A1(x)-A2(x)=B1(x)-B2(x), siendo A2(x)=B2(x) una identidad, de forma que nos quede la igualdad simple x=a.
Por ejemplo:
3(x-4)+7=4(x-2)
Usamos las identidades 3(x-4)=3x-12 y 4(x-2)=4x-8 para sustituir y tenemos,
3x-12=4x-8
Restamos la identidad 3x-8=3x-8 en ambas partes y tenemos,
-4=x, o bien, x=-4

Unidad didáctica: Poner un suelo

Motivación:

Bricolaje Decoración

Una habitación cuadrada de 36 m² se va a recubrir usando losas cuadradas de 1.60 m² cada una (las medidas son aproximativas a escala de centésimas). ¿Cuántas losas se necesitan?

Experimentación:
Empezamos a poner losas:

2 losas: 36-2·1.6=36-3.2=32.8 m²  faltan por cubrir
3 losas: 36-3·1.6=36-4.8=31.2 m²  faltan por cubrir
...............................
10 losas: 36-10·1.6=36-16=20 m²  faltan por cubrir
..............................
20 losas: 36-20·1.6=36-32=4 m²  faltan por cubrir
.............................
23 losas: 36-23·1.6=-0.8 m²  sobran

Conceptualización:
Como la habitación es cuadrada y las losas también los son, formamos grupos de losas que sean cuadrados perfectos:

1 losa (1x1): 36-1.6=34.4 m² faltan por cubrir
4 losas (2x2): 36-1.6·4=36-6.4= 29.6 m²
..............................
16 losas (4x4): 36-1.6·16=36-25.6=10.4 m²
Los 10.4 m² que faltan hay que rellenarlos de otra forma, hay que partir losas.

Procesamiento:
16 losas son un cuadrado de 4x4 losas. La habitación tiene de lado 6 m y cada losa la raíz de 1.6, aproximadamente 1.2 m si hacemos un redondeo inferior (perdiendo unos 0.06 m=6 cm). Entonces, las cuatro losas son 4·1.2=4.8 m, cabe otra losa rebajando un poco, 5·1.2=6. Entonces el total de losas será 16+4+4+1=25. Si hacemos esto añadimos 2 losas más. Si corregimos el redondeo con dos cifras, el lado es 1.25 m, 4·1.25=5 m. Hay que recortar las últimas para hacer 8 cuadrados de 1x1, y con lo que sobra se ahorra una losa si usamos los recortes para hacer la última. Aún así son 24 y el resultado queda poco estético.

Mecanización:
Asumimos que las losas son de 1.25 m de lado, por tanto con cuatro losas por lado son 5 m y falta 1 m para los 6 m. Si partimos las losas grandes en losas cuadradas más pequeñas, pero lo más grandes posible, tienen que tener de lado un divisor de 100 cm y de 125 cm, es el máximo común divisor de ambos números:
mcd(100,125)=25
Las losas grandes se cortan en losas cuadradas de 0.25 m de lado y cada losa da 25 losas cuadradas más pequeñas de 0.0625  m²  . Para rellenar todo el espacio se necesitan 36:0.0625=576, 576:25=23.04 losas, serían por tanto 24 losas. Aunque se podría ajustar para obtener las 23 losas, cabe pensar que no es posible en la práctica obtener precisión de milímetros para hacer cortes.

Consolidación:
Ante el problema de recubrir una habitación cuadrada (de lado L en m) usando losas cuadradas (de lado l en m) de forma que obtengamos un resultado estético, procederemos de la siguiente manera:
1º) Dividir L² entre l², si no es exacta tomar el redondeo superior como primera aproximación del número de losas. Si es exacta, el cociente es el resultado buscado.
2º) Dividir L entre l, tomar el cociente entero, ci=Ent(L/l). El número de losas máximo es ci·ci+2ci+1.
3º) Si es posible dividir en cuadrados más pequeños las losas cuadradas y el recubrimiento es aceptable usando el máximo tamaño posible, calcular en cm el mcd(l , L-ci·l)=d.  Hay que cortar las losas en cuadrados de lado d cm. El número de losas pequeñas que salen de una grande es l²:d²=n, con l en cm
4º) El número final de losas grandes es el redondeo superior de (L²:d²):n, o sea, Ent(L²/l²)+1

Evaluación:
¿En qué casos se debe de dividir la losa en cuadrados y en qué casos es suficiente con rebajar la última fila y columna?
Si hay que dividir la losa en cuadrados más pequeños de lado d, este valor debe de ser suficientemente grande para que no queden losas demasiado pequeñas. Pero si hay que rebajar la última fila y columna debe de quedar suficientemente recortado para que no quede mal.
El número de losas necesarias N siempre cumplirá:

[Ent(L/l)]²<=N<=[Ent(L/l)+1]²

[Ent(L/l)]²<=Ent(L²/l²)+1<=[Ent(L/l)+1]²

Problemas cotidianos - el tráfico

Otra de las fuentes habituales de problemas matemáticos está en el tráfico de las ciudades. Para un ciudadano que está acostumbrado a circular por la ciudad siguiendo una misma ruta, puede encontrarse un día con que el trayecto habitual está cortado, que están realizando un determinado evento que impide pasar por un tramo del trayecto, entonces, ¿cómo buscar un nuevo trayecto óptimo?.

Por ejemplo, consideremos un segmento del plano de la ciudad, con sus direcciones, como el de la figura siguiente:

Si el conductor tiene que ir de A a F y está cortado el tramo BF, ¿qué trayecto debe seguir que le lleve el menor tiempo posible?.

Problemas de la vida cotidiana

¿Qué problemas matemáticos podemos tener en el día a día?

http://motor.terra.es/addon/img/1f2898parking_598p.jpg

Por ejemplo, todos podemos recordar haber escuchado a alguien decir que se había perdido al ir a recoger el coche en el aparcamiento del centro comercial (CC). ¿Podemos usar las matemáticas para encontrar el coche en el aparcamiento?. Normalmente hay dos indicativos, el número de plaza y el color de la plaza. El número podemos olvidarlo y el color también, podemos no habernos fijado suficientemente en él. También tenemos toda una serie de pistas que podrían ayudar, desde un coche próximo que nos llamó la atención hasta un cartel que había cerca y que anunciaba determinado producto. En última instancia tenemos información de por dónde estamos entrando en el aparcamiento y, tal vez, por dónde entramos en el centro comercial desde el garaje.
Supongamos que en un aparcamiento de un CC hay 4 plantas de garaje, cada una con 100 plazas de aparcamiento. La primera es azul (0-99), la segunda en verde (100-199), la tercera roja (200-299) y la cuarta amarilla (300-399). Una persona no sabe dónde dejo su coche, recuerda que el color era azul o verde y que su plaza acababa en 8, ¿qué estrategia debe seguir para buscarlo?

En principio tiene dos plantas donde buscar, la azul y la verde, en total 200 plazas. Dentro de ellas, que terminen en 8 hay 10 para la azul y 10 para la verde, por tanto tiene que buscar como mucho 20 opciones de un total de 200. Es el 10% de las plazas de las dos plantas, que es el 5% de las plazas de todo el garaje. Si durante la búsqueda alguna pista nos reafirma en el color de la planta, optimizamos la búsqueda buscando en una sola planta, reduciendo así las opciones a buscar en el 2'5% del total de plazas del aparcamiento. Si otra pista nos permite dividir la planta en dos mitades y buscar solo en una de ellas, pasaríamos al 1'25%, y así sucesivamente hasta llegar al 0%. Es la estrategia de dividir y vencer.

Motivaciones para aprender matemáticas

La motivación tiene que ver con la posibilidad de hacer real lo deseado.  Hace siglos, cuando las sociedades eran agrícolas, las matemáticas tenían aplicaciones prácticas que estaban al alcance de muchos de los ciudadanos como por ejemplo medir una superficie de terreno, calcular la cantidad de semillas necesarias para hacer la siembra, diseñar canales de regadío, hacer molinos para aprovechar la fuerza del aire o del agua,... Hoy en día la sociedad es más sofisticada, la mayoría de los habitantes viven en las ciudades, manejan intuitivamente mucha tecnología pero solo como usuarios sin comprender ningún fundamento, es una sociedad de consumo en la que lo que se estropea se cambia por otro aparato nuevo y normalmente no hay mucha necesidad de crear algo nuevo. Los trabajadores altamente cualificados y profesionales universitarios sí necesitan conocimientos matemáticos para dominar sus profesiones. También es cierto que mucha de la información que hay en la prensa está en términos cada vez más matemáticos, sobre todo estadísticos, lo que ayuda a mejorar el nivel de formación matemática de los ciudadanos. En general, podemos decir que para el ciudadano medio no hay muchas posibilidades de plantearle problemas matemáticos reales que le haga motivarse en el reto de resolverlos con la consiguiente satisfacción de conseguirlo y, por tanto, desarrollar el gusto de aprender.

Unidad Didáctica: La ecuación de 2º grado

«El hombre, dicen, es un animal racional. No sé por qué no se haya dicho que es un animal afectivo o sentimental. Y acaso lo que de los demás animales le diferencia sea más el sentimiento que no la razón. Más veces he visto razonar a un gato que no reír o llorar. Acaso llore o ría por dentro, pero por dentro acaso también el cangrejo resuelva ecuaciones de segundo grado.» Unamuno, Del sentimiento trágico de la vida

UNIDAD DIDÁCTICA: La ecuación de 2º grado 


(MOTIVACIÓN)
Juan tiene una parcela de terreno rectangular de 6m de largo por 5m de ancho, limitada por la parcela de Antonio como se ve en el gráfico. Juan necesita tener una parcela cuadrada por lo que acuerda con Antonio el recortar el largo de su parcela dándosela a Antonio y aumentar la misma superficie al ancho con el terreno que a cambio le de éste, de tal forma que consiga una parcela cuadrada. ¿Cuánto deben de recortar al largo y aumentar al ancho para que intercambien los mismos metros cuadrados?

Puesto que la parcela final es cuadrada: 
6-x=5+y,  y=1-x
Puesto que los terrenos intercambiados tienen el mismo área:
5x=(6-x)y, 5x=(6-x)(1-x), 5x=6-6x-x+x², x²-12x+6=0
Necesitamos resolver una ecuación de segundo grado.

(EXPERIMENTACIÓN)
En el caso concreto del problema podemos ir quitando poco a poco al largo del rectángulo y probamos si puede ser el ancho igual para formar el cuadrado comprobando si el área es 30.
x=0.1, largo=5.9, ancho=5.9, 5.9·5.9=34.81>30
x=0.2, largo=5.8, ancho=5.8, 5.8·5.8=33.64>30
x=0.3, largo=5.7, ancho=5.7, 5.7·5.7=32.49>30
x=0.4, largo=5.6, ancho=5.6, 5.6·5.6=31.36>30
x=0.5, largo=5.5, ancho=5.5, 5.5·5.5=30.25>30
x=0.6, largo=5.4, ancho=5.4, 5.4·5.4=29.16<30
La solución es un cuadrado cuyo lado está entre 5.4m y 5.5m

(CONCEPTUALIZACIÓN)
Si hemos recortado x en el largo entonces tenemos un cuadrado de lado 6-x, cuyo área tiene que ser 5·6=30, entonces la ecuación es:
(6-x)²=5·6, que despejando el cuadrado da:
6-x=(+/-)raíz(5·6), esto es, la media geométrica de los lados del rectángulo.
x=6(+/-)raíz(5·6), y=-5(+/-)raíz(5·6)

(PROCESAMIENTO)
Para resolver la ecuación x²-12x+6=0 hay que convertir esta en un cuadrado perfecto y pasar la parte numérica sobrante al segundo miembro.
x²-12x+6=x²-2·6x+36-30=(x-6)²-30=0
(x-6)²=30, x=6(+/-)raíz(30)

(MECANIZACIÓN)
Si consideramos los coeficientes como datos podemos obtener la fórmula que permite encontrar las soluciones:
a=1, b=-12, c=6
x²+bx+c=0
(x+b/2)²-(b/2)²+c=0
x+b/2=(+/-)raíz[((b/2)²-c]
x=-b/2(+/-)raíz[((b/2)²-c]
x=[-b(+/-)raíz[b²-4c]]/2
x=[12(+/-)raíz[144-24]]/2=(+/-)0.522.....
Si a es distinto de 1 se divide la ecuación por a, 
ax²+bx+c=0
x²+b/ax+c/a=0 y sustituyendo en la fórmula anterior se tiene la fórmula cuadrática general
x=[-b(+/-)raíz[b²-4ac]]/(2a)

(CONSOLIDACIÓN)
Entonces ante una ecuación de segundo grado ax²+bx+c=0 para resolverla hemos seguido el método de completar cuadrados:
Por ejemplo 2x²-6x-10=0
1) Dividimos la ecuación por el coeficiente a, en este caso 2
(2x²-6x-10=0):2---->x²-3x-5=0
2)  Cambiamos el coeficiente de x multiplicando y dividiendo por 2
x²-2(3/2)x-5=0
3) Sumamos y restamos el cuadrado del número que está multiplicado por 2 en el coeficiente de x
x²-2(3/2)x+(3/2)²-(3/2)²-5=0
4) Expresamos el cuadrado del binomio con los tres primeros términos y simplificamos los últimos y lo pasamos al segundo miembro
(x-(3/2))² =29/4
5) Despejamos el cuadrado
x=(3/2)(+/-)raíz(29/2)

(EVALUACIÓN)
Se ha encontrado un método general que resuelve cualquier ecuación de segundo grado. En la práctica se utiliza la fórmula cuadrática con los coeficientes a, b y c de la ecuación. Como la solución depende de la raíz, si el radicando es negativo no hay solución real. Si llamamos discriminante al radicando D=b²-4ac, tenemos el siguiente criterio sobre la existencia de soluciones:
Si D=0 hay una sola solución que se dice doble
SI D<0 no hay solución real
Si D>0 hay dos soluciones reales y distintas
Lo que se necesita es ampliar el dominio de los números reales para que siempre exista solución.

El ciclo de aprendizaje 2

Cada fase del ciclo utiliza un aspecto de las matematicas, así:

MOTIVACIÓN --> RELACIONES
EXPERIMENTACIÓN --> CÁLCULOS
CONCEPTUALIZACIÓN--> PROPIEDADES
PROCESAMIENTO --> FUNCIONES
MECANIZACIÓN --> FÓRMULAS
CONSOLIDACIÓN --> MÉTODOS
EVALUACIÓN --> CRITERIOS

La desigualdad triangular, un criterio

La desigualdad triangular es un criterio que dice que en cualquier triángulo la suma de dos de sus lados es mayor o igual que el tercero.

a+b>=c

Es evidente, si suponemos que los vértices A, B y C son pueblos de un mapa, y los lados, a, b y c, son carreteras rectas entre los pueblos, comprendemos que ir de A a B recorriendo c km es más corto que ir primero de A a C, recorriendo b km, y, luego, de C a B, recorriendo a km.

Es un criterio porque sirve para comprobar si es posible tener un triángulo con determinadas dimensiones de sus lados. Por ejemplo, un triángulo cuyos lados sean a=6, b=3, c=2, no puede existir porque 3+2<6. Sin embargo un triángulo con a=7, b=5, c=10, sí existe porque en cualquier combinación que hagamos se cumple la desigualdad triangular:

7+5>=10; 7+10>=5; 5+10>=7

Un viaje algebraico en guagua

Suponemos la linea 1 de guaguas de la ciudad que va de A a E, parando en B, C y D (simplificando). La línea es de ida y vuelta, cuando llega a E vuelve hacia A parando en los mismos puntos. Un pasajero no tiene por qué bajarse en el principio o final de línea, puede continuar. Tenemos las siguientes operaciones que puede hacer un pasajero que sube a la guagua:

1. Subir en una parada y bajar en otra. Si x son las paradas que recorre, entonces está garantizado que acaba en una parada
2. También puede no subir cuando llega la guagua. Sería la operación nula.
3. Si va de un punto a otro, puede tomar la de vuelta y retornar al punto de partida. Si recorre x paradas, al recorrer las mismas en sentido opuesto, -x, vuelve al mismo sitio.
4. Puede asociar de distintas formas tres trayectos consecutivos llegando siempre al mismo punto. Si recorre primero x paradas, después y, y después z, el resultado final es el mismo contabilizado como (x+y)+z=x+(y+z)
5. El recorrido es conmutativo. Si recorre primero x paradas y luego y paradas, es lo mismo que si recorre primero y paradas y después x, x+y=y+x.

Estamos ante una estructura de grupo conmutativo.