miércoles, 15 de abril de 2015

UNIDAD DIDÁCTICA: PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA

ORIENTACIÓN
En el tratamiento de imágenes es frecuente la necesidad de hacer un zoom de las mismas aumentando o disminuyendo su tamaño de manera que se mantenga la forma (por ejemplo las fotocopias ampliadas o reduccidas). La figura que se obtiene se dice que es semejante a la original.
Observa en la imagen las figuras semejantes obtenidas por ampliación o por reducción


EXPERIMENTACIÓN
Si tenemos una fotografía de forma rectangular, si un lado aumenta en una proporción el otro también debe de aumentar en la misma proporción, sino la figura resultante no mantiene la forma.



CONCEPTUALIZACIÓN
De forma más simple consideremos que las figuras son triángulos. Supongamos que dos triángulos son semejantes entonces los lados de uno se han transformado en los correspondientes homólogos del otro. Se tiene que cumplir que la razón de aumento o disminución de cada uno con su homólogo tiene que ser la misma (fig.1). Es decir, en los dos triángulos semejantes los tres lados son proporcionales.
Hay una propiedad geométrica que cumplen los triángulos semejantes: si se superponen los triángulos adquieren una configuración, denominada, de Thales, en la que dos lados están en linea y el tercero es paralelo (fig.2). Esto significa que dos triángulos semejantes tienen los tres ángulos iguales.
fig. 1
fig. 2
PROCESAMIENTO
Vamos a fijar estas ideas para lograr llegar a ver los triángulos semejantes en determinados casos. Haz un esfuerzo por visualizar la semejanza.

1) Indica, explicando el motivo, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. A)  El triángulo de lados 3, 5 y 7 cm es semejante a otro de lados 7,5; 12,5 y 16,8 cm.  B) Dos triángulos rectángulos son siempre semejantes. C) Dos triángulos rectángulos isósceles son siempre semejantes. D) En  dos  triángulos  semejantes,  la  razón  de  dos  alturas  correspondientes  es  igual  a  la  razón  de semejanza. E) Dos triángulos equiláteros son siempre semejantes.

MECANIZACIÓN
Entonces cuando tenemos triángulos semejantes la razón entre lados homólogos es la misma. Se puede comprobar también geométricamente si son semejantes viendo si los ángulos son iguales.


Con ayuda de la semejanza de triángulos se pueden hacer medidas de longitudes a las que no podemos acceder. Se trata de encontrar triángulos semejantes comprobando la igualdad de los ángulos y utilizar la igualdad de la razón de semejanza de los lados homólogos.

1) Entre  Sergio,  de  152  cm  de  altura,  y  un  árbol,  hay  un  pequeño  charco  en  el  que  se refleja su copa. Calcula la altura de dicho árbol sabiendo que las distancias que separan a Sergio del lugar de reflejo en el charco y del árbol son de 3,2 m y 10,7 m, respectivamente.

2) Una  torre  mide  100  m  de  altura.  En  un  determinado  momento  del  día,  una  vara vertical de 40 cm arroja una sombra de 60 cm. ¿Cuánto medirá la sombra proyectada en ese instante por la torre?


En la práctica la semejanza también se utiliza en las escalas de los mapas y planos. Un mapa es semejante a la realidad y la escala es la razón de semejanza. Si un mapa está en escala 1:1000 significa que una longitud L entre dos puntos representa en la realidad una longitud L’ , cumpliéndose que L/L’=1/1000, o sea, L’=1000·L

1) Lorena  presenta  este  plano  de  su  cocina  junto  con  el  tendedero  a  una  empresa  de reformas. ¿De qué superficie dispondrá si decide unir la cocina y el tendedero?

2) En un mapa, de escala 1:250 000, la distancia entre dos pueblos es de 1,3 cm. A)  ¿Cuál es la distancia real entre ambos pueblos? B)  ¿Cuál sería la distancia en ese mapa, entre otros dos pueblos que en la realidad distan 15 km?

CONSOLIDACIÓN
El nivel siguiente es la proporcionalidad entre áreas de figuras planas semejantes y volúmenes de figuras tridimensionales semejantes. Es fácil ver que cuando las figuras planas son semejantes la razón de proporcionalidad entre las áreas es el cuadrado de la razón de proporcionalidad entre longitudes. Si se trata de comparar volúmenes de figuras tridimensionales semejantes, la razón ahora es el cubo de la razón lineal.

1) Un arquitecto ha hecho una maqueta a escala 1:100 de un edificio destinado a oficinas, con forma de cubo cuya arista mide 70 m. Calcula la superficie de la planta y el volumen que el edificio tendrá en la maqueta.

2) Los lados de dos pentágonos regulares miden 7 cm y 5 cm, respectivamente. ¿Son semejantes? En caso afirmativo calcula la razón de semejanza entre sus áreas.

3) Un rectángulo tiene dimensiones 3 cm x 6 cm. Calcula el área y las dimensiones de otro rectángulo semejante a él, sabiendo que la razón entre sus áreas es de 9/4.

4) Una lata cilíndrica de fabada, que se anuncia para dos raciones, tiene un radio de 5 cm y una al tura de 15 cm. Otra lata de tamaño familiar, semejante a la anterior se anuncia para 6 personas. ¿Qué volumen y qué dimensiones deberá tener? ¿Qué relación existe entre las superficies de hojalata de una y otra lata?

5) En los muelles del Sena, en París, venden reproducciones de la Torre Eiffel que pesan 1,5 Kg y están elaboradas con el mismo material que la auténtica. Un folleto turístico indica que la Torre tiene 321 m de altura y pesa 7 millones de kilos. ¿Cuánto medirá la altura de la reproducción?



EVALUACIÓN
La clave está en utilizar dos figuras semejantes y establecer la proporción entre longitudes homólogas. Ahora con ayuda de los ejercicios anteriores ya te has formado un criterio de cómo abordar los siguientes problemas.
1) En una fotografía, María y Fernando miden 2,5 cm y 2,7 cm, respectivamente; en la realidad, María tiene una altura de 167,5 cm. ¿A qué escala está hecha la foto? ¿Qué altura tiene Fernando en la realidad?

2) Marcos ha realizado este plano de su habitación a escala 1:50. Calcula el área de la habitación y las dimensiones de la cama.
3) En un mapa, dos poblaciones aparecen separadas 7,5 cm. ¿Cuál será la escala de ese mapa si la distancia real entre ambas poblaciones es de 153 km? En ese mismo mapa, ¿cuál sería la distancia real entre dos poblaciones que distan 12,25 cm?

4) Una piscina tiene 2,3 m de ancho; situándonos a 116 cm del borde, desde una altura de 1,74 m, observamos que la visual une el borde de la piscina con la línea del fondo. ¿Qué profundidad tiene la piscina?
5) Calcula la altura de una casa sabiendo que en un determinado momento del día proyecta una sombra de 3,5 m y una persona que mide 1,87 m tiene, en ese mismo instante, una sombra de 85 cm.
6) En un triángulo rectángulo se inscribe un rectángulo cuya base es dos veces su altura. Los catetos del triángulo miden 5 cm y 7 cm, respectivamente. Calcula las dimensiones del rectángulo.
7) Dos caminos paralelos se unen entre sí por dos puentes, que a su vez se cortan en el punto O. Teniendo en cuenta las medidas de la figura, calcula la longitud de los dos puentes.