Motivación
Juanito va a repartir 126 caramelos entre sus tres amigos, pero lo quiere hacer de forma directamente proporcional a sus edades, que son de 5, 6 y 7 años. Es decir, al más joven le va a dar menos, más al segundo y, al mayor más todavía. Pero se va a cumplir que lo que reparta a cada uno dividido por su edad es común para los tres.
Experimentación
Juanito entiende la proporcionalidad. Sabe sumar, restar y dividir. Si el reparto es proporcional, hay una constante de proporcionalidad que le sirve para repartir. Se cumple que si reparte A al primero, B al segundo, y C al tercero, entonces A/5=B/6==C/7=constante. O sea, A=5·constante, B=6·constante, C=7·constante
Si la constante es 2 repartirá 2·5=10 al primero, 2·6=12 al segundo, y 2·7=14 al tercero, así reparte 10+12+1=36, pero aún le quedan 126-36= 90 por repartir. Hay que encontrar la constante repartiendo todo lo posible.
Conceptualización
Multiplicar por 5, 6 y 7, con distintas constantes e ir sumando hasta alcanzar los 124 caramelos o no pueda hacerlo más.
Procesamiento
5·2=10; 6·2=12; 7·2=14; 10+12+14= 36<126
5·3=15; 6·3=18; 7·3=21; 15+18+21= 54<126
.....................................
5·6=30; 6·6=36;7·6=42; 30+36+42=108<126
5·7=35; 6·7=42;7·7=49; 35+42+49= 126=126
Entonces la constante es 7, se reparten 35, 42 y 49 respectivamente a las edades de 5, 6 y 7 años.
Mecanización
Sumar las edades
5+6+7=18
Hacer la división entera entre el total y la suma
126:18=7
Esta es la constante de proporcionalidad porque: 5·c+6·c+7·c=(5+6+7)·c=18·c=126
de aquí que c=126:18
Consolidación
Supongamos 300 caramelos a dividir de forma directa mente proporcional a las edades de 10, 15 y 18 años.
a) Sumar las edades: 10+15+18=43
b) Dividir (entera) el total entre la suma: 300:43=6
c) Multiplicar por cada una de las edades el resultado: 10·6=60; 15·6=90; 18·6=108
d) Sumar los resultados: 60+90+108=258
e) Restar esta cantidad del total: 300-258=42
Evaluación
Comprobar que lo que sobra es menor que la suma de las edades
42<43
Comprobar que lo que resta de la división del total entre la suma de las edades coincide con lo que sobra al final del ultimo paso anterior
300=43·6+42
300=258+42
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