El infinito aleph0

El infinito es una herramienta importante a la hora de construir matemáticas.
Los número naturales empiezan en 1 y van aumentando de 1 en 1. ¿Pero, hasta cuando? Pues, hasta el infinito.

Definición axiomática de los números naturales:
a) El primer natural es el 1.
b) Cada número natural se obtiene del anterior (el llamado predecesor) sumándole 1 (obteniendo así el sucesor).

El sucesor de 1 es el 2, 2=1+1; el sucesor del 2 es el 3, 3=2+1;... así hasta infinitos números naturales. A este infinito, el cardinal del conjunto de los naturales, se le llama aleph₀.



Podemos tener una imagen de este número si ponemos un espejo paralelo enfrentado a otro.

Los números enteros contienen a los naturales, que coinciden con los enteros positivos, --luego ya habrá infinitos enteros--, pero también hay que tener en cuenta que hay otra parte que son los enteros negativos y el cero. ¿Esto quiere decir que hay más enteros que naturales?

Proposición:
Hay igual número de naturales que de enteros.
Demostración:
Se puede equiparar cada número natural con cada número entero de la siguiente forma: Al 1 natural le asignamos el 0 entero; al 2 natural le asignamos el 1 entero; al 3 natural le asignamos el -1 entero;...
1--->0
2--->1
3--->-1
4--->2
5--->-2
6--->3
7--->-3
............
de esta forma, salvo el 1 que va con el 0, todos los números pares de los naturales se equiparan con los enteros positivos y todos los números impares de los naturales se equiparan con los enteros negativos. Entonces los infinitos números naturales son la misma cantidad que los infinitos números enteros, tienen el mismo cardinal, aleph₀.

EL INFINITO