El euro es la unidad monetaria de la Unión Europea.
Si tenemos 20 euros y queremos repartirlos entre 5 personas
resulta fácil de hacerlo, toca a 4 euros por persona. En el caso de tener que repartir 1
euro entre dos personas, tendríamos que dar a cada uno la mitad, que se
representa por la moneda de 50 cents. Si el euro lo tenemos que dividir entre
4 personas podemos dar a cada uno una moneda de 20 cents y una de 5 cents.
Aún así no siempre podemos hacer un reparto justo con las partes del euro
disponibles, por ejemplo, resulta imposible repartir en partes iguales un
euro entre tres personas, puesto que al repartir tres monedas de 10 cents y tres de 1 cent a cada
uno nos queda una moneda de 1 cent que no podemos repartir entre tres, porque no hay monedas más pequeñas.
Si queremos dividir una unidad en partes iguales, para hacer por
ejemplo repartos, necesitamos una partición suficiente y una notación que nos permita hablar de esas
partes.
ACTIVIDAD 1:
La mitad del euro es la moneda de 50 cents. ¿Qué parte representa del euro cada una de las demás monedas existentes?
50 cents
la mitad de un euro
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20 cents
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10 cents
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5 cents
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2 cents
|
1 cent
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EXPERIMENTACIÓN: ¿Qué significado tienen la fracciones?
Podemos, de forma fácil, representar numéricamente una parte del total con una fracción cuando tenemos una partición regular. Las fracciones representan las partes de la unidad.
Podemos, de forma fácil, representar numéricamente una parte del total con una fracción cuando tenemos una partición regular. Las fracciones representan las partes de la unidad.
Si dividimos una unidad en 7 partes iguales y queremos cuantificar 4 de esas partes (color naranja), pues consideramos que representa las 4/7 partes de la unidad.
ACTIVIDAD 2: ¿Qué fracción se debe de emplear para representar la parte que corresponde a cada color en el cubo coloreado:
 |
| cubo coloreado |
ACTIVIDAD 3:
En los siguientes mosaicos cuantifica la parte coloreada de cada uno de ellos.
ACTIVIDAD 4: ¿Qué fracción utilizarías para representar la parte sombreada del conjunto suponiendo que el círculo es la unidad?
ACTIVIDAD 6: ¿Cómo escribir los números enteros como fracciones?
CONCEPTUALIZACIÓN: ¿Qué estructura tienen las fracciones?
Decimos que 6/18 es la fracción equivalente amplificada de 3/9 (nota que 2·3/2·9=6/18)
Decimos que 3/9 es la fracción equivalente simplificada de 6/18 (nota que 6:2/18:2=3/9)
Cuando las fracciones son equivalentes podemos escribir la igualdad entre las mismas, así: 3/9=6/18
Nótese que se pueden reconocer las fracciones equivalentes porque el producto cruzado coincide: 3·18=9·6
De un todas las fracciones equivalentes entre sí la más simplificada se llama fracción irreducible: 1/3=2/6=3/9=4/12=5/15=6/18=....
ACTIVIDAD 7: Obtener la fracción irreducible que representa la parte coloreada del gráfico y hacer una comprobación gráfica de la equivalencia.
PROCESAMIENTO: ¿Qué secuencia tienen las fracciones?
Con las fracciones debemos de poder hacer comparaciones para comprobar si una es mayor que la otra. Por ejemplo, tenemos tres banderas que emplean color rojo y queremos averiguar cuál de ellas tiene más superficie roja:
A simple vista la menor es la de Colombia, después la de Chile y finalmente la Checa.Si buscamos el denominador común (mcm(4,2,8)=8) y buscamos las fracciones equivalentes por amplificación con denominador común 8 obtenemos:
3/8=3/8 1/4=2/8 1/2=4/8
Comparando los numeradores de las fracciones equivalentes comprobamos que el orden debe de ser, de menor a mayor, Colombia menor que Rep. Checa y esta menor que Chile, como se veía a simple vista.
Representando las fracciones en el intervalo unidad, de 0 a 1, se divide el mismo en ocho partes, en la segunda ponemos el 2/8, en la tercera el 3/8 y en la cuarta el 4/8
MECANIZACIÓN: ¿Cómo unir o separar fracciones?
Se pueden juntar distintas partes de la unidad, o quitar, llevando aparejado con ello la suma, o resta, de fracciones para calcular la fracción resultante. En el puzle de personajes de Naruto hay 4 personajes, cada uno ocupando tres casillas. Cada personaje ocupa ¼ del puzle, o sea que al completarlo habremos rellenado todo el puzle, 1/4+/4+1/4+1/4=4/4=1. O bien 3/12+3/12+3/12+3/12=12/12=1.
ACTIVIDAD 8: Obtener la fracción irreducible equivalente para cada fracción:
12/36= 20/12= 132/99= 18/50=
Con las fracciones debemos de poder hacer comparaciones para comprobar si una es mayor que la otra. Por ejemplo, tenemos tres banderas que emplean color rojo y queremos averiguar cuál de ellas tiene más superficie roja:
A simple vista la menor es la de Colombia, después la de Chile y finalmente la Checa.Si buscamos el denominador común (mcm(4,2,8)=8) y buscamos las fracciones equivalentes por amplificación con denominador común 8 obtenemos:
3/8=3/8 1/4=2/8 1/2=4/8
Comparando los numeradores de las fracciones equivalentes comprobamos que el orden debe de ser, de menor a mayor, Colombia menor que Rep. Checa y esta menor que Chile, como se veía a simple vista.
Representando las fracciones en el intervalo unidad, de 0 a 1, se divide el mismo en ocho partes, en la segunda ponemos el 2/8, en la tercera el 3/8 y en la cuarta el 4/8
Cualquier fracción la podemos representar en la recta real.
ACTIVIDAD 9: Ordenar las banderas según el color amarillo que emplean con ayuda de fracciones y representar estas en un intervalo unidad.
Se pueden juntar distintas partes de la unidad, o quitar, llevando aparejado con ello la suma, o resta, de fracciones para calcular la fracción resultante. En el puzle de personajes de Naruto hay 4 personajes, cada uno ocupando tres casillas. Cada personaje ocupa ¼ del puzle, o sea que al completarlo habremos rellenado todo el puzle, 1/4+/4+1/4+1/4=4/4=1. O bien 3/12+3/12+3/12+3/12=12/12=1.
En el ejemplo se llevan hechos los 6/12 del puzle, o sea la mitad, 1/2. Por personajes 3/12+2/12+1/12=6/12=1/2. A Sakura le falta una pieza, 3/3-2/3=1/3, falta 1/3 de Sakura, y, a Naruto le faltan 3/3-1/3=2/3, dos piezas de tres, faltan los 2/3.
Para sumar o restar fracciones necesitamos que tengan el mismo denominador.
ACTIVIDAD 10: En el siguiente puzle, con ayuda de fracciones, averigua:
1) ¿Qué fracción de puzle está hecho? 2) ¿Cuánto falta por hacer? 3) Comprueba que lo que está hecho más lo que falta por hacer da la unidad.
CONSOLIDACIÓN: ¿Cómo repetir una fracción de una fracción?
Supongamos una caja de botellas de agua de las cuales las 3/4 partes están llenas. De esas 3/4 partes bebemos las 2/5 partes. ¿Qué fracción de la caja contiene botellas llenas?.
Para sumar o restar fracciones necesitamos que tengan el mismo denominador.
ACTIVIDAD 10: En el siguiente puzle, con ayuda de fracciones, averigua:
1) ¿Qué fracción de puzle está hecho? 2) ¿Cuánto falta por hacer? 3) Comprueba que lo que está hecho más lo que falta por hacer da la unidad.
Supongamos una caja de botellas de agua de las cuales las 3/4 partes están llenas. De esas 3/4 partes bebemos las 2/5 partes. ¿Qué fracción de la caja contiene botellas llenas?.
La caja inicialmente está dividida en 4 partes iguales de las que 3 corresponden a botellas llenas. Si se beben las 2/5 partes de ellas, quedan 3/5 de botellas llenas de las 3/4 partes del total. Tendríamos que dividir las tres partes anteriores en cinco partes y coger tres. O sea, primero se divide en 4 partes y luego, lo que queda, en 5 partes, para ello dividimos inicialmente toda la caja en 5·4=20 partes iguales. Entonces las 3/4 partes son las 15/20 partes. De esas 15 partes si las dividimos en 5 partes iguales y elegimos 3 representan 9 partes de 20, los 9/20 del total.
La operación con las fracciones es la multiplicación (3/5)·(3/4)=(3·3)/(5·4)=9/20
Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores y los denominadores entre sí.
Si plantamos el problema al revés, inicialmente los 2/3 de la caja eran botellas llenas y al final las 5/12 partes eran botellas llenas, ¿qué fracción de las 2/3 partes se bebieron?
Es la operación inversa de la multiplicación, 5/12:2/3=(5·3)/12·2)=15/24, que podemos comprobar que está bien con la operación inversa de multiplicar, (2/3)·(15/24)=30/72=5/12
Para dividir se multiplica en cruz, numerador por denominador da el numerador resultante, y, denominador por numerador da el denominador resultante.
ACTIVIDAD 11: Realizar las siguientes operaciones:
a) (3/5)·(2/7) b) (7/5):(4/3) c) 4/5+(3/2:2/5) d) 7/2-3+ (2/3)·2 e) 6+(1/2)·(3/4)+(2/3):(5(2)
EVALUACIÓN: ¿Con qué criterio usamos las fracciones?
Si ya sabemos la fracción que representa una parte del total también podemos tener el valor que le corresponde. Por ejemplo, si una caja de botellas de agua contiene 12 botellas de las cuales las ¾ partes están vacías, ¿cuántas botellas llenas tiene?.
1-3/4=4/4-3/4=1/4 son las botellas llenas.
Para calcular ¼ de 12 hay que dividir 12 en cuatro partes y tomar una, 12:4=3, entonces son cuatro partes de tres botellas cada una, y una parte son tres botellas. Esta operación es el producto de ¼ por 12.
ACTIVIDAD 16: Un recipiente de 100 litros está lleno de una
mezcla de concentrado de zumo y agua, en la que hay 2/5 de concentrado. Se
venden 50 litros, y el recipiente se llena con agua. ¿Cuál es la nueva fracción
del concentrado de zumo?
La operación con las fracciones es la multiplicación (3/5)·(3/4)=(3·3)/(5·4)=9/20
Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores y los denominadores entre sí.
Si plantamos el problema al revés, inicialmente los 2/3 de la caja eran botellas llenas y al final las 5/12 partes eran botellas llenas, ¿qué fracción de las 2/3 partes se bebieron?
Es la operación inversa de la multiplicación, 5/12:2/3=(5·3)/12·2)=15/24, que podemos comprobar que está bien con la operación inversa de multiplicar, (2/3)·(15/24)=30/72=5/12
Para dividir se multiplica en cruz, numerador por denominador da el numerador resultante, y, denominador por numerador da el denominador resultante.
ACTIVIDAD 11: Realizar las siguientes operaciones:
a) (3/5)·(2/7) b) (7/5):(4/3) c) 4/5+(3/2:2/5) d) 7/2-3+ (2/3)·2 e) 6+(1/2)·(3/4)+(2/3):(5(2)
EVALUACIÓN: ¿Con qué criterio usamos las fracciones?
Si ya sabemos la fracción que representa una parte del total también podemos tener el valor que le corresponde. Por ejemplo, si una caja de botellas de agua contiene 12 botellas de las cuales las ¾ partes están vacías, ¿cuántas botellas llenas tiene?.
1-3/4=4/4-3/4=1/4 son las botellas llenas.
Para calcular ¼ de 12 hay que dividir 12 en cuatro partes y tomar una, 12:4=3, entonces son cuatro partes de tres botellas cada una, y una parte son tres botellas. Esta operación es el producto de ¼ por 12.
ACTIVIDAD 12: Si las 4/5 partes de un grupo de 35 personas
son mujeres, ¿Cuántos hombres hay?
ACTIVIDAD 13: Si 3/5 partes de los votantes de una reunión eligen al candidato A, y en la
reunión hay 75 personas, ¿cuántos fueron los votantes de A?
ACTIVIDAD 14: Si los 2/3 del dinero recaudado para una causa
benéfica fueron 230 euros, ¿cuánto dinero se recaudó?
ACTIVIDAD 15: Saco las 2/5 partes de un líquido de una
botella y de lo que queda saco las ¾ partes ¿Qué fracción de la botella queda
aún?
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