Volumen del cilindro

Foto sacada en una excursión con alumnos en busca de fotografías matemáticas. Es un tronco de árbol hueco visto desde dentro hacia arriba. Un tronco tiene básicamente la forma de un cilindro, su volumen viene dado por la fórmula: V=π*r²*h; siendo r, el radio del círculo y h, la altura. Pero, ¿de dónde viene esta fórmula?

(Para alumnos de bachillerato)
Supongamos que un árbol tiene un tronco cilíndrico perfecto y que cada año crece su volumen de forma perfecta añadiendo una capa más a su grosor, como vemos que ocurre en los anillos concéntricos cuando cortamos su tronco.
Cada nueva capa la podemos imaginar estirada y tendremos una hoja de altura Δx, de ancho 2π*x, y de largo h. El volumen de esa capa que contribuye al volumen total es: 2π*x*h*Δx. El volumen final será la suma de todas esas capas que se forman año tras año: V=∑ 2π*x*h*Δx.
Si consideramos que Δx-->0, que las capas son muy finas porque las contabilizamos segundo a segundo, el sumatorio se convierte en la integral definida entre 0 y r. Como ∫2π*x*h*dx=π*x²*h+C, entonces V=π*r²*h