Casos no permitidos

Las operaciones matemáticas presenta toda una serie de casos especiales que pueden cerrar el paso o dar lugar a nuevos resultados.

• Así por ejemplo, en las fracciones no se permite que el denominador sea 0, aunque sí lo puede ser el numerador. No se permite en las fracciones: 4/0, 5/0, -3/0,.... El caso es que como la fracción es una división no se puede dividir por 0 --¿qué entenderíamos por 4 caramelos repartidos entre 0 niños?.
  

• Caso curioso es el hecho de que 1=0.99999...., porque duplica la notación de todos los números reales. Así 2=1.999999...., 3.45=3.4499999..., ...Aunque está permitida esta duplicidad se obvia evitando la notación decimal con los nueves. Es fácil comprobar que 1=0.99999...., ya que si x=0.99999..., entonces 10x=9.99999..., y restando 10x-x=9x=9, luego, x=1.
  

• En los reales no se permiten radicandos negativos en raíces pares, pero sí se permite si estamos en los números complejos. No se permite en los reales: sqrt(-3), sqrt(-5),....; pero estas expresiones sí tienen sentido en los números complejos porque se define la unidad imaginaria, i=sqrt(-1). Las raíces cuadradas de los números negativos no pueden existir en los reales ya que por definición el resultado tiene que ser un número que elevado al cuadrado dé el radicando, pero un número al cuadrado es positivo y el radicando estamos diciendo que es negativo.
  

• Las potencias de base negativa tienen muchas limitaciones. En ningún caso se permite en los reales base negativa y exponente irracional: (-2)^sqrt(2), (-5)^pi,... Sin embargo se puede calcular (-3)^4/3. Las potencias de exponente fraccionario se pueden calcular siempre que la raíz correspondiente esté permitida. El caso es que las potencias pares de números negativos, son positivas, y las impares, negativas, pero cuando el exponente es irracional no hay manera de saber si es par o impar.
  

• Los logaritmos de números negativos tampoco se pueden calcular. En ningún caso se permite utilizar en los reales argumento negativo: log(-3), ln(-5),... El logaritmo es el exponente al que elevar la base para que nos dé el número del argumento. En este caso no se pueden calcular los logaritmos porque las bases (10 y e) son números positivos y nunca podemos calcular potencias de base positiva que den negativo.