Pensamiento matemático: El prime-time

Se lee en un blog: "El Prime-Time es el horario televisivo de máxima audiencia, que se ubica entre las 21:00 y las 00:00 horas, siendo España uno de los países de Europa y del mundo con el prime time más tardío".
No es difícil comprender que detrás de esta frase está un pensamiento matemático. Y no sólo en los números, si uno se fija en lo que significa el Prime-Time, el concepto que se transmite es el de la hora de máxima audiencia de TV.
Cualquier persona puede comprender este concepto sin mucho esfuerzo y es en sí un concepto matemático importante. La cuestión es, ¿hasta que punto se quiere ir en el intento de desentrañar este pensamiento matemático? Si una persona tuviera que explicar qué sentido matemático tiene tendría que hablar de las dos variables que se manejan en la frase: t=el tiempo y S=nº de televidentes. T corresponde al tiempo en que se emite la TV, se puede suponer 24 h. Se supone S>0. Se asume que hay una relación entre t y S, la S "crece" con el tiempo y después "decrece" , alternativamente a lo largo del tiempo de emisión, alcanzando un instante t en el que hay máximo valor de S, que está entre las 21:00 y las 00:00 horas. 
Si se consiguiese establecer una relación funcional entre S y t, S(t), en cada país, se podría intentar encontrar ese instante a partir las técnicas de derivación y comprobar que la afirmación es correcta. 
A las televisiones les interesa esta función porque con ella establecen la tarifación de publicidad.

Una aproximación funcional la da el siguiente problema:

Una cadena local de TV ha determinado, por medio de encuestas, que el porcentaje de ciudadanos que la ven entre las 6 de la tarde y las 12 de la noche viene dado por la función:
s(t) = 660 - 231t + 27t² - t³  
donde t indica las horas transcurridas desde las 12 en punto de la mañana. 
Calcular a qué hora tiene la televisión su máxima audiencia y cuándo tiene su mínima audiencia. 

s'(t)=-231+54t-3t² 
s'(t)=0, t=7, t=11
s''(t)=54-6t
s''(7)=12, mínimo
s''(11)=-12, máximo

¿Cómo se determina la función por medio de encuestas? Pués a través de la inferencia estadística, del estudio de la regresión. Se muestrean una serie de puntos, pares de valores (t, s(t)), obteniéndose así una nube de puntos y a partir de ahí se estudia el tipo de dependencia entre las dos variables y su grado, y la regresión a un modelo de curva, y se halla esa función.