UNIDAD DIDACTICA: El teorema del resto chino (2)

ORIENTACIÓN
Una banda de 17 piratas posee un tesoro de peces de oro de igual valor. Proyectan repartirselo en partes iguales y dar el resto al cocinero chino. Este debería llevar 3 peces, pero los piratas discuten entre si y matan a 6. En un nuevo reparto igualitario le toca al cocinero el resto que son 4 peces. Tienen un naufragio y sólo se salvan, el tesoro, seis piratas y el cocinero. En el nuevo reparto le dan a este último 5 peces de oro. ¿Cuántos peces se llevaría el cocinero como mínimo si este decide envenenar al resto de los piratas?

Este es un nuevo ciclo en el que se amplia en forma de espiral el aprendizaje. En este caso no se puede resolver con los criterios de divisibilidad, hay que buscar la solución de forma general.

EXPERIMENTACIÓN
La solución s es el número de peces de oro que hay en el tesoro.
En el primer reparto, s=17x+3, s=3mod(17), en el segundo, s=11y+4, s=4mod(11), y en el tercero, s=6z+5, s=5mod(6)
Se trata por tanto de resolver un sistema de congruencias. Por ser solución de la primera congruencia pertenece al conjunto {3,20,37,...}. Por serlo de la segunda tiene que pertenecer al conjunto {4,15,26,...}, y por serlo de la tercera pertenece al conjunto {5,11,17,......}.
Con ayuda de una hoja de cálculo se pueden programar estas clases y comprobar cuál es el primer número coincidente. La solución que sale es 785.
¿La clase de las soluciones es una congruencia?¿Cuál es el paso?¿Cómo se puede averiguar la primera solución sin la hoja de cálculo?

CONCEPTUALIZACIÓN
La congruencia s=785mod(17·11·6) es una clase de soluciones del sistema. Cualquier número de la misma cumple:
s'=17·11·6·k+785
y pertenece a las congruencias del sistema puesto que:
s'/17=11·6·k+785/17=11·6·k+46+3/17
s'/11=17·6·k+785/11=17·6·k+71+4/11
s'/6=17·11·k+785/6=17·11·k+130+5/6
Luego
s={785, 1907, 2692,...}

PROCESAMIENTO
El objetivo es ver como se encuentra la primera solución.