UNIDAD DIDÁCTICA: El teorema chino del resto

MOTIVACIÓN
¿Cuántos soldados hay en el ejército de Hang Xing si, ordenados en dos columnas, sobra un soldado, ordenados en tres columnas sobra otro soldado, y ordenados en cinco columnas sobran tres?

EXPERIMENTACIÓN
¿Se puede hacer mirando de uno en uno?
Hay que dividir cada número de la sucesión:1,2,3,.... , por 2, por 3 y por 5. La solución será aquel número que dé de restos 1, 1 y 3, al dividir por 2, por 3 y por 5, respectivamente.
Establecemos la sucesión y ponemos si: a) da de resto 1; b) da de resto 1; c) da de resto 3.

1 soldado: a) SI; b) SI; C) NO
2 soldados: a) NO; b) NO; C) NO
3 soldados: a) SI; b) NO; C) SI
4 soldados: a) NO; b) SI; C) NO
5 soldados: a) SI; b) NO; C) NO
6 soldados: a) NO; b) NO; C) NO
7 soldados: a) SI; b) SI; C) NO
8 soldados: a) NO; b) NO; C) SI
9 soldados: a) SI; b) NO; C) NO
10 soldados: a) NO; b) SI; C) NO
11 soldados: a) SI; b) NO; C) NO
12 soldados: a) NO; b) NO; C) NO
13 soldados: a) SI; b) SI; C) SI
...........................
13 soldados es una solución, ¡¡pero puede haber más!!

CONCEPTUALIZACIÓN
¿Cómo son las soluciones?
La solución s tiene que ser un número que al dividir por 2 dé de resto 1, al dividir por 3 dé de resto 1 y al dividir por 5 dé de resto 3. La solución es congruente con 1 modulo 2, s=1mod(2), congruente con 1 módulo 3, s=1mod(3) y congruente con 3 modulo 5, s=3mod(5).
Los números s=1mod(2) son {1,3,5,7,9,11,13,....}
Los números s=1mod(3) son {1,4,7,10,13,...}
Los números s=3mod(5) son {3,8,13,...}
Son sucesiones aritméticas cuyos términos generales son:
1) s=1+(n-1)2=2n-1=>s+1=2n
2) s=1+(n-1)3=3n-2=>s+1=3n
3) s=3+(n-1)5=5n-2=>s+2=5n
De 1) concluimos que sólo puede acabar en 1,3,5,7 ó 9
De 3) concluimos que sólo puede acabar en 3 u 8
De ambos concluimos que sólo puede acabar en 3
Si solo tiene dos cifras, de esto último y de 2) concluimos que la primera cifra sólo puede ser 1, 4 ó 7, esto es s=13, s=43 ó s=73

PROCESAMIENTO
¿Para buscar más soluciones qué tenemos que hacer?
La solución tiene que se un número que acaba en 3 y que al restarlo de 1 sea un múltiplo de 3. Supongamos que queremos una solución con 4 cifras: s=abc3
Lo restamos de 1:
abc3-1=abc2
Ahora las cifras deben de sumar múltiplo de 3, pero hay un límite, tiene que ser un múltiplo de 3, para este caso, que esté entre 3 y 27. No puede ser más para las tres cifras dadas.
Tenemos muchas posibilidades y podemos enumerarlas todas. Pero supongamos un caso más práctico, si a=2, y b=9, entonces a+b+c+2=2+9+c+2=c+13. Ahora podemos coger cualquier múltiplo de 3 mayor que 13 y menor que 27, por ejemplo el 21. Tenemos c+13=21, entonces c=8. El número será el 2983 

MECANIZACIÓN
¿Se puede encontrar una fórmula para encontrar las soluciones?
Si la solución la dividimos en las cifras iniciales C y la final 3, s=C&3.
Resulta que C&2 es múltiplo de 3, C&2=3n, pero C&2=C·10+2=3n, de donde,
C=(3n-2)/10
C es un número natural, por lo tanto solo valen múltiplos de 3 que acaben en 2:
3·4=12, 3·14=42, 3·24=72,...
Así sale:
Para n=14, C=1=> s=13
Para n=24, C=4=> s=43
Para n=34, C=7=> s=73
.......................................
Para n=104, C=31=> s=313
......................................
Para n=994, C=298=> s=2983
.......................................

CONSOLIDACIÓN
¿Cómo encontrar una solución si se me olvida de la fórmula?
1) La solución menos 1 es un múltiplo de 2, eso significa que acaba en 1,3,5,7,ó 9
2) La solución menos 3 es un múltiplo de 5, eso significa que acaba en 3 u 8. Y según lo anterior sólo puede acabar en 3.
3) La solución menos 1, es un múltiplo de 3, eso significa que si sumamos todas las cifras menos la primera con un 2 tienen que sumar un múltiplo de 3.
Por ejemplo:
373, 10453, 6553, ....

EVALUACIÓN
¿Qué particularidad tienen los números que son solución?
Los tres primeros, 13, 43 y 73 son números primos. ¿Serán todos números primos?
C=(3n-2)/10 con n=4,14,24,34,44,54,64,74,......
s=C·10+3
s=3n+1 con n=4,14,24,34,44,54,64,74,.....=4+10·1, 4+10·2, 4+10·3, 4+10·4,..=4+10(k-1)
s=3(4+10(k-1))+1=12+30k-30+1=30k-17, con k=1,2,3,4,...
Para k=17, s=30.17-17=29·17=493, que no es primo

s=13, 43, 73, 103, 133, 163, 193, 223, ..... una progresión aritmética de diferencia 30 y primer término 13, aunque curiosamente hay muchos números primos

Actividad: 
Una banda de 17 piratas posee un tesoro de peces de oro de igual valor. Proyectan repartirselo en partes iguales y dar el resto al cocinero chino. Este debería llevar 3 peces, pero los piratas discuten entre si y matan a 6. En un nuevo reparto igualitario le toca al cocinero el resto que son 4 peces. Tienen un naufragio y sólo se salvan, el tesoro, seis piratas y el cocinero. En el nuevo reparto le dan a este último 5 peces de oro. ¿Cuántos peces se llevaría el cocinero como mínimo si este decide envenenar al resto de los piratas?