Matemáticas contadas (todo con nombre)

Los conjuntos numéricos han ido apareciendo conforme las operaciones numéricas han ido siendo imposibles de resolver, planteando en cada caso la necesidad de sus ampliaciones. Empezando con los números naturales {1,2,3,4,...}, la suma (2+3=5; 7+8=15; ...) es una operación cerrada en este conjunto numérico porque elegidos dos números naturales cualesquiera el resultado es otro número natural. Con los naturales la suma se puede hacer siempre. También la multiplicación, que es hacer sumas repetidas, es cerrada para los números naturales, el producto de dos naturales es un natural (3·5=15; 7·4=28; ...).

Si sólo sumásemos o multiplicásemos, con los números naturales ya tendríamos todo resuelto, pero resulta que hay otra operación inmediata a la suma, la resta. Si restamos dos naturales, a veces el resultado es un natural (7-3=4; 4-3=1; ...), pero a veces no (5-5=?; 4-6=?). Hacen falta nuevos números para poder cerrar el problema de la resta, es por lo que aparecen los números negativos, y se amplían los naturales (que pasan a ser los positivos) con el cero y los negativos, dando lugar a los llamados números enteros {...-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}. Con los enteros tenemos los números necesarios para hacer todo tipo de restas con naturales (5-5=0; 4-6=-2). Además estas tres operaciones se extienden en este nuevo conjunto numérico (-3-5=-8; (-4)·7=-28; 8+(-10)=-2; ...) consiguiendo con ello que sean cerradas en los enteros.

Si sólo sumásemos, restásemos o multiplicásemos con los números enteros tendríamos todo resuelto, pero resulta que después de la multiplicación viene la división (24:3=8; (-12):(-4)=3; ...), y hay divisiones que no tienen resultado en el conjunto de los enteros (4:7=?; 23:5=?; ..). Esto plantea la necesidad de ampliar el último conjunto numérico, hay que introducir las fracciones (4/5; -2/5; ...), y con ellas podemos hacer todas las divisiones (4:7=4/7; 23:5=23/5; ...). Este nuevo conjunto numérico se llama ahora el conjunto de los números racionales, está formado por los enteros y por las fracciones agrupadas en clases, las que forman distintas fracciones que son equivalentes entre si. Para evitar este pequeño lío, les buscamos una nueva notación a los irracionales y los escribimos en forma de número decimal concluyendo que los números racionales son los números decimales exactos (4.5; 3.889;7.0;-3.55; ...), los decimales periódicos puros (5.66666...; -3.56565656....; 9.120120120....) y los decimales periódicos mixtos (4.5633333....; 67.5923232323....).

Si sólo sumásemos, restásemos, multiplicásemos o dividiésemos, con los números racionales ya tendríamos resuelto todo, las cuatro operaciones son cerradas en este conjunto pero resulta que después de estas cuatro operaciones aún viene la radicación, el cálculo de raíces. Ya los pitagóricos sabían que raíz de 2 no es una fracción. Se necesitan los números irracionales para completar a los racionales para poder hacer estas raíces. Los irracionales son los números de infinitos decimales no periódicos (23.12123123412345....; 4.45673438956034302043...; ...). Los irracionales y los racionales, o sea, todos los números en notación decimal, forman los llamados números reales. Aún así no se resuelve el problema de las raíces porque en este conjunto numérico no se pueden calcular las raíces pares de los números negativos.