Llamar a las cosas por su nombre

Hacer matemáticas sin números:

Consideraremos los números naturales incluido el cero.

Dividendo, divisor, cociente y resto, son los cuatro nombres que empleamos para hablar de la división euclidea. Cuando dividimos un número, el dividendo, entre otro, el divisor, obtenemos un resultado, el cociente, y un residuo que sobra, el resto. De tal manera que nos sirven para para establecer un criterio para comprobar si la división está bien hecha, la prueba de la división euclidea, que dice: en una división el dividendo tiene que ser igual al divisor multiplicado por el cociente más el resto. No hay que olvidar que el resto tiene que ser mayor o igual que cero y menor que el divisor para considerar finalizada la división. Aquellas divisiones que dan de resto cero, se denominan exactas, y las que no, son inexactas.

Los divisores de un número (*) son aquellos que hacen que la división del número por éstos números sea exacta, o sea, el resto de dividir un número entre un divisor suyo es cero. Cuando tenemos dos números y calculamos todos sus divisores puede haber coincidencia en varios de ellos, y al mayor de los divisores comunes se le llama el máximo común divisor.

El algoritmo de Euclides establece que: el máximo común divisor de dos números coincide con el máximo común divisor del menor y del resto de la división del mayor entre el menor.

Para demostrar esto hay que hacer uso de la prueba de la división euclídea. Por la propia prueba de la división, el máximo común divisor del dividendo y del resto es un divisor del divisor y del dividendo. Y, también, el resto de la división es igual al dividendo menos el divisor por el cociente, por tanto, el máximo común divisor del dividendo y del divisor también tiene que ser un divisor del resto y del divisor. Por la doble desigualdad, tienen que ser iguales.

(*) El nombre de divisor de un número coíncide con el del término divisor como parte de la división, pudiendo llevar a la confusión.

Multiplicación rusa

El método de la multiplicación rusa usa las multiplicaciones y las divisiones sucesivas por 2 para obtener el producto de dos números. Si queremos multiplicar 73 por 162 se colocan los dos números en columna, el más grande a la izquierda y el menor en el centro. Se va duplicando por dos el mayor y se va diviviendo por dos el menor. Si el menor es impar se usa el par inmediato inferior y se pone un 1 en la columna de la derecha. Se finaliza al llegar a 1 en la división. El resultado final se obtiene sumando el último duplicado con aquellos que están en la misma fila dónde se anotaron los 1 en la tercera columna.
 73*162=10368+1296+162=11826

Multiplicación musulmana

Para multiplicar 76 por 562 siguiendo la multiplicación musulmana (*) hay que poner los números en una tabla como se indica en la imagen. El 76 se pone en la primera columna de la izquierda, de abajo hacia arriba, y el 562 se coloca en la primera fila, de izquierda a derecha. Las casillas interiores se dividen y en cada parte ponemos el resultado de multiplicar el dígito de la fila con el de la columna. Si algún producto da como resultado una cifra se completa con un cero delante del resultado, de forma que siempre se tengan dos cifras para poner en las casillas internas. Se suma las cifras de las diagonales y se colocan en la última columna y en la última fila. Se empieza por la parte superior de la última columna. Si la suma excede de 10 se lleva y se acumula en la diagonal siguiente. El resultado se lee empezando por la celda mas a la izquierda de la última fila. Resultado: 76*562=42712

(*) "Los números y sus misterios", André Warusfel. Ed. Martínez Roca, S.A. - Barcelona, 1968