Llamar a las cosas por su nombre

Hacer matemáticas sin números:

Consideraremos los números naturales incluido el cero.

Dividendo, divisor, cociente y resto, son los cuatro nombres que empleamos para hablar de la división euclidea. Cuando dividimos un número, el dividendo, entre otro, el divisor, obtenemos un resultado, el cociente, y un residuo que sobra, el resto. De tal manera que nos sirven para para establecer un criterio para comprobar si la división está bien hecha, la prueba de la división euclidea, que dice: en una división el dividendo tiene que ser igual al divisor multiplicado por el cociente más el resto. No hay que olvidar que el resto tiene que ser mayor o igual que cero y menor que el divisor para considerar finalizada la división. Aquellas divisiones que dan de resto cero, se denominan exactas, y las que no, son inexactas.

Los divisores de un número (*) son aquellos que hacen que la división del número por éstos números sea exacta, o sea, el resto de dividir un número entre un divisor suyo es cero. Cuando tenemos dos números y calculamos todos sus divisores puede haber coincidencia en varios de ellos, y al mayor de los divisores comunes se le llama el máximo común divisor.

El algoritmo de Euclides establece que: el máximo común divisor de dos números coincide con el máximo común divisor del menor y del resto de la división del mayor entre el menor.

Para demostrar esto hay que hacer uso de la prueba de la división euclídea. Por la propia prueba de la división, el máximo común divisor del dividendo y del resto es un divisor del divisor y del dividendo. Y, también, el resto de la división es igual al dividendo menos el divisor por el cociente, por tanto, el máximo común divisor del dividendo y del divisor también tiene que ser un divisor del resto y del divisor. Por la doble desigualdad, tienen que ser iguales.

(*) El nombre de divisor de un número coíncide con el del término divisor como parte de la división, pudiendo llevar a la confusión.