Una receta de cocina

Para hacer un pastel se deben de emplear 250 g de harina con 50 g de mantequilla (aparte de otros ingredientes). Si queremos que sea más grande y utilizamos 1000 g de harina, ¿cuánta mantequilla debemos de añadir?¿Cuánta mantequilla se necesita con 800 g de harina?

1) Relación

¿Cómo relacionamos las cantidades de harina y mantequilla? Hay una relación de proporcionalidad directa entre la cantidad de harina y la de mantequilla:

Si usamos 1000 g de harina cuadruplicamos la cantidad inicial de los 250 g de harina. Entonces debemos de cuadruplicar la cantidad de mantequilla, es decir, necesitamos 200 g de mantequilla. Ahora, si por 1000 g de harina empleamos 200 g de mantequilla, estamos poniendo 20 g de mantequilla por cada 100 g de harina, y si queremos que el pastel tenga 800 g de harina, entonces hay que multiplicar por 8 los 20 g, esto es, se necesitan 160 g de mantequilla.


2) Estrategia
¿Cómo hacemos para que no sea pesado buscar la relación? Vamos a emplear la estrategia de movimiento de números que se llama regla de tres simple:

Por cada 250 g de harina ponemos 50 g de mantequilla.
Por 1000 g tenemos que poner x.

250 g de h.-----> 50 g de m.

1000 g de h.----> x

Como 1000/250=4 veces, entonces, x=(1000/250)·50=4·50=200 g de m. Podemos poner x=1000·50/250, con lo cual, para despejar x, hacemos el producto cruzado de 1000 por 50 y dividimos por 250.
Por 800 g tenemos que poner y

250 g de h.-----> 50 g de m.

800 g de h.---->y

Hacemos el producto cruzado: y=800·50/250=160 g de mantequilla 

3) Razonamiento
¿¿Cómo buscar un nexo que permita dar significación a lo que hacemos? Vamos a determinar primero la mantequilla que lleva un gramo de harina, lo que se llama la razón de proporcionalidad, y en base a eso resolvemos.

Si dividimos la mantequilla entre la harina tenemos los gramos de mantequilla por gramo de harina.
r=gramos mantequilla/gramos de harina

r=50/250=0'2 gramos de mantequilla por 1 gramo de harina

Entonces si queremos saber la mantequilla que va con una cantidad determinada de harina (en gramos) no hay más que multiplicar la razón por esa cantidad. Así, con 1000 gramos de harina van 1000·0'2=200 g de mantequilla, y con 800 g de harina, 800·0'2=160 g de mantequilla.

4) Estructura
¿Cómo sabemos si hay que multiplicar por los gramos de harina o de mantequilla? Ponemos en paralelo cada opción y sacamos la estructura.

La razón es como la fracción irreducible en una clase de equivalencia de fracciones:
r=gramos mantequilla/gramos de harina=50/250=0'2/1=x/1000=y/800.
Comparando la segunda con la tercera fracción, teniendo en cuenta que el producto cruzado coincide, tenemos:
x=0'2·1000/1=200
Comparando la segunda con la cuarta:
y=0'2·800/1=160

5) Funcionamiento

¿Pero qué se hace primero y que se hace después? El proceso tiene dos fases: obtener fracciones equivalentes primero por simplificación y después por amplificación.

Si partimos de 50/250 para pasar una fracción equivalente con denominador 1, debemos dividir por 250, numerador y denominador, con lo que queda 0'2/1. Si ahora amplificamos con denominador 1000, debemos multiplicar esta segunda fracción por 1000, en el numerador y denominador, obteniendo 200/1000. Si queremos una fracción equivalente con denominador 800, multiplicamos la segunda fracción por 800, arriba y abajo, el resultado es 160/800.

6) Formulación

¿Cómo hacer las cosas independientemente? Establecemos la fórmula que permite obtener los gramos de mantequilla a partir de los de harina. 

Si H₀ y M₀ son las cantidades iniciales de harina y mantequilla, respectivamente, como la razón es constante si las magnitudes son directamente proporcionales, entonces r=M_0/H₀. Para otras cantidades diferentes H y M, que sirvan para hacer el pastel, se tiene que cumplir también que: r=M/H. Entonces M/H=M_0/H₀ y de aquí obtenemos la fórmula que permite obtener los gramos de mantequilla (M) que se necesitan para una cantidad dada de harina (H) en gramos .

M=(M_0/H₀)·H 

(Proposición: Si dos magnitudes X e Y son directamente proporcionales, entonces existe una constante K tal que, Y=K·X)

En el enunciado H₀=250, M₀=50, y H=1000, entonces:
M=(50/250)·1000=200 g.
Para el segundo caso, H=800, entonces:
M=(50/250)·800=160 g.

7) Método
¿Cómo recoger todo de forma organizada? Finalmente tenemos los pasos a dar para obtener los gramos de mantequilla para cualquier cantidad de harina.

Ponemos en el numerador los gramos de mantequilla (lo que se va a averiguar) y en denominador los gramos de harina (lo que se da)
a)  El primer paso es poner en el numerador 50 g de mantequilla y en denominador 250 g de harina. Se hace este cociente y es la razón.
b) La siguiente fracción tiene 1 en el denominador y la razón en el numerador.
c) Cualquier fracción equivalente tendrá en el denominador el dato de la harina y en el numerador la razón por los gramos que dan de harina.