Los problemas del camino

Reflexión:

Vamos a iluminar el asunto. Se desea poder averiguar la cantidad de mantequilla que va con una cantidad dada de harina. Asumiendo que el reparto es homogéneo, en la mitad del pastel hay mitad de harina y mitad de mantequilla.

250g de harina van con 50g de mantequilla
125g de harina van con 25g de mantequilla.
Si el pastel fuese el doble grande tendría doble de harina con doble de mantequilla.
500g de harina van con 100g de mantequilla.
Problema 1:
No es fácil encontrar cómo pasar mentalmente de 250g de harina a 800g de harina. Se hace pesado, hay que aligerarlo.

Estrategia:
Si nos fijamos en la posiciones de los números se trata de multiplicar o dividir los números al unísono.
250g de harina ---------> 50g de mantequilla
250/2=125-------------> 50/2=25
2·250=500------------> 50·2=100
800---------------------> 50·800/250=160g de mantequilla

La regla es multiplicar la nueva cantidad de harina por la cantidad de mantequilla que se conoce y dividir por la cantidad de harina inicial.

Con esto se descarga la mente para centrarlo en la multiplicación y en la división.

Problema 2:
Las cantidades con las que operar pueden ser grandes y complica la obtención del resultado. Hay que hacerlo sencillo.


Razonamiento:
Racionamos el proceso averiguando la mantequilla que va con 1g de harina.
250g de harina---->50g de mantequilla
1g de harina ------> x
x=50/250=0'2
Esta cantidad es la razón r
1g ------> 0'2 g
800g---->x
Entonces x=800.0'2=160.
Es suficiente multiplicar la nueva cantidad de harina por la razón.
Problema 3:
La razón de proporcionalidad no explica si es de la cantidad de mantequilla sobre la de harina o viceversa, puede llevar a confusión. Hay que aclararlo.

Estructura:
La razón representa el cociente entre la cantidad de mantequilla y la de harina, para cualquier cantidad que consideremos que hacen el mismo pastel.
r=gramos de mantequilla/gramos de harina.
Pero, también podíamos haber definido la razón al revés, gramos de harina entre gramos de mantequilla.
En cualquier caso, lo que se cumple siempre es que el producto cruzado coíncide.
r=gramos de mantequilla/gramos de harina=50/250=0'2/1=160/800.
50·1=250·0'2; 0'2·800=1·160; 50·800=250·160
Problema 4:

El tema es hacer operativo este proceso. 

Funcionalidad:
El proceso tiene dos fases: Simplificar la fracción inicial al tanto por uno y amplificar para cualquier otro caso.
Tenemos 250g de harina con 50 g de mantequilla. La razón mantequilla/harina es r=50/250=0'2/1. A partir de aquí para 800g de harina amplificamos poniendo 800·1=800 en el denominador y 800·0'2=160 en el numerador. Para otra cantidad de harina, por ejemplo 600g, amplificamos poniendo 600.1=600 en el denominador y 600·0'2=120 en el numerador. Para cualquier cantidad de harina debemos de operar de esta forma.
mantequilla/harina=50/250=0'2/1=160/800=120/600=y/x
Problema 5: 
Para simplificar el proceso necesitamos definirlo.

Formulación:
En esencia para magnitudes directamente proporcionales podemos calcular la magnitud dependiente "y" a partir de la independiente "x" sin más que multiplicar ésta por la razón de proporcionalidad "r":
y=r·x
Si y es la cantidad de mantequilla y x la de harina. La razón, con los datos es; r=50/250=0'2. Entonces,
y=0'2·x.
Por ejemplo, para x=600, tenemos, y=0'2·600=120
Problema 6:
La sustitución de variables puede llevar a cierta inconsistencia en el manejo de los datos.

Método:
Pasos a seguir:
1) Dividir datos conocidos distinguiendo lo que se pone en el numerador del denominador. Procurar poner en el denominador la magnitud que tenemos como nuevo dato.
r=y/x=mantequilla/harina
2) Igualar el cociente a una nueva fracción, poniendo en el denominador la nueva cantidad conocida.
y/x₀=r
3) Pasar x₀ multiplicando a r.
y=x₀·r
4) Repetir desde el paso 2) para otro nuevo dato que corresponda a la magnitud del denominador.
Problema 7:
La rutina requiere introducir novedad para que no lleve a falta de realismo.