La proporcionalidad directa

Problema: Un barco lleva navegado 150 millas en 3 horas, ¿cuánto tardó en recorrer las 100 primeras millas?, y, ¿cuánto tardará en hacer un viaje de 500 millas?.

La relación entre las magnitudes.
Hay dos magnitudes, la distancia recorrida en millas y el tiempo transcurrido en horas. Vamos a suponer que el barco viaja a velocidad constante, esto implica que la razón entre el tiempo y la distancia (o viceversa) debe de permanecer constante en todo el trayecto. Recorre la misma distancia en el mismo tiempo en cualquier tramo del recorrido.


Los antecedentes.
Son magnitudes directamente proporcionales, a más recorrido más tiempo manteniendo la proporción. Se puede establecer una regla de tres simple:

150 millas ---->3 horas

100 millas----->x horas

150·x=100·3 =>x=(3·100)/150=2 horas

El razonamiento.
Si dividimos el tiempo transcurrido en un tramo entre la distancia recorrida obtendremos el tiempo que tarda en recorrer una milla, que es lo que se llama la razón de proporcionalidad.  Calculamos la razón con los datos iniciales, dividiendo 3 entre 150, y da 0,02. Es decir, cada milla navegada lleva 0,02 horas. A partir de este dato se pueden obtener los tiempos que tarda al recorrer cualquier distancia, multiplicando la distancia por la razón.

razón=3/150=0'02 h/milla

tiempo al recorrer 100 millas = 0'02·100=2 horas

La estructura.
La razón es el cociente entre un tiempo y una distancia, representa una relación de equivalencia entre fracciones:

razón=horas/millas=3/150=x/1=y/100=z/500

Si consideramos la igualdad como la representación de fracciones equivalentes, la primera igualdad es una simplificación y las siguientes son amplificaciones. Al ser equivalentes el producto cruzado entre dos de las fracciones da lo mismo:

3·1=150·x => x=3/150=0'02 horas

0'02·100=y·1 => y=2 horas

0'02·500=z·1 => z=10 horas

El funcionamiento.
Entonces podemos resolver cada fracción multiplicando o dividiendo por una misma cantidad, según amplifiquemos o simplifiquemos.La segunda fracción se obtiene haciendo el cociente de la primera, el resultado se puede poner como numerador y como denominador se pone 1, que da el mismo resultado.

3/150=0,02/1=2/100=10/500

Para pasar de la segunda fracción a la tercera se multiplica numerador y denominador por 100, y para pasar de la segunda a la cuarta se multiplica numerador y denominador por 500. hay que fijarse como objetivo el buscar la fracción de denominador 1 y a partir de ella resolver las siguientes.

En la práctica. 
Lo que dice la equivalencia anterior es que: el barco tarda 0,02 horas en recorrer una milla, 2 horas en recorrer 100 millas y 10 horas en hacer 500 millas. Cuando queramos hallar tiempos ponemos nuevas fracciones con el denominador conocido. Las fracciones se pueden invertir, arriba puede aparecer la distancia y abajo el tiempo, es ambivalente. De forma invertida tenemos que la razón es millas/hora, lo que se conoce como velocidad media. El barco navega a 25 millas por hora (130/3=25).
Por ejemplo, ¿cuántas millas recorre en 3 horas?

25 millas

----------- · 3 horas = 25·3=75 millas

1 hora

El método.
a) Se pone en el numerador la magnitud que deseamos calcular.
b) La primera fracción son los datos iniciales del problema.
c) En la segunda se pone un 1 en el denominador y en el numerador ponemos el cociente de la primera fracción.
d) Al tener la fracción del tanto por uno podemos obtener cualquier otra fracción sin más que poner en el denominador la nueva distancia y en el numerador el producto de esa distancia por la razón.

La siguiente fracción, la tercera, como pide lo que tarda en recorrer 100 millas, ponemos 100 en el denominador y multiplicamos por 100 el numerador de la segunda fracción. Si pide otro trayecto, ponemos una nueva fracción con el denominador con la nueva distancia y en el numerador ponemos el producto del numerador de la segunda fracción por esa distancia (la llamada razón).