Construir el conocimiento

Definición: Una división entre naturales es exacta cuando el resto es cero:
Ejemplo: 45 dividido entre 3 da de cociente 15 y de resto 0 y por lo tanto es una división exacta.

Definición: Un número tiene por divisor a otro número cuando la división por ese número es exacta.
Ejemplo: 25 tiene por divisor al 5 porque al dividir 25 entre 5 da de resto 0.
Ejemplo: 24 no tiene por divisor al 5 porque el resto de la división de 24 entre 5 es 4.

Proposición: El 1 es divisor de cualquier número:
Demostración: Es obvio que al dividir cualquier número entre 1 da una división de resto cero.

Proposición: Todo número es divisor de sí mismo.
Demostración: Es obvio que al dividir cualquier número entre sí mismo da división de resto cero.

Definición: Un número primo es aquel que solo admite como divisores al mismo número o la unidad.
Ejemplo: El 2 es primo, el 3 es primo, el 5 es primo.
Ejemplo: El 4 no es primo porque es divisible por 2, y el 9 tampoco es primo porque es divisible por 3.

Definición: Un número que no sea primo se dice compuesto.
Ejemplo: El 14 es compuesto

Proposición: Todo número compuesto admite algún número primo como divisor.
Demostración: Si es compuesto admite un divisor distinto de 1 y del propio número. Si este divisor no es primo entonces es compuesto y a su vez admitirá un divisor primo o compuesto. Si seguimos así llegaremos a que en algún momento el divisor tiene que ser primo porque en última instancia llegaríamos a que sólo admite al 1 o al propio número como divisor y por lo tanto es primo.
Ejemplo: El 42 es compuesto y admite al 6 como divisor. Pero el 6 admite al 3 como divisor que es primo y por tanto el 3 también es divisor primo de 42.

Teorema: Existen infinitos números primos.
Demostración: Suponemos que existen sólo un número finito de números primos que numeramos así: p₁, p₂, p₃, ...p_n. Si consideramos el número que resulta de multiplicar todos esos números primos y sumarle el uno tendremos un nuevo número: q= p₁· p₂· p₃· ...·p_n+1; pues resulta que ese nuevo número también es primo, porque si lo dividimos por cualquiera de los primos p_i da de resto 1; y si lo dividimos por cualquier número compuesto distinto de 1 y de q tampoco puede dar exacto porque sino habría un primo divisor. Como q es mayor que cualquier pi tal como se construyó estaríamos diciendo que hay más de n números primos contradiciendo la hipótesis de partida de que sólo había n. Entonces no podemos aceptar que haya un número finito de números primos.