Unidad didáctica: Poner un suelo

Motivación:

Bricolaje Decoración

Una habitación cuadrada de 36 m² se va a recubrir usando losas cuadradas de 1.60 m² cada una (las medidas son aproximativas a escala de centésimas). ¿Cuántas losas se necesitan?

Experimentación:
Empezamos a poner losas:

2 losas: 36-2·1.6=36-3.2=32.8 m²  faltan por cubrir
3 losas: 36-3·1.6=36-4.8=31.2 m²  faltan por cubrir
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10 losas: 36-10·1.6=36-16=20 m²  faltan por cubrir
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20 losas: 36-20·1.6=36-32=4 m²  faltan por cubrir
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23 losas: 36-23·1.6=-0.8 m²  sobran

Conceptualización:
Como la habitación es cuadrada y las losas también los son, formamos grupos de losas que sean cuadrados perfectos:

1 losa (1x1): 36-1.6=34.4 m² faltan por cubrir
4 losas (2x2): 36-1.6·4=36-6.4= 29.6 m²
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16 losas (4x4): 36-1.6·16=36-25.6=10.4 m²
Los 10.4 m² que faltan hay que rellenarlos de otra forma, hay que partir losas.

Procesamiento:
16 losas son un cuadrado de 4x4 losas. La habitación tiene de lado 6 m y cada losa la raíz de 1.6, aproximadamente 1.2 m si hacemos un redondeo inferior (perdiendo unos 0.06 m=6 cm). Entonces, las cuatro losas son 4·1.2=4.8 m, cabe otra losa rebajando un poco, 5·1.2=6. Entonces el total de losas será 16+4+4+1=25. Si hacemos esto añadimos 2 losas más. Si corregimos el redondeo con dos cifras, el lado es 1.25 m, 4·1.25=5 m. Hay que recortar las últimas para hacer 8 cuadrados de 1x1, y con lo que sobra se ahorra una losa si usamos los recortes para hacer la última. Aún así son 24 y el resultado queda poco estético.

Mecanización:
Asumimos que las losas son de 1.25 m de lado, por tanto con cuatro losas por lado son 5 m y falta 1 m para los 6 m. Si partimos las losas grandes en losas cuadradas más pequeñas, pero lo más grandes posible, tienen que tener de lado un divisor de 100 cm y de 125 cm, es el máximo común divisor de ambos números:
mcd(100,125)=25
Las losas grandes se cortan en losas cuadradas de 0.25 m de lado y cada losa da 25 losas cuadradas más pequeñas de 0.0625  m²  . Para rellenar todo el espacio se necesitan 36:0.0625=576, 576:25=23.04 losas, serían por tanto 24 losas. Aunque se podría ajustar para obtener las 23 losas, cabe pensar que no es posible en la práctica obtener precisión de milímetros para hacer cortes.

Consolidación:
Ante el problema de recubrir una habitación cuadrada (de lado L en m) usando losas cuadradas (de lado l en m) de forma que obtengamos un resultado estético, procederemos de la siguiente manera:
1º) Dividir L² entre l², si no es exacta tomar el redondeo superior como primera aproximación del número de losas. Si es exacta, el cociente es el resultado buscado.
2º) Dividir L entre l, tomar el cociente entero, ci=Ent(L/l). El número de losas máximo es ci·ci+2ci+1.
3º) Si es posible dividir en cuadrados más pequeños las losas cuadradas y el recubrimiento es aceptable usando el máximo tamaño posible, calcular en cm el mcd(l , L-ci·l)=d.  Hay que cortar las losas en cuadrados de lado d cm. El número de losas pequeñas que salen de una grande es l²:d²=n, con l en cm
4º) El número final de losas grandes es el redondeo superior de (L²:d²):n, o sea, Ent(L²/l²)+1

Evaluación:
¿En qué casos se debe de dividir la losa en cuadrados y en qué casos es suficiente con rebajar la última fila y columna?
Si hay que dividir la losa en cuadrados más pequeños de lado d, este valor debe de ser suficientemente grande para que no queden losas demasiado pequeñas. Pero si hay que rebajar la última fila y columna debe de quedar suficientemente recortado para que no quede mal.
El número de losas necesarias N siempre cumplirá:

[Ent(L/l)]²<=N<=[Ent(L/l)+1]²

[Ent(L/l)]²<=Ent(L²/l²)+1<=[Ent(L/l)+1]²