Unidad Didáctica: La ecuación de 2º grado

«El hombre, dicen, es un animal racional. No sé por qué no se haya dicho que es un animal afectivo o sentimental. Y acaso lo que de los demás animales le diferencia sea más el sentimiento que no la razón. Más veces he visto razonar a un gato que no reír o llorar. Acaso llore o ría por dentro, pero por dentro acaso también el cangrejo resuelva ecuaciones de segundo grado.» Unamuno, Del sentimiento trágico de la vida

UNIDAD DIDÁCTICA: La ecuación de 2º grado 


(MOTIVACIÓN)
Juan tiene una parcela de terreno rectangular de 6m de largo por 5m de ancho, limitada por la parcela de Antonio como se ve en el gráfico. Juan necesita tener una parcela cuadrada por lo que acuerda con Antonio el recortar el largo de su parcela dándosela a Antonio y aumentar la misma superficie al ancho con el terreno que a cambio le de éste, de tal forma que consiga una parcela cuadrada. ¿Cuánto deben de recortar al largo y aumentar al ancho para que intercambien los mismos metros cuadrados?

Puesto que la parcela final es cuadrada: 
6-x=5+y,  y=1-x
Puesto que los terrenos intercambiados tienen el mismo área:
5x=(6-x)y, 5x=(6-x)(1-x), 5x=6-6x-x+x², x²-12x+6=0
Necesitamos resolver una ecuación de segundo grado.

(EXPERIMENTACIÓN)
En el caso concreto del problema podemos ir quitando poco a poco al largo del rectángulo y probamos si puede ser el ancho igual para formar el cuadrado comprobando si el área es 30.
x=0.1, largo=5.9, ancho=5.9, 5.9·5.9=34.81>30
x=0.2, largo=5.8, ancho=5.8, 5.8·5.8=33.64>30
x=0.3, largo=5.7, ancho=5.7, 5.7·5.7=32.49>30
x=0.4, largo=5.6, ancho=5.6, 5.6·5.6=31.36>30
x=0.5, largo=5.5, ancho=5.5, 5.5·5.5=30.25>30
x=0.6, largo=5.4, ancho=5.4, 5.4·5.4=29.16<30
La solución es un cuadrado cuyo lado está entre 5.4m y 5.5m

(CONCEPTUALIZACIÓN)
Si hemos recortado x en el largo entonces tenemos un cuadrado de lado 6-x, cuyo área tiene que ser 5·6=30, entonces la ecuación es:
(6-x)²=5·6, que despejando el cuadrado da:
6-x=(+/-)raíz(5·6), esto es, la media geométrica de los lados del rectángulo.
x=6(+/-)raíz(5·6), y=-5(+/-)raíz(5·6)

(PROCESAMIENTO)
Para resolver la ecuación x²-12x+6=0 hay que convertir esta en un cuadrado perfecto y pasar la parte numérica sobrante al segundo miembro.
x²-12x+6=x²-2·6x+36-30=(x-6)²-30=0
(x-6)²=30, x=6(+/-)raíz(30)

(MECANIZACIÓN)
Si consideramos los coeficientes como datos podemos obtener la fórmula que permite encontrar las soluciones:
a=1, b=-12, c=6
x²+bx+c=0
(x+b/2)²-(b/2)²+c=0
x+b/2=(+/-)raíz[((b/2)²-c]
x=-b/2(+/-)raíz[((b/2)²-c]
x=[-b(+/-)raíz[b²-4c]]/2
x=[12(+/-)raíz[144-24]]/2=(+/-)0.522.....
Si a es distinto de 1 se divide la ecuación por a, 
ax²+bx+c=0
x²+b/ax+c/a=0 y sustituyendo en la fórmula anterior se tiene la fórmula cuadrática general
x=[-b(+/-)raíz[b²-4ac]]/(2a)

(CONSOLIDACIÓN)
Entonces ante una ecuación de segundo grado ax²+bx+c=0 para resolverla hemos seguido el método de completar cuadrados:
Por ejemplo 2x²-6x-10=0
1) Dividimos la ecuación por el coeficiente a, en este caso 2
(2x²-6x-10=0):2---->x²-3x-5=0
2)  Cambiamos el coeficiente de x multiplicando y dividiendo por 2
x²-2(3/2)x-5=0
3) Sumamos y restamos el cuadrado del número que está multiplicado por 2 en el coeficiente de x
x²-2(3/2)x+(3/2)²-(3/2)²-5=0
4) Expresamos el cuadrado del binomio con los tres primeros términos y simplificamos los últimos y lo pasamos al segundo miembro
(x-(3/2))² =29/4
5) Despejamos el cuadrado
x=(3/2)(+/-)raíz(29/2)

(EVALUACIÓN)
Se ha encontrado un método general que resuelve cualquier ecuación de segundo grado. En la práctica se utiliza la fórmula cuadrática con los coeficientes a, b y c de la ecuación. Como la solución depende de la raíz, si el radicando es negativo no hay solución real. Si llamamos discriminante al radicando D=b²-4ac, tenemos el siguiente criterio sobre la existencia de soluciones:
Si D=0 hay una sola solución que se dice doble
SI D<0 no hay solución real
Si D>0 hay dos soluciones reales y distintas
Lo que se necesita es ampliar el dominio de los números reales para que siempre exista solución.