El teorema de Euler para los poliedros convexos

El ejercicio PISA se inscribe en la órbita del teorema de Euler para poliedros convexos.

En primer lugar hay que decir que el ejercicio requiere la capacidad de ver en tres dimensiones, tanto para imaginar los posibles cortes como para ver las partes ocultas del poliedro que resulta. ¿Qué posibilidades reales hay de obtener poliedros convexos diferentes al seccionar el cubo por un plano? ¿Cómo podemos sistematizar el estudio?

Un alumno que tenga que responder a este ejercicio en un test PISA, lo más probable es que se limite a responder sobre los poliedros que aparecen en la figura.

De los cinco poliedros que tiene la figura, empezando por el cubo, el segundo tiene una sección que es un triángulo, el tercero, un hexágono, el cuarto, otro hexágono y el quinto, un triángulo. No obstante hay que decir que también se pueden obtener secciones que son cuadriláteros o pentágonos. Siempre convexos.

Con ayuda de la capacidad de visualización espacial, imaginándo la parte oculta de los poliedros, por atrás, podemos hacer una tabla para contabilizar las caras, las aristas y los vértices. La relación entre estos tres elementos para cada poliedro viene establecida por el teorema de Euler:

caras+vértices=aristas+2