domingo, 10 de marzo de 2013

Unidad didáctica: Adivina el número que piensa Juan

Motivación
Juan piensa un número entre 1 y 10, le suma 5, al resultado lo multiplica por 3, y, al resultado le resta 4. Al final le da 23, ¿cuál es el número que pensó?
Desde el resultado hay que ir viendo las operaciones realizadas para averiguar el número.

Experimentación
Si el número pensado está entre 1 y 10 empezamos por probar el 5:
5+5=10
3·10=30
30-4=26
Como da un valor por encima del esperado, probamos con el 4:
4+5=9
3·9=27
27-4=23
El número pensado es el 4.

Conceptualización
Si el número tuviese un rango mayor sería más complicado llegar por tanteo.
Si x es el número pensado escribimos las expresiones algebraicas que representan las operaciones sin tener los resultados intermedios, solo el final:
x+5
3(x+5)
3(x+5)-4=23
Obtenemos una ecuación que hay que resolver volviendo para atrás
23+4=27
27/3=9
9-5=4

Procesamiento
Ahora resolver la ecuación es deshacer el camino pero es más fácil desde la expresión algebraica.
Si lo último fue restar 4, pues sumamos 4 en ambas partes,
3(x+5)-4+4=23+4
3(x+5)=27              (el 4 que está restando en la primera parte pasa sumando a la segunda)
El paso anterior fue multiplicar por 3, entonces dividimos por 3 en ambos lados,
(3(x+5))/3=27/3
x+5=9                    (el 3 que está multiplicando en la primera parte pasa dividiendo a la segunda)
Por último, como sumamos 5 entonces restamos esa cantidad,
x+5-5=9-5
x=4                        (el 5 que está sumando en la primera parte pasa restando a la segunda)

Mecanización
Si queremos hacer independiente el proceso de las operaciones iniciales que construyeron la ecuación podemos eliminar los paréntesis por la propiedad distributiva:
3(x+5)-4=23
3x+15-4=23
Simplificamos haciendo la resta
3x+11=23
El 11 que está sumando pasa restando
3x=23-11
Simplificamos haciendo la resta
3x=12
Y el 3 que multiplica a x pasa dividiendo
x=12/4
Simplificamos haciendo la división
x=4

Consolidación
Para resolver una ecuación de primer grado como la anterior debemos de aislar la x en el primer miembro de la misma, siguiendo los siguientes pasos:
1) Primero quitamos los paréntesis
3x+15-4=23
2) Las expresiones en x se ponen en la primera parte y los números en la segunda, cambiando las sumas y las restas por restas y sumas, respectivamente
3x=23-15+4
3) Se simplifican los términos en x y los números
3x=12
4) Se despeja x pasando el coeficiente al segundo miembro con la operación inversa
x=4

Evaluación
Comprobamos que x=4 es la solución
3(4+5)-4=3·9-4=27-4=23