Problema: Un error oportuno que explica el álgebra

Problema: Un profesor dice a un niño que tiene que añadir 12 a un número dado y dividir el resultado por 13. Pero el niño, que no presta atención, resta 13 del número dado y divide el resultado por 12. Se extraña, pues la respuesta es correcta. ¿Cuál es el número dado?

(X+12):13=(X+12)-(X-13)
X+12=13·25
X=313

Problema de un taller

Problema: En un taller de confección disponen de 4 piezas de tela de 50 m cada una. Con ellas van a confeccionar 20 trajes que necesitan 3 m de tela cada uno. Con el resto de la tela piensan hacer abrigos que necesitan 4 m cada uno. ¿Cuántos abrigos pueden hacerse? 

Multiplicar: Pensamiento regular directo
4·500=200 m total de tela
Multiplicar: Pensamiento regular directo
3·20=60 m tela para trajes
Restar: Pensamiento inverso
200-60=140 m sobran despues de hacer los trajes
Dividir: Pensamiento regular inverso
140:4=35 abrigos

El problema de doblar el telón con estructura

Problema: Un grupo de teatro tiene un telón cuadrado cuyo lado mide 8 m. y necesitan transportarlo en la parte trasera de una camioneta cuya base mide 2 m. de largo por 1 de ancho. Si deciden ir doblando el telón por la mitad ¿Cuántas veces será necesario doblar el telón para que quepa en ese espacio?

Hay que hacer 2 dobleces para que quepa de largo.

Hay que doblar 3 veces para que quepa de ancho.

En total 5 veces.

El problema de la herencia con estructura

PROBLEMA: Un padre de tres hijos dejó en herencia 1600 coronas. El testamento precisaba que el primogénito debía recibir 200 coronas más que el segundo y el segundo 100 coronas más que el último. ¿Qué cantidad recibió cada uno de los hijos? 

1600-100=1500
200+100=300
1500-300=1200
1200:3=400

1º 700
2º 500
3º 400

Problema con estructura de varias operaciones

Problema: Un repartidor hace tres rutas cada semana. La primera, de 120 km, la hace lunes y miércoles; la segunda, de 150 km, los martes; y la tercera, de 90 km, los jueves y los viernes. ¿Cuántos km recorre cada semana?

120·2=240
240+150+90=480

Problema con estructura de división

Problema: Pedro tiene 12 caramelos y los va a repartir en bolsas de 3 caramelos cada una, ¿cuántas bolsas puede hacer?

Problema con estructura de resta

Problema: Juan tiene "a" euros y tiene que pagar en una compra "b" euros, ¿cuánto le queda"

Otro problema con estructura de producto

Problema: En un vecindario hay 4 casas y cada una tiene 3 puertas, ¿cuántas puertas hay en total?

Las dos estructuras son válidas. En cada circulo blanco hay una unidad. El primer enlace múltiple es a las 4 casas y el segundo es, de cada casa, a las 3 puertas. Se puede imaginar la estructura desplegada. Los enlaces múltiples sólo se pueden poner cuando es regular la distribución, en este caso, las cuatro casas se pueden considerar idénticas y cada una tiene el mismo número de puertas.

Problema con estructura de producto

Problema: Juan tiene en los pantalones 2 bolsillos y en cada uno de ellos 3 monedas, ¿cuántas monedas tiene Juan?

Estructuras equivalentes para el producto

Se puede hacer con cualquiera de las dos estructuras. La de la izquierda asume un enlace por bolsillo y un enlace por moneda, conteniendo cada circulo blanco una unidad. El de la derecha supone cada enlace múltiple, el primero a los dos bolsillos y el segundo de cada bolsillo a las tres monedas.

Problema con estructura de la suma

PROBLEMA: Juan y Pedro son amigos, Juan tiene "a" hermanos y Pedro "b" hermanos, ¿cuántos hermanos tienen conjuntamente? 

Estructuras alternativas para la suma

La primera estructura asume los "a" hermanos agrupados en el círculo izquierda y los "b" hermanos en el derecho. Sólo hay un enlace a cada circulo.
La segunda asume que hay por defecto "a" enlaces a "a" círculos que tienen por defecto un hermano, y "b" enlaces a otros "b" círculos con un hermano por círculo.
Se puede usar cualquiera.

Un problema de álgebra

PROBLEMA: En una caja hay el doble de monedas que en otra. Si se pasan 7 monedas de la primera a la segunda caja, quedan en ambas el mismo número de monedas. ¿Cuántas monedas tenía al principio cada caja?

Un problema de repartos proporcionales

PROBLEMA: Tres peregrinos se encuentran en un cruce de caminos y se sientan a comer. Uno aporta cinco tortas, otro cuatro tortas, y el tercero, que no tiene tortas, paga a sus compañeros con nueve monedas. ¿Cómo deben distribuirse las monedas teniendo en cuenta que todos comen el mismo número de tortas? 

SUMAR: Pensamiento directo
DIVIDIR: Pensamiento inverso regular
RESTAR: Pensamiento inverso
MULTIPLICAR: Pensamiento directo regular

Son nueve tortas en total. Primero se dividen las nueve tortas entre los tres, sale a 3 tortas por peregrino, luego se resta el número de tortas que traían los peregrinos de 3 y es lo que le dan al tercer peregrino. Luego se dividen las 9 monedas entre 3 tortas y es lo que cuesta cada torta al tercer peregrino, sale a 3 monedas por torta. Luego se multiplica por 3 monedas lo que le aporta cada peregrino y sale lo que se tienen que repartir.

Estructura del LOGARITMO

PROBLEMA: ¿Durante cuántos días se debe de propagar un secreto pasando de cada persona a otras dos personas, cada día, para que ese último día haya 16 nuevas personas que conocen el secreto?

LOGARITMO: Pensamiento inverso regular recurrente

Cuatro días

Estructura de la RAÍZ

PROBLEMA: ¿A cuántas personas hay que contar un secreto para que si estas se lo cuentan a otras tantas personas, y esas igualmente a otras, y así sucesivamente, el cuarto día haya 16 nuevas personas que conocen el secreto?

RAÍZ: Pensamiento inverso irregular recurrente

A 2 cada vez

Estructura de la POTENCIA

PROBLEMA:  Una persona cuenta a otras dos un secreto. Al día siguiente estas dos lo cuentan a otras dos cada una, quienes a su vez, al día siguiente, se lo cuentan a otras dos cada una. Y así sucesivamente. ¿Cuántas nuevas personas conocerán el secreto el cuarto día?

POTENCIA: Pensamiento directo regular recurrente

2⁴=16

Estructura de la DIVISIÓN

PROBLEMA: En un grupo de tres amigos, todos con igual número de hermanos, tienen en conjunto 6 hermanos, ¿cuántos hermanos tiene cada uno de ellos?

DIVISIÓN: Pensamiento inverso regular

6:3=2

Estructura del PRODUCTO

PROBLEMA: En un grupo de 3 amigos, cada uno tiene dos hermanos, ¿cuántos hermanos tienen en conjunto?

PRODUCTO: Pensamiento directo regular

3·2=6

Estructura de la RESTA

PROBLEMA: En un árbol había 7 manzanas y se comieron 4 de ellas, ¿cuántas quedan?

RESTA: Pensamiento inverso

7-4=3

Estructura de la SUMA

PROBLEMA: Un árbol tiene dos ramas, de una cuelgan 4 manzanas y de otra 3 manzanas. ¿Cuántas manzanas tiene el árbol?

SUMA: PENSAMIENTO DIRECTO

4+3=7

Un problema de pensamiento "lateral" para iniciar las inecuaciones

PROBLEMA: Un manzano manzanas tenía. Al manzano subí y manzanas no comí. Al bajar manzanas no quedaron.

RAÍZ: Pensamiento inverso irregular reiterado

Hay que tener en cuenta el plural "manzanas" porque son los datos de partida. En el árbol había manzanas (2 o más). Manzanas no comí (comió 0 ó 1). Manzanas no quedaron (quedan 0 ò 1)

SOLUCIÓN: Había 2 manzanas y comió 1, quedando 1

Un problema de lógica

PROBLEMA: Alice, Bob y Charlie son tres hermanos muy honestos que siempre dicen la verdad. Están sentados en fila india, uno delante del otro: Alice; Bob; Charlie. Su padre les pone un sombrero de color azul o rojo a cada uno. Alice puede ver los sombreros de Bob y Charlie; Bob solo puede ver el de Charlie; y este último no puede ver ninguno. 
Su padre les dice: “Cada uno lleva un sombrero rojo o azul. Al menos uno de vosotros tiene un sombrero de color rojo”. 
Alice primero y luego Bob dicen que no saben el color de sus sombreros. ¿De qué color es el de Charlie?

RAÍZ: PENSAMIENTO INVERSO IRREGULAR REITERADO

HAY QUE PONERSE EN LA SITUACIÓN DE ALICE Y VER QUE POSIBILIDADES HAY CON LO QUE VE Y LA CONDICIÓN QUE DICE EL PADRE. LUEGO EN LA DE BOB CON LO QUE VE, LA CONDICIÓN, LO QUE DICE EL PADRE Y ALICE. LUEGO EN LA DE CHARLIE CON LO QUE VE, LA CONDICIÓN, LO QUE DICE EL PADRE, LO QUE DICE ALICE Y LO QUE DICE BOB


PADRE: CADA UNO LLEVA UN SOMBRERO ROJO O AZUL
PADRE: AL MENOS UNO LLEVA UN SOMBRERO ROJO
ALICE: NO SABE EL COLOR DE SU SOMBRERO

CONCLUSIÓN DE CHARLIE: ALICE VE QUE HAY ALGÚN SOMBRERO ROJO POR DELANTE, SINO EL SUYO TENDRÍA QUE SER ROJO

BOB: NO SABE EL COLOR DE SU SOMBRERO DESPUÉS DE ESCUCHAR A ALICE

CONCLUSIÓN DE CHARLIE: BOB VE QUE CHARLIE TIENE UN SOMBRERO ROJO PERO NO SABE SI EL SUYO ES AZUL O ROJO. SI VIESE QUE CHARLIE TENÍA UNO AZUL, POR LO QUE DIJO ALICE, EL SUYO SERÍA ROJO.

CHARLIE CONCLUYE QUE SU SOMBRERO ES ROJO

Un problema de razonar para iniciar el álgebra

Problema: Un hombre debe atravesar un río en una barca en la que sólo caben él y su gato, o él y el ratón, o él y los quesos. Si deja los quesos con el ratón, éste se los comerá, pero si deja al ratón con el gato, éste se comerá al ratón ¿Qué pude hacer para pasar al otro extremos del río a su gato, al ratón y quesos, sanos y salvos?

SUMAR: PENSAMIENTO DIRECTO
RESTAR: PENSAMIENTO INVERSO
Aquí sumar es juntar cosas y restar es quitar cosas, sin importar las cantidades pero sí las consecuencias

Evidentemente el hombre tiene que hacer tres viajes como mínimo. Sólo puede dejar juntos al gato con los quesos. Hace el primer viaje llevando a los ratones, vuelve de vacío y lleva al gato en el segundo viaje, pero vuelve con los ratones. En el tercer viaje lleva los quesos y vuelve de vacío para llevar los ratones. 

Operaciones:
H=hombre, R=ratones, Q=quesos, G=gato, orillas A y B
G+R=G, H(G+R)=H(G+R)
R+Q=R, H(R+Q)=H(R+Q)
G+Q=G+Q, H(G+Q)=H(G+Q)
H(G+R+Q)-H(Q)=G+R=G
H(G+R+Q)-H(G)=R+Q=R

Inicio: A(H(G,Q,R)) —— B()

Viaje 1: A(G+Q) —H(R)àB()

Vuelta viaje 1: A(G+Q)ßH()—B(R)

Viaje 2: A(Q) —H(G)àB(R)

Vuelta viaje 2: A(Q)ßH(R)—B(G)

Viaje 3: A(R)—H(Q)àB(G)

Vuelta viaje 3: A(R)ßH()—B(G+Q)

Viaje 4: A()—H(R)àB(G+Q)

Final: A()——B(H(G+Q+R))

Un problema absurdo

PROBLEMA: En un barco hay 26 corderos y 10 cabras. ¿Cuál es la edad del capitán?

Aunque en el enunciado hay datos numéricos, lo primero es ver si hay relación entre los mismos con lo que se pide averiguar. En este caso no hay ninguna coherencia entre la carga que lleva el barco y la edad del capitán. 

Un problema clásico (Euler)

PROBLEMA: Un padre de tres hijos dejó en herencia 1600 coronas. El testamento precisaba que el primogénito debía recibir 200 coronas más que el segundo y el segundo 100 coronas más que el último. ¿Qué cantidad recibió cada uno de los hijos?

PASADO: RESTA
CAMBIO: DIVISIÓN
REALIDAD: SUMA

HAY QUE IMAGINAR QUE SE ESTÁ ENTREGANDO LA HERENCIA A LOS HIJOS: DEL TOTAL DE LA HERENCIA HAY QUE DESCONTAR LO QUE SE LE DA AL SEGUNDO Y AL PRIMOGÉNITO DE MÁS, DESPUÉS SE REPARTE LOS QUE QUEDA EN PARTES IGUALES Y, FINALMENTE, SE SUMA CADA PARTE A LO QUE SE LE DIO YA AL SEGUNDO Y AL PRIMOGÉNITO PARA SABER LO QUE LLEVA CADA UNO.

Pensamiento:
Inverso=Del total de la herencia hay que descontar las 100 coronas de más que hay que dar al segundo. Es una posición del pasado de lo que había de herencia.
Directo=Si al segundo se le dan 100 y al primogénito hay que darle 200 más que a este, entonces al primogénito hay que darle 300 coronas. Es lo que realmente hay que dar al primogénito de más.
Inverso=De lo que queda de la herencia hay que descontar 300 coronas que hay que darle ya al primogénito. Es una posición del pasado de lo que había de herencia.
Inverso regular=De lo que queda de la herencia, una vez desquitado lo que se dio al primogénito y al segundo, se hace un reparto por igual a los tres, ya no hay deferencias y se acaba de pagar el total de la herencia. Es el ciclo de repartir en el que todos llevan la misma parte.
Directo=Averiguamos lo que se lleva el segundo, sumando las 100 coronas con lo que le toca en el reparto igualitario. Es lo que realmente se lleva el segundo.
Directo=Averiguamos lo que lleva el primogénito, sumando las 300 coronas con lo que le toca en el reparto. Es lo que realmente se lleva el primogénito.

RESTA (1600-100=1500), SUMA (100+200=300), RESTA (1500-300=1200), DIVIDE (1200:3=400), SUMA (400+100=500), SUMA (500+200=700)

Solución: 400, 500 y 700 coronas

Potencias y exterior

PROBLEMA DE APLICACIÓN DE POTENCIAS
Hay 7 casas: en cada casa hay 7 gatos, cada gato mata 7 ratones, cada ratón se  comió 7 espigas de trigo. ¿Cuántas espigas de trigo se comieron en total los ratones?

Exterior: Potencias

¿Por qué es exterior? Exterior significa que está fuera de algo y para hablar de lo que está fuera hay que establecer clasificaciones. En este caso los gatos y ratones están dentro de las casas (que definen lo que está dentro y lo que está fuera) pero los ratones van afuera a comer las espigas de trigo (suponemos que están en el campo). Los gatos se los comen bien dentro o bien fuera de estas. Pero, para contabilizar casas hay que hacerlo desde fuera de estas. Y para contabilizar los gatos que hay en cada casa, los ratones que come cada gato o las espigas que come cada ratón, hay que hacer una investigación de "campo".

PRIMERO HAY QUE CONTAR LOS GATOS QUE HAY EN LAS CASAS, LUEGO LOS RATONES QUE SE COMEN LOS GATOS Y, FINALMENTE, LAS ESPIGAS QUE SE COMEN LOS RATONES.

Exterior: Es un proceso de recuento directo, en cada paso hay que hacer la misma multiplicación, multiplicar por 7, luego es un pensamiento regular reiterado, 7·7·7·7=7⁴=2041 espigas

Problema de multiplicaciones y divisiones

Problema: Las dimensiones del césped de un campo de fútbol son, como máximo, de 110 por 90 metros. Si un monte de 2000 hectáreas se quema en un incendio, ¿a cuántos campos de fútbol equivale, aproximadamente, la superficie quemada? 

INTERIOR: MULTIPLICAR

CAMBIO: DIVIDIR

LO PRIMERO ES COMPARAR EL INTERIOR DEL CAMPO DE FÚTBOL Y DEL MONTE, DARSE CUENTA QUE ESTÁN EN DISTINTAS UNIDADES Y PONERLO EN LAS MISMAS UNIDADES. DESPUÉS FRAGMENTAR EL MONTE EN CAMPOS DE FÚTBOL, HACER ESTE TRABAJO DE IR CAMBIANDO MONTE QUEMADO POR CAMPO DE FÚTBOL, E IR CONTABILIZANDO CUÁNTOS CABEN.



INTERIOR: La superficie de un campo de fútbol se obtiene multiplicando el largo por el ancho, 110·90=9900 m2

INTERIOR: La superficie del monte quemado es de 2000·10000=20000000 m2

CAMBIO: El reparto de la superficie del monte en campos de fútbol se hace dividiendo la superficie del monte entre la de un campo de fútbol, 20000000:9900=2020,202... Caben 2020 campos de fútbol de los grandes y pico.

Problema de logaritmos

Problema: Un grupo de teatro tiene un telón cuadrado cuyo lado mide 8 m. y necesitan transportarlo en la parte trasera de una camioneta cuya base mide 2 m. de largo por 1 de ancho. Si deciden ir doblando el telón por la mitad ¿Cuántas veces será necesario doblar el telón para que quepa en ese espacio?

REALIDAD=SUMA
FUTURO=LOGARITMO

HAY QUE HACER DOS COSAS CON LA MENTE: LA CONDUCTA A SEGUIR ES, PRIMERO DOBLARLO A LA MITAD PARA QUE QUEPA DE LARGO Y DESPUÉS DOBLARLO PARA QUE QUEPA DE ANCHO. 

FUTURO: Cada vez que se dobla se divide a la mitad la longitud. Si el largo son 2 m hay que hacer 2 divisiones, 8:2=4; 4:2=2. 

FUTURO: Si el ancho es 1 m hay que hacer 3 divisiones, 8:2=4; 4:2=2; 2:2=1. 

REALIDAD: El total de divisiones es la suma de las dos acciones: 2+3=5

Nota: No importa el orden en el cómo se hagan las dobleces.

Un problema de varios pasos

PASADO=RESTA
INTERIOR=PRODUCTO
CAMBIO=DIVISIÓN

Problema: En un taller de confección disponen de 4 piezas de tela de 50 m cada una. Con ellas van a confeccionar 20 trajes que necesitan 3 m de tela cada uno. Con el resto de la tela piensan hacer abrigos que necesitan 4 m cada uno. ¿Cuántos abrigos pueden hacerse?

HAY QUE HACER CUATRO COSAS (CON LA MENTE),  VER EL INTERIOR DE LAS PIEZAS DE TELA PARA CALCULAR LOS METROS DE TELA DE QUE SE DISPONE, SUPONER QUE SE REALIZAN LOS TRAJES Y VER EL INTERIOR DE LOS TRAJES PARA CALCULAR LOS METROS DE TELA QUE SE EMPLEARON, VOLVER AL PASADO PARA CALCULAR EL NEXO ENTRE LA TELA EMPLEADA EN LOS TRAJES Y LA TELA QUE HABÍA EN LAS PIEZAS, QUE SERÁN LOS METROS DISPONIBLES PARA HACER ABRIGOS, Y, FINALMENTE, PONERSE EN LA TAREA DE IR HACIENDO LOS ABRIGOS Y CONSUMIENDO LA TELA QUE QUEDA HASTA QUE SE ACABE.

INTERIOR: Hay 4 piezas de tela y cada pieza contiene en su interior 50 m. Todas tienen la misma cantidad, es una operación DIRECTA REGULAR, 4·50=200 m de tela en total.

INTERIOR: Cada uno de los 20 trajes que se van a confeccionar utiliza en su interior 3 m de tela. Suponemos que ya se confeccionaron, averigüemos los metros de tela empleados. Todos tienen la misma cantidad de tela, es una operación DIRECTA REGULAR, un producto,  3·20=60 m de tela se emplearán para los trajes.

PASADO: Si de la tela disponible se quita la que se emplea para hacer los trajes, suponiendo que ya pasó el hecho de que se hicieron los trajes, para saber la tela con la que se cuenta ahora es una operación INVERSA, una resta, 200-60=140 m sobran para hacer los abrigos.

CAMBIO: Todos los abrigos usan 4 m de tela. Si se piensa en la tarea de confeccionar los abrigos, cada 4 m empleados se cambia y se  utilizan otros 4 m, y así se va descontando los metros y contabilizando los abrigos confeccionados, es una operación INVERSA REGULAR, una división, 140:4=35 abrigos.

Un problema de dos pasos

PROBLEMA: Si una caja de galletas tiene 6 paquetes y cada uno de estos tiene 12 galletas, y se quieren repartir entre 9 niños, ¿cuántas galletas le tocan a cada uno de ellos?

HAY QUE HACER DOS COSAS (CON LA MENTE), VER EL INTERIOR DE LA CAJA PARA CONTAR CUANTAS GALLETAS HAY Y HACER EL TRABAJO DE REPARTIRLAS EN IGUAL CANTIDAD.

INTERIOR (contabilizar el numero total de galletas que hay dentro de la caja): Dentro de la caja de galletas hay 6 paquetes y cada uno tiene 12 galletas, calcular el número de galletas que hay en la caja con esta estructura es una operación "directa y regular", todos los paquetes tienen el mismo número de galletas, sería sumar 6 veces 12, por lo tanto hay que multiplicar, 6·12=72 galletas.

CAMBIO (hacer la tarea de repartir igual número de galletas entre los niños hasta que se repartan todas): El reparto de las 72 galletas entre los nueve niños es de igual número de galletas por niño, se hace el proceso de ir dando 9 galletas,  una a cada niño y cambiando al siguiente, comprobando que todos llevan la misma cantidad, es una operación "inversa regular", por lo tanto es una división, 72:9=8 galletas por niño. No sobra ninguna galleta porque la división es exacta.

HAY QUE USAR DOS OPERACIONES OPUESTAS EN EL FRACTAL: PRODUCTO-DIVISIÓN (Interior, Estructura, Lo mismo-Proceso, Tarea, Cambio) 

El fractal del APC a través de las operaciones aritméticas

H_j(E_i),  =((i,H_j-1(E₁)), (i,H _j-1(E₂)), (i,H _j-1(E₃)), (i,H _i-1(E₄)), (i,H _j-1(E₅)), (i,H _j-1(E₆)), (i,H _j-1(E₇)))

dimensión fractal log₃7=

DIRECTAS: SUMA, PRODUCTO, POTENCIA
INVERSAS: RESTA, DIVISIÓN, RAÍZ, LOGARITMO
RECURRENTES: POTENCIA, RAÍZ, LOGARITMO
DUALES: RESTA-LOGARITMO, PRODUCTO-POTENCIA, DIVISIÓN-RAÍZ
OPUESTAS: SUMA-RESTA, PRODUCTO-DIVISIÓN, POTENCIA-RAÍZ+LOGARITMO
COMPLEMENTARIAS: RESTA-DIVISIÓN, PRODUCTO-RAÍZ, POTENCIA-LOGARITMO

COMPLEMENTARIEDAD DE LAS PRUEBAS DE LAS OPERACIONES ARITMÉTICAS

Las pruebas son complementarias desde los conceptos de particularidad y generalidad.

La resta es un caso particular de la división: c-a=b <=> c=a+b <=> c=a·1+b, es la prueba de la división de Euclides, haciendo una división incompleta porque b puede ser divisible por a, siendo c el dividendo, a el divisor, el cociente 1 y el resto b. Reciprocamente, la prueba de la división es el caso general de la prueba de las resta: D=d·c+r <=> D-r=d·c, se comprueba que la división está bien hecha si al restar el dividendo del resto da un múltiplo del divisor.

La múltiplicación tiene una prueba aproximativa que puede considerarse un caso particular de la prueba de la raíz: 12·15=180, entra dentro de lo esperado si se acota inferiormente con 12²=144, y superiormente con 15²=225, es decir 180=12²+r, y, 180=15²-s. La prueba de la raíz es el caso general, raiz(180,2)= 12²+34.

La potencia tiene como prueba la posibilidad de agrupar potencias más pequeñas factorizando la base: 12²=12·12=144, se comprueba haciendo, 12²=(3·2²)²=3²·2⁴=9·16=144. El logaritmo se obtiene factorizando el número sobre la base, con divisiones sucesivas, y se comprueba sobre la potencia: log₄64=3 <=> 4³=64

Esto apunta hacia la complementariedad de los estilos del APC.

LAS PRUEBAS DE CORRECTITUD DE LAS OPERACIONES ARITMÉTICAS

En lo que sigue se considera que las operaciones son manuales y con naturales.

SUMA

La suma no tiene una prueba de correctitud fiable, la única opción es revisar las operaciones dígito a dígito.

RESTA

La resta se comprueba con la suma, se hace sobre la misma operación de abajo a arriba. Se suma el resultado a sustraendo y tiene que dar el minuendo.

 452

-361

------

 091

MULTIPLICACIÓN

La multiplicación no tiene una prueba fiable. Se puede hacer una acotación del resultado redondeando los multiplicandos por defecto y por exceso. Por ejemplo,
34·56=1904; 34·50<34·56<40·56

DIVISIÓN

La división tiene la regla de EUCLIDES, D=d·c+r, se basa en la multiplicación y en la suma.

POTENCIA
La potencia no tiene prueba fiable, la opción es hacer potencias sobre la factorización de la base y después multiplicar resultados. Por ejemplo, 
12³=1728=(3·2²)³=3³·2⁶=27·64=1728

RAÍZ

La raíz tiene una prueba a través de la potencia y el resto: 

n√(a)=b con resto c⟺a=bⁿ+c

LOGARITMO

El logaritmo tiene la prueba a través de la potencia, 

log_a(b)=c⟺a^c=b
se calcula la potencia y se comprueba.

APLICACIÓN DEL APC A LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ARITMÉTICOS

Problema 1: En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 l, 360 l, y 540 l. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales. Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se puedan envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el número de garrafas que se necesitan.

Es un problema INVERSO porque se va de la cantidad total de los toneles a la menor cantidad de cada garrafa. Es REGULAR porque todas las garrafas son del mismo tamaño. No es reiterado porque no hay más que un nivel, de los toneles a las garrafas.  No hay diferencias en los tamaños de las garrafas aunque si en el contenido inicial de los toneles. Hay que utilizar una TÁCTICA  para conseguir el objetivo de repartir el contenido de los toneles. Es un problema que se resuelve con la operación de DIVIDIR (estilo PERFECCIONISTA).

El contenido de cada garrafa tiene que ser un divisor común de los tres números, correspondientes al contenido de los toneles. Además como la capacidad de las garrafas debe ser máxima es un máximo común divisor de los tres números: m.c.d.(250, 360, 540)=10 l. Si se hace el reparto: 250:10=25 garrafas del primero tonel; 360:10=36 del segundo; 540:10=54 del tercero. En total: 115 garrafas.

Problema 2: Una matrioska es un souvenir típico de Rusia, y consiste en una muñeca que contiene en su interior otra de igual forma pero algo más pequeña, y así sucesivamente. El volumen de cada muñeca es 2/3 el de la anterior. Si la muñeca mayor ocupa 360 cm³ , ¿cuántas muñecas hay si la más pequeña ocupa 31’6 cm³ ? 

Es un problema INVERSO porque hay que ver cómo se va desde la matrioska grande a la pequeña reduciendo su tamaño. Es REGULAR porque las matrioskas van reduciendo su tamaño regularmente y es REITERADO porque hay varios niveles. Hay que utilizar una ESTRATEGIA para contabilizar cuántas veces se pueden meter unas muñecas dentro de otras hasta llegar a la más pequeña. Es un problema de LOGARITMOS (estilo ESTRATEGA).

Cada muñeca va reduciendo su tamaño en 2/3, es 1´5 veces más pequeña que la anterior. Se divide sucesivamente por 1´5 o se multiplica sucesivamente por 2/3, que es lo mismo, y se cuenta el número de veces que se puede hacer hasta llegar a 31´6. Entonces: 360·2/3=240; 240·2/3=160; 160·2/3=320/3; (320/3)·(2/3)=640/9; (640/9)·(2/3)=1280/27; (1280/7)·(2/3)=2560/81≈31´6 cm³ . En total hay 7 matrioskas.

Problema 3: Un albañil utilizó 4900 baldosas cuadradas de 20 cm. de lado para cubrir una habitación cuadrada. ¿Cuántos metros mide el lado de la habitación?

Es un problema INVERSO porque parte del total  de baldosas cuadradas que se van a poner en el suelo en filas y columnas. Es IRREGULAR porque no se tiene a priori el número de filas, puede variar en la aproximación de la solución. Es REITERADO, como es cuadrada la habitación, habrá igual número de filas y de columnas, y el número de baldosas será el producto de filas por columnas. Es un problema de RAÍCES CUADRADAS (estilo METÓDICO).

Se empieza suponiendo una cantidad de filas y columnas idénticas: filas=20, columnas=20, baldosas=202=400; filas =50, columnas=50, baldosas=2500;  filas=60, columnas=60, baldosas=3600; filas=60, columnas=70, baldosas=4900. Raíz(4900,2)=70. La longitud del lado de la habitación cuadrada serán las 70 baldosas que hay en una fila por 20 cm, 70·20=140 cm.

OPERACIÓN MENTAL vs OPERACIÓN ARITMÉTICA

SUMA:
1) Se tienen 7 naranjas y se juntan con 4 manzanas, ¿cuántas naranjas son?
No se pueden RELACIONAR, entonces solo hay 7 naranjas.
2) Se tienen 7 naranjas y se juntan con 3 naranjas, ¿cuántas naranjas son?
Sí se pueden RELACIONAR, entonces hay 7+3=10 naranjas

PARA SUMAR HAY QUE VER SI SE PUEDEN RELACIONAR LAS COSAS QUE SE JUNTAN

RESTA:
1) Se tienen 6 naranjas y se comen 3 manzanas, ¿cuántas naranjas quedan?
No se puede establecer un nexo entre comer manzanas y averiguar cuantas naranjas quedan. No se sabe si se han comido o no naranjas, en el caso de que no, quedarían 6.
2) Se tienen 6 naranjas y se comen 2 naranjas, ¿cuántas naranjas quedan?
La pregunta es pertinente, la respuesta es 6-2=4 naranjas, el nexo entre las 4 naranjas que quedan y las 6 que había son las 2 que se comieron.

PARA RESTAR HAY QUE VER SI SE PUEDE ESTABLECER UN NEXO ENTRE LO QUE HAY Y LO QUE QUEDA CON LO QUE SE QUITA

MULTIPLICACIÓN:
1) Se tienen 4 cajas, en la primera hay 3 naranjas, en la segunda otras 6, en la tercera 5 y en la cuarta 7, ¿cuántas naranjas hay en total en las cajas?
No hay la misma cantidad en todas las cajas por lo tanto para calcular el total de naranjas no hay más remedio que sumar el contenido de cada una de ellas, 3+6+5+7= 21 naranjas.
2) Se tienen 4 cajas y en cada una de ellas hay 5 naranjas, ¿cuántas naranjas hay en total?
Todas las cajas tienen el mismo número de naranjas, por lo tanto son 4 veces 5 naranjas, la solución es la multiplicación de estos dos números, 4·5=20 naranjas.

PARA MULTIPLICAR HAY QUE VER EL PARECIDO DE CADA UNIDAD, SI TODAS LAS UNIDADES SON EQUIVALENTES, ESTO ES, SI CONTIENEN EL MISMO NÚMERO DE ELEMENTOS 

DIVISIÓN:
1) Se tienen 22 naranjas y se reparten entre 4 niños de forma que cada uno recibe una naranja más que el anterior, ¿cuántas naranjas recibe cada uno?
No reciben la misma cantidad cada uno, reciben diferente, la opción es repartir inicialmente 1, 2, 3 y 4, en total 10 naranjas y las 12 que quedan dan para 3 por niño, en total 4, 5, 6 y 7, que hacen las 22.
2) Se tienen 22 naranjas y se reparten entre 4 niños de forma que cada uno recibe el mismo número de naranjas, ¿cuánto recibe cada uno?
Como no hay diferencia en lo que recibe cada uno, todos llevan la misma cantidad, se dividen las 22 naranjas entre 4 y sale a 5 naranjas por niño, y sobran 2. Se pueden repartir cada naranja sobrante a la mitad y se le da a cada niño 4’5 naranjas.

PARA DIVIDIR HAY QUE VER SI NO HAY DIFERENCIA EN EL REPARTO, SI TODAS LAS PARTES RECIBEN LA MISMA CANTIDAD

POTENCIA: 
1) Se tienen 4 camiones, en los dos primeros hay en cada uno 3 cajas conteniendo 6 naranjas cada una, en los dos siguientes hay 4 cajas conteniendo 5 naranjas cada una, ¿cuántas naranjas hay?
Las naranjas de cada camión no son las mismas, los dos primeros camiones contienen el mismo número de cajas y de naranjas en cada una y, los dos siguientes también contienen igual número de cajas y de naranjas cada una. Por tanto hay que hacer por separado el computo: 2·3·6+2·4·5=36+40=76 naranjas.
2) Se tienen 4 camiones, en cada uno hay 4 cajas conteniendo cada una 4 naranjas, ¿Cuántas naranjas hay?
No hay que separar el cómputo, todo forma una unidad homogénea, los camiones tienen el mismo número de cajas y estas de naranjas, además, contienen uniformemente las mismas cantidades de camiones, cajas y naranjas. El total de naranjas es 4·4·4=43=64.

PARA CALCULAR UNA POTENCIA HAY QUE COMPROBAR SI EL CONJUNTO NO HAY QUE SEPARARLO, SI CONSTITUYE UNA UNIDAD UNIFORME EN TODAS SUS DIMENSIONES

RAÍZ:
1) Se quieren repartir 76 naranjas en camiones, en cada camión hay cajas y cada caja puede contener un número determinado de naranjas, ¿cuántos camiones, cajas en cada camión y naranjas en cada caja hay que poner?
Lo primero es darse cuenta de que no hay un reparto equilibrado necesariamente, no se sabe las necesidades que hay, puede haber distintos camiones, distintas cajas por camión y distintas naranjas por caja. Esto lleva a hacer un reparto arbitrario y hay muchas opciones. 
2) Se quieren repartir 64 naranjas en camiones que contienen cajas para llevar las naranjas, el número de camiones, cajas y naranjas por caja deben de ser iguales, ¿cuántas naranjas hay por caja, cajas por camión y camiones se necesitan?
Ahora hay un reparto equilibrado, se necesitan igual número de camiones que de cajas por camión, que de naranjas por caja; se empieza por una cantidad común y se comprueba si el cálculo de naranjas da el total o falta, o sobra. Si fuese 2 el número común, serías 2³=8 naranjas, aun faltaría, si fuese 3 serían,  3³=27 naranjas, aún falta, si fuesen 4 sería, 4³=64 naranjas, el número total. La RAÍZ(64;3) =4. Se necesitan 4 camiones, 4 cajas por camión y 4 naranjas por caja.

PARA CALCULAR UNA RAÍZ  HAY QUE COMPROBAR QUE LO QUE HACE FALTA SEA COMÚN EN TODOS LOS NIVELES

LOGARITMO:
1) Se tienen 60 naranjas que se van a repartir en cinco partes iguales, cada parte en cuatro partes iguales, y así sucesivamente disminuyendo una vez el número de partes cada vez, ¿cuántas divisiones se pueden hacer hasta que quede una sola naranja?
Las divisiones de las partes no son iguales, entonces en cada caso hay que dividir por un número diferente comprobando que no se pase de 1. Se divide 60:5=12, ahora 12:4=3 y 3:3=1. Se pueden hacer tres divisiones.
2) Se tienen 625 naranjas, se dividen en cinco partes y cada parte se vuelve a dividir en cinco partes, y así sucesivamente, ¿cuántas divisiones se pueden hacer hasta quedar con una sola naranja?
El número por el que se divide siempre es el mismo, 625 se puede repartir en 5 partes, por lo tanto hay que dividir sucesivamente por 5 hasta que quede sólo una naranja, que se supone que ya no se va a repartir. Entonces 625:5=125; 125:5=25; 25:5=5; 5:5=1, cuatro divisiones, es decir, el log_5⁡(625)=4.

PARA CALCULAR UN LOGARITMO HAY QUE COMPROBAR QUE CADA DIVISIÓN DE CADA PARTE SE HAGA EN IGUAL NÚMERO DE PARTES E IR VIENDO SI SOBRA SUFICIENTE EN CADA PARTE PARA REPARTIR

APRENDIZAJE DE LA RAIZ

El aprendizaje de la RAÍZ: La raíz es una operación INVERSA de la potencia, a partir del resultado de la potencia, el radicando, y del exponente, el índice, hay que averiguar la base de la potencia, el resultado de la raíz. No es repetida en el sentido de que haya que dividir repetidamente por un mismo número porque precisamente es lo que se busca, lo que se puede hacer es tantear, de forma IRREGULAR, potencias que acoten el radicando. En ese sentido al utilizar potencias es una operación REITERADA. Si se quieren juntar 343 € en el tercer paso, consiguiendo en cada paso multiplicar por una cantidad fija lo anteriormente conseguido, pues sería empezando por juntar siete euros y en cada paso ganar siete veces más que en el anterior.

·       El Metódico se ocupa de la Permanencia, completa la lista de los resultados obtenidos, usa el pensamiento INVERSO IRREGULAR REITERADO,  generaliza en un método. Por ejemplo: En la fiesta de cumpleaños de mi hermano pequeño había 128 caramelos para repartir. Después del reparto cada niño tenía tantos caramelos como niños había. Si sobraron 7 caramelos, ¿cuántos niños había? Respuesta: El primer paso es descontar los 7 caramelos que sobran, 128-7=121. Ahora se supone una cantidad de niños y de caramelos y se multiplica hasta llegar a 121; suponiendo que hay 5 niños y son 5 caramelos por niño, serían 25 caramelos, queda corto; aumentamos a 10 niños y 10 caramelos por niño, son 100 caramelos, queda corto; aumentamos a 12 niños y caramelos, son 144 caramelos, se pasa; si fuesen 11 niños, y 11 caramelos por niño, da 11·11=121 caramelos, justo lo que se repartió.

UNIDAD DIDÁCTICA: ¿Cómo multiplicar a mano?

MOTIVACIÓN: El INTERÉS de multiplicar está en poder avanzar más rápido en las sumas cuando se repite el sumando. ¿Cuántas ruedas hay en 10 coches? Un coche tiene 4 ruedas, luego se suman las 4 ruedas 10 veces, 4+4+4+4+4+4+4+4+4+4=40.

FUNDAMENTO: La IDEA para multiplicar rápido estaría en contar de tanto en tanto, en lugar de uno en uno. En el ejemplo anterior se cuenta de 4 en 4 ruedas hasta 10 veces, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40. También se puede contar de 1 en 1 rueda por ronda de coches, que sería lo mismo que contar de 10 en 10 coches cuatro veces, 10, 20, 30, 40.

ESTRUCTURA: El CONCEPTO de multiplicación como suma repetida tiene que permitir multiplicar dos números cualesquiera. Para empezar se puede usar la propiedad conmutativa, es lo mismo 30·4 que 4·30, por lo tanto será mejor contar de 30 en 30, 4 veces, 30, 60, 90, 120. Lo que se observa es que en el recuento de tanto en tanto se reutiliza el recuento de por unidades, para ello se debe de hacer una descomposición del número en unidades, decenas, centenas,…, y se hace el recuento independiente. Esto sería la propiedad distributiva. Por ejemplo 5·36= 5·30+5·6. El recuento de 5 veces 30 es, 30, 60, 90, 120, 150 y el de 5 veces 6, 6, 12, 18, 24, 30. Entonces hay que sumar 150 y 30, 150+30=180

TÁCTICA: Para PROFUNDIZAR en cómo hacer la operación de multiplicar, hay que descomponer multiplicando y multiplicador. Por ejemplo para multiplicar 25·346 se considera, 25=20+5 y 346=300+40+6. Entonces 25·346=(20+5)·(300+40+6)=20·300+20·40+20·6+5·300+5·40+5·6=2·10·3·100+2·10·4·10+2·10·6+5·3·100+5·4·10+5·6=6000+800+120+1500+200+30=8650

TÉCNICA: Para AUTOMATIZAR las operaciones hay que dominar los productos de los diez primeros números. Para ello se memorizan las tablas de multiplicar:

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	0	3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	0	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	0	6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	0	7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	0	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	0	9	18	27	36	45	54	63	72	81

Entonces 25·346 se puede hacer con ayuda de las tablas, la del 2 y la del 5. Se añaden los ceros oportunos.

20·6=120

20·40=800

20·300=6000

5·6=30

5·40=200

5·300=1500

La suma de todos los resultados es 8650

MÉTODO: El PROCEDIMIENTO para multiplicar se puede hacer conjuntamente con la suma final poniendo un número sobre el otro, el multiplicando y el multiplicador. Se empieza por las últimas cifras y se van colocando los resultados de las multiplicaciones acumulando lo que se lleva.

		3	4	6
		x	2	5
	1	7	3	0
+	6	9	2	0
	8	6	5	0

ESTRATEGIA: ¿Cómo COMPROBAR que la operación del multiplicar está bien hecha? No hay una prueba fiable 100% que diga que la operación está bien hecha. Hay la prueba del 9 pero no es segura. La opción es repasar las operaciones individuales. Hoy en día hay calculadoras que nos confirman que está bien hecha. Se puede hacer un tanteo de resultados por exceso y por defecto, 25·346 estará entre 20·300=6000 y 30· 400=12000. Se puede afinar más, estará entre 25·300=7500 y 25·400=10000.