Problema de multiplicaciones y divisiones

Problema: Las dimensiones del césped de un campo de fútbol son, como máximo, de 110 por 90 metros. Si un monte de 2000 hectáreas se quema en un incendio, ¿a cuántos campos de fútbol equivale, aproximadamente, la superficie quemada? 

INTERIOR: MULTIPLICAR

CAMBIO: DIVIDIR

LO PRIMERO ES COMPARAR EL INTERIOR DEL CAMPO DE FÚTBOL Y DEL MONTE, DARSE CUENTA QUE ESTÁN EN DISTINTAS UNIDADES Y PONERLO EN LAS MISMAS UNIDADES. DESPUÉS FRAGMENTAR EL MONTE EN CAMPOS DE FÚTBOL, HACER ESTE TRABAJO DE IR CAMBIANDO MONTE QUEMADO POR CAMPO DE FÚTBOL, E IR CONTABILIZANDO CUÁNTOS CABEN.



INTERIOR: La superficie de un campo de fútbol se obtiene multiplicando el largo por el ancho, 110·90=9900 m2

INTERIOR: La superficie del monte quemado es de 2000·10000=20000000 m2

CAMBIO: El reparto de la superficie del monte en campos de fútbol se hace dividiendo la superficie del monte entre la de un campo de fútbol, 20000000:9900=2020,202... Caben 2020 campos de fútbol de los grandes y pico.

Un problema de dos pasos

PROBLEMA: Si una caja de galletas tiene 6 paquetes y cada uno de estos tiene 12 galletas, y se quieren repartir entre 9 niños, ¿cuántas galletas le tocan a cada uno de ellos?

HAY QUE HACER DOS COSAS (CON LA MENTE), VER EL INTERIOR DE LA CAJA PARA CONTAR CUANTAS GALLETAS HAY Y HACER EL TRABAJO DE REPARTIRLAS EN IGUAL CANTIDAD.

INTERIOR (contabilizar el numero total de galletas que hay dentro de la caja): Dentro de la caja de galletas hay 6 paquetes y cada uno tiene 12 galletas, calcular el número de galletas que hay en la caja con esta estructura es una operación "directa y regular", todos los paquetes tienen el mismo número de galletas, sería sumar 6 veces 12, por lo tanto hay que multiplicar, 6·12=72 galletas.

CAMBIO (hacer la tarea de repartir igual número de galletas entre los niños hasta que se repartan todas): El reparto de las 72 galletas entre los nueve niños es de igual número de galletas por niño, se hace el proceso de ir dando 9 galletas,  una a cada niño y cambiando al siguiente, comprobando que todos llevan la misma cantidad, es una operación "inversa regular", por lo tanto es una división, 72:9=8 galletas por niño. No sobra ninguna galleta porque la división es exacta.

HAY QUE USAR DOS OPERACIONES OPUESTAS EN EL FRACTAL: PRODUCTO-DIVISIÓN (Interior, Estructura, Lo mismo-Proceso, Tarea, Cambio) 

UNIDAD DIDÁCTICA: ¿Cómo multiplicar a mano?

MOTIVACIÓN: El INTERÉS de multiplicar está en poder avanzar más rápido en las sumas cuando se repite el sumando. ¿Cuántas ruedas hay en 10 coches? Un coche tiene 4 ruedas, luego se suman las 4 ruedas 10 veces, 4+4+4+4+4+4+4+4+4+4=40.

FUNDAMENTO: La IDEA para multiplicar rápido estaría en contar de tanto en tanto, en lugar de uno en uno. En el ejemplo anterior se cuenta de 4 en 4 ruedas hasta 10 veces, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40. También se puede contar de 1 en 1 rueda por ronda de coches, que sería lo mismo que contar de 10 en 10 coches cuatro veces, 10, 20, 30, 40.

ESTRUCTURA: El CONCEPTO de multiplicación como suma repetida tiene que permitir multiplicar dos números cualesquiera. Para empezar se puede usar la propiedad conmutativa, es lo mismo 30·4 que 4·30, por lo tanto será mejor contar de 30 en 30, 4 veces, 30, 60, 90, 120. Lo que se observa es que en el recuento de tanto en tanto se reutiliza el recuento de por unidades, para ello se debe de hacer una descomposición del número en unidades, decenas, centenas,…, y se hace el recuento independiente. Esto sería la propiedad distributiva. Por ejemplo 5·36= 5·30+5·6. El recuento de 5 veces 30 es, 30, 60, 90, 120, 150 y el de 5 veces 6, 6, 12, 18, 24, 30. Entonces hay que sumar 150 y 30, 150+30=180

TÁCTICA: Para PROFUNDIZAR en cómo hacer la operación de multiplicar, hay que descomponer multiplicando y multiplicador. Por ejemplo para multiplicar 25·346 se considera, 25=20+5 y 346=300+40+6. Entonces 25·346=(20+5)·(300+40+6)=20·300+20·40+20·6+5·300+5·40+5·6=2·10·3·100+2·10·4·10+2·10·6+5·3·100+5·4·10+5·6=6000+800+120+1500+200+30=8650

TÉCNICA: Para AUTOMATIZAR las operaciones hay que dominar los productos de los diez primeros números. Para ello se memorizan las tablas de multiplicar:

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	0	3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	0	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	0	6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	0	7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	0	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	0	9	18	27	36	45	54	63	72	81

Entonces 25·346 se puede hacer con ayuda de las tablas, la del 2 y la del 5. Se añaden los ceros oportunos.

20·6=120

20·40=800

20·300=6000

5·6=30

5·40=200

5·300=1500

La suma de todos los resultados es 8650

MÉTODO: El PROCEDIMIENTO para multiplicar se puede hacer conjuntamente con la suma final poniendo un número sobre el otro, el multiplicando y el multiplicador. Se empieza por las últimas cifras y se van colocando los resultados de las multiplicaciones acumulando lo que se lleva.

		3	4	6
		x	2	5
	1	7	3	0
+	6	9	2	0
	8	6	5	0

ESTRATEGIA: ¿Cómo COMPROBAR que la operación del multiplicar está bien hecha? No hay una prueba fiable 100% que diga que la operación está bien hecha. Hay la prueba del 9 pero no es segura. La opción es repasar las operaciones individuales. Hoy en día hay calculadoras que nos confirman que está bien hecha. Se puede hacer un tanteo de resultados por exceso y por defecto, 25·346 estará entre 20·300=6000 y 30· 400=12000. Se puede afinar más, estará entre 25·300=7500 y 25·400=10000.

APRENDIZAJE DEL PRODUCTO

El aprendizaje del PRODUCTO: El producto es también una operación DIRECTA, a partir de los multiplicandos se obtiene el resultado de la multiplicación. El producto se fundamenta en la suma repetida de un mismo número, se basa en que es un sumando REGULAR. Es sumar repetidamente el mismo sumando un número determinado de veces. Si durante 4 meses se ganan 7€, cada mes, al final se acumulan 28€ a los 25€, en total 53€.

El Creativo ve el Interior, profundiza en la estructura de conocimiento, usa el pensamiento DIRECTO REGULAR, profundiza y desde el origen  genera el nuevo conocimiento (usando el patrón de repetición que define el nuevo concepto de operación). Por ejemplo: Miguel gasta 2€ todos los días en la guagua que lo lleva a la escuela y lo trae a la casa, ¿Cuánto gasta a la semana si va cinco veces? Respuesta: Gasta 10 euros, porque si se empiezan a sumar los 2 euros desde el primer día, se sumarían 5 veces 2 euros, uno por cada día, así está estructurado el pago, y, 5 veces 2, son 10 euros.

El inquietante caso de la niña que ahorraba para comprar un juguete y sabía resolver ecuaciones de primer grado

En el post anterior nos hemos encontrado con este problema:
Una niña tiene 4 euros y recibe una paga semanal de 5 euros, gastando cada semana x euros. Quiere comprar un juguete que cuesta 16 euros. Piensa juntar el dinero para dentro de 6 semanas que es su cumple. ¿Cuánto puede gastar fijo cada semana?

La ecuación es: 4+6(5-x)=16
Su resolución es:
4+30-6x=16
34-6x=16
-6x=-18
x=3
Puede gastar 3 euros todas las semanas, con lo que ahorra 2 euros, en total 12 euros, que sumados con los 4 que tenía hacen los 16.

Hasta aquí no hay problema, pero ¿que pasa si su abuela le dice que lo que gaste ella semanalmente se lo ingresa ella?.

Ahora la ecuación es :4+6(5-x)+6x=16
Su resolución:
4+30-6x+6x=16
0x=-18
0=-18
Esto significa que no hay solución. Pero no quiere decir que no pueda gastar nada, todo lo contrario puede gastar todo lo que quiera porque al final tiene 34 euros, mas de lo que necesita.

Pero si en lugar de tener una paga semanal de 5 euros fuera de 2 euros, con la ayuda de la abuela, ¿qué pasaría?

Ahora la ecuación es: 4+6(2-x)-6x=16
Su resolución:
4+12-6x-2x=16
16-6x+6x=16
0x=0
0=0
Esto significa que hay infinitas soluciones, dentro del rango. Puede gastar lo que quiera porque llega justo a los 16 euros, en 6 semanas.

¿Y si la paga es de 1 euro?
4+6(1-x)+6x=16
4+6-6x+6x=16
0x=6
0=6
No tiene solución. Pero ahora es cierto que gaste lo que gaste no consigue juntar los 16 euros, sólo consigue 10 euros.

La conclusión es que la información que nos da la solución de una ecuación, en el caso de que no exista, no nos dice por si sola si realmente el problema que intenta resolver tiene otra solución posible o no. Tal vez se pueda interpretar el signo del número que queda en el segundo miembro. Tal vez la ecuación no es el modelo adecuado y tenga que usar una inecuación. Al final, las matemáticas hay que usarlas con criterio porque sino los resultados pueden llevar a equívocos.

UNIDAD DIDÁCTICA: Resolver ecuaciones de primer grado

Motivación
Una ecuación de primer grado es una igualdad entre dos expresiones algebraicas con la variable x sólo con potencia uno. La solución de la ecuación es el valor de x que hace que la igualdad sea cierta.

Si digo, fui a la tienda de ropa, me compré tres pantalones de igual precio y una falda que cuesta 15 euros. No recuerdo el precio de cada pantalón, pero sí recuerdo que pagué con un billete de 50 euros y me devolvieron 5 euros, ¿puedo deducir el precio de cada pantalón?

Esto es una ecuación porque plantea una igualdad, el precio detallado de las prendas y el pago final con dinero en mano. La incógnita es el precio de un pantalón. Es de primer grado puesto que es el precio tal cual, no es al cuadrado ni al cubo. Las expresiones algebraicas que se igualan son: tres por el precio de un pantalón más 15 euros del precio de la falda (3x+15); el billete de 50 euros menos la devolución de 5 euros (50-5). La ecuación es 3x+15=50-5

La solución se puede deducir llevando las cuentas mentalmente: El pago fue de 50-5=45 euros. Si descontamos el precio de la falda se tiene lo que costaron los tres pantalones, 45-15=30 euros, y como eran tres, cada uno costó 30/3=10 euros. Se puede comprobar la solución: 3·10+15=50-5.

A veces las expresiones algebraicas pueden ser más complejas y no se puede hacer mentalmente, por lo que es necesario llevar al papel la ecuación para, con ayuda del cálculo algebraico, obtener la solución.

Experimentación
Cuando se plantea una ecuación se hace llevando una contabilidad donde alguna partida no sabemos su valor y se deja indicada. La resolución de la ecuación sería deshacer la contabilidad, poco a poco, hasta llegar a aislar esa partida desconocida.

Veamos un ejemplo:
Un mago le pide a un niño que piense un número entre 0 y 9. Y le dice que lo va a adivinar.
   a) Para el mago ese número se llama x.
A continuación le dice al niño que le sume 3 a ese número, en su cabeza.
   b) Para el mago, que lleva la contabilidad, van x+3.
Ahora le dice al niño que el resultado lo multiplique por 2.
   c) Para el mago van 2(x+3).
Ahora le dice que al resultado le sume 5.
  d) Para el mago van 2(x+3)+5.
Finalmente le pide el resultado al niño, y este le dice que sus cuentas dan 13.
En primer lugar la ecuación a resolver es: 2(x+3)+5=13
La solución la obtiene el mago deshaciendo el camino. De atrás para adelante.
El último paso fue sumar 5, pues ahora resta 5
  d) Para el mago su contabilidad vuelve a 2(x+3) y para el niño a 13-5=8
El penúltimo paso fue multiplicar por 2, pues ahora hay que dividir por 2.
  c) Para el mago le queda x+3, para el niño 8/2=4
En el anterior paso el mago pidió sumar 3, ahora hay que restar 3.
  b) Para el mago le queda x, y para el niño 4-3=1
Ya solo queda lo que dijo el mago, que pensara un número
  a) Para el mago era x, para el niño el 1
La solución es que el niño pensó en el 1

Conceptualización
Una ecuación tiene dos miembros, la expresión de la izquierda de la igualdad, el primer miembro, y la expresión de la derecha de la igualdad, el segundo miembro.
MIEMBRO 1= MIEMBRO 2
Durante la resolución se hacen operaciones sobre la ecuación de forma que se pasa de una ecuación a otra, equivalente, que mantiene la solución, pero más cercana a la última, x=a.
MIEMBRO' 1= MIEMBRO' 2
MIEMBRO'' 1= MIEMBRO '' 2
..................................................
x=a
Las operaciones permitidas que simplifican y mantienen la solución son:
1) Se pueden hacer las operaciones ordinarias siguiendo la jerarquía en cada miembro de la ecuación para simplificarlos.
2) Se puede sumar o restar el mismo número en ambos miembros de la ecuación.
3) Se puede multiplicar o dividir por el mismo número en ambos miembros de la ecuación (no se puede dividir por 0).

Por ejemplo:
Sea la ecuación 3(x-3)-7-x=4
Primero se quita el paréntesis (1):
3x-9-7-x=4
Ahora se simplifica el primer miembro (1)
2x-16=4
Ahora se suma 16 en ambos miembros (2)
2x=20
Ahora se divide por 2 ambos miembros (3)
x=10
Como la solución se mantiene en todos los pasos, resulta que x=10 es la solución del último paso, luego es la misma que la de la ecuación.

Procesamiento
Puede ocurrir que haya expresiones con x en ambos miembros. Las operaciones que se hacen en las ecuaciones para transformarlas en ecuaciones equivalentes más simples van aislando la x en el primer miembro y dejando un número en el segundo. La táctica es dejar los términos con x agrupados en el primer miembro y los términos numéricos en el segundo.

Por ejemplo,:
Sea la ecuación: 5(2x+6)=-2(x-3)+72
La primera tarea será quitar todos los paréntesis aplicando la propiedad distributiva:
10x+30=-2x+6+72
La siguiente tarea es restar 30. Ya se ve que desaparece el 30 del primer miembro y lo que aparece es -30 en el segundo. Es como si el +30 del primer miembro se desplazara al segundo como -30.
10x=-2x+72-30+6
Se simplifica el segundo miembro:
10x=-2x+48
Para pasar el -2x al primer miembro, se hace como con los números, se suma en ambos miembros +2x, con lo que desaparece el -2x del segundo miembro y aparece en el primero. Hay que pasar juntos el -2 y la x, no se puede pasar el-2 dividiendo porque el -2x está en una expresión que suma al 48.
10x+2x=48
Se agrupan las x en el primer miembro:
12x=48
Ahora hay que dividir por 12 ambos miembros, pero es como si el 12 que está en el primer miembro multiplicando pasara dividiendo al segundo.
x=48/12
Simplificando el segundo:
x=4

Entonces se pueden hacer cambios en las transformaciones permitidas sobre las ecuaciones:
2') Si un número o expresión algebraica está sumando o restando en un miembro puede pasar al otro cambiado de signo.
3') Si un número o expresión algebraica (no cero) está en un miembro multiplicando o dividiendo y no hay términos sumando o restando, puede pasar al otro dividiendo o multiplicando, respectivamente.

Mecanización
De forma automática hay que resolver las ecuaciones de primer grado.

Por ejemplo, resolver 3(2x+2)-4=5(x+2)+2
Primero, quitar paréntesis: 6x+6-4=5x+10+2
Segundo, pasar los términos o agrupar los semejantes. Si se toma la segunda opción queda, 6x+2=5x+12
Tercero, pasar los terminos en x al primer miembro y los otros al segundo, cambiando los signos:
6x-5x=12-2
Cuarto, agrupar términos semejantes: x=10

En este caso ya se llega a la solución.

Otro ejemplo, resolver 2(x+3)-4=2x+3
Primero, quitar paréntesis: 2x+6-4=2x+3
Segundo, agrupar términos semejantes: 2x+2=2x+3
pasar los términos en x al primer miembro y los otros al segundo, cambiando los signos:
2x-2x=3-6+4
Tercero, agrupar: 0x=1
En este caso queda 0=1, lo cual es absurdo.

La última igualdad es falsa, luego todas las igualdades anteriores lo son. La ecuación es la primera igualdad y es falsa para cualquier valor de x, eso significa que no hay ningún valor que haga

Otro ejemplo, resolver 4(x+2)-2=6x-2(x-3)
4x+8-2=6x-2x+6
4x+6=4x+6
4x-4x=6-6
0x=0
0=0

Esto significa que la ultima igualdad es siempre cierta independiente de la x, entonces la primera igualdad se cumple siempre par todo valor de x. La ecuación es una identidad y tiene infinitas soluciones.

Consolidación
De esta forma ya se puede resolver cualquier ecuación de primer grado.
Puede tener una, ninguna o infinitas soluciones, la forma de concluir es llegando a una ecuación equivalente de la forma x=a, 0=a ó 0=0, respectivamente.

• Se empieza por eliminar paréntesis,
• se agrupan términos semejantes que se estén sumando o restando,
• se pasan los términos en x al primer miembro y los que no la tienen al segundo, cambiando el signo
• se vuelven a agrupar términos semejantes,
• y se despeja x pasando su coeficiente al otro lado dividiendo si está multiplicando o multiplicando si está dividiendo.
• Si la última ecuación es una de los tres casos anteriores se concluye como se indica.

Ejemplo: -5(x+6)+4(x-2)=2x+1
-5x-30+4x-8=2x+1
-x-38=2x+1
-x-2x=38+1
-3x=39
x=39/-3
x=-13
solución única

Evaluación
Una niña tiene 4 euros, cada semana recibe 5 euros de paga y gasta una cantidad fija x. Quiere ahorrar para comprar un juguete que cuesta 16 euros. ¿Cuánto puede gastar si quiere tener el dinero dentro de 6 semanas?
Variable: x es lo que gasta fijo por semana
Ecuación: 4+6(5-x)=16
Resolución:
4+30-6x=16
34-6x=16
-6x=16-34
-6x=-18
x=-18/(-6)
x=3 euros semanales

Supongamos que quiere tener el dinero en 2 semanas
Ecuación: 4+2(5-x)=16
Resolución:
4+10-2x=16
14-2x=16
-2x=16-14
-2x=2
x=2/(-2)
x=-1
en lugar de gastar tiene que ingresar 1 euros a la semana aparte de los 5 euros

Supongamos que quiere gastar los 5 euros, ¿cuántas semanas tiene que estar ahorrando?
Variable: y es el número de semanas
Ecuación: 4+y(5-5)=16
4+0y=16
0y=12
0=12
no hay solución

Supongamos que sólo recibe de paga 2 euros
Variable: x es lo que gasta fijo por semana
Ecuación: 4+6(2-x)=16
4+12-6x=16
16-6x=16
-6x=-16+16
-6x=0
x=0/(-6)
x=0
no puede gastar nada

Supongamos que lo que gasta semanalmente lo puede volver a ahorrar porque se lo financian
Ecuación: 4+6(5-x)+6x=16
4+30-6x+6x=16
34+0x=16
0x=16-34
0x=-18
0=-18
no hay solución
En 6 semanas tiene 34 euros, no 16. Evidentemente junta más dinero de lo que necesita, lo que dice la ecuación es que exactamente 16 euros no los puede conseguir con este plan.

Ecuaciones: El reino del pensamiento inverso

Si tenemos 100 euros y le añadimos 200 euros, entonces juntamos 100+200=300 euros. Pensemos al revés. Si tenemos 100 euros y queremos sumar una cantidad x para juntar 300 euros, ¿cuánto vale esa cantidad?. En notación algebraica, la ecuación es 10+x=300. La operación que hay que hacer es la inversa de la suma, la resta, x=300-100=200.
Si juntamos durante 5 meses 40 euros todos los meses, al final, tendremos 5·40=200 euros. Al revés, ¿cuantos meses hay que poner 40 euros mensualmente para tener 200 euros? La ecuación es 40x=200, la operación que hay que hacer para despejar x es la inversa de la multiplicación, x=200/40=5 meses.
Supongamos que tenemos 100 euros y durante 5 meses vamos acumulando 40 euros, al final habremos juntado 100+5·40=100+200=300. Si pensamos al revés, partimos de 100 euros y vamos acumulando durante varios meses 40 euros mensuales, ¿cuántos meses hay que acumular para tener al final 300 euros? En lenguaje algebraico, 100+40x=300. Como ya se parte de 100 euros, entonces hay que ahorrar 300-100=200 euros, es la operación inversa de la suma, y la ecuación simplificada es, 40x=200. ¿Qué cantidad hay que multiplicar por 40 para que de 200? Pues es la operación inversa de la multiplicación, x=200/40=5 meses.

Pensamiento matemático: El prime-time

Se lee en un blog: "El Prime-Time es el horario televisivo de máxima audiencia, que se ubica entre las 21:00 y las 00:00 horas, siendo España uno de los países de Europa y del mundo con el prime time más tardío".
No es difícil comprender que detrás de esta frase está un pensamiento matemático. Y no sólo en los números, si uno se fija en lo que significa el Prime-Time, el concepto que se transmite es el de la hora de máxima audiencia de TV.
Cualquier persona puede comprender este concepto sin mucho esfuerzo y es en sí un concepto matemático importante. La cuestión es, ¿hasta que punto se quiere ir en el intento de desentrañar este pensamiento matemático? Si una persona tuviera que explicar qué sentido matemático tiene tendría que hablar de las dos variables que se manejan en la frase: t=el tiempo y S=nº de televidentes. T corresponde al tiempo en que se emite la TV, se puede suponer 24 h. Se supone S>0. Se asume que hay una relación entre t y S, la S "crece" con el tiempo y después "decrece" , alternativamente a lo largo del tiempo de emisión, alcanzando un instante t en el que hay máximo valor de S, que está entre las 21:00 y las 00:00 horas. 
Si se consiguiese establecer una relación funcional entre S y t, S(t), en cada país, se podría intentar encontrar ese instante a partir las técnicas de derivación y comprobar que la afirmación es correcta. 
A las televisiones les interesa esta función porque con ella establecen la tarifación de publicidad.

Una aproximación funcional la da el siguiente problema:

Una cadena local de TV ha determinado, por medio de encuestas, que el porcentaje de ciudadanos que la ven entre las 6 de la tarde y las 12 de la noche viene dado por la función:
s(t) = 660 - 231t + 27t² - t³  
donde t indica las horas transcurridas desde las 12 en punto de la mañana. 
Calcular a qué hora tiene la televisión su máxima audiencia y cuándo tiene su mínima audiencia. 

s'(t)=-231+54t-3t² 
s'(t)=0, t=7, t=11
s''(t)=54-6t
s''(7)=12, mínimo
s''(11)=-12, máximo

¿Cómo se determina la función por medio de encuestas? Pués a través de la inferencia estadística, del estudio de la regresión. Se muestrean una serie de puntos, pares de valores (t, s(t)), obteniéndose así una nube de puntos y a partir de ahí se estudia el tipo de dependencia entre las dos variables y su grado, y la regresión a un modelo de curva, y se halla esa función.