APLICACIÓN DEL APC A LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ARITMÉTICOS

Problema 1: En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 l, 360 l, y 540 l. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales. Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se puedan envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el número de garrafas que se necesitan.

Es un problema INVERSO porque se va de la cantidad total de los toneles a la menor cantidad de cada garrafa. Es REGULAR porque todas las garrafas son del mismo tamaño. No es reiterado porque no hay más que un nivel, de los toneles a las garrafas.  No hay diferencias en los tamaños de las garrafas aunque si en el contenido inicial de los toneles. Hay que utilizar una TÁCTICA  para conseguir el objetivo de repartir el contenido de los toneles. Es un problema que se resuelve con la operación de DIVIDIR (estilo PERFECCIONISTA).

El contenido de cada garrafa tiene que ser un divisor común de los tres números, correspondientes al contenido de los toneles. Además como la capacidad de las garrafas debe ser máxima es un máximo común divisor de los tres números: m.c.d.(250, 360, 540)=10 l. Si se hace el reparto: 250:10=25 garrafas del primero tonel; 360:10=36 del segundo; 540:10=54 del tercero. En total: 115 garrafas.

Problema 2: Una matrioska es un souvenir típico de Rusia, y consiste en una muñeca que contiene en su interior otra de igual forma pero algo más pequeña, y así sucesivamente. El volumen de cada muñeca es 2/3 el de la anterior. Si la muñeca mayor ocupa 360 cm³ , ¿cuántas muñecas hay si la más pequeña ocupa 31’6 cm³ ? 

Es un problema INVERSO porque hay que ver cómo se va desde la matrioska grande a la pequeña reduciendo su tamaño. Es REGULAR porque las matrioskas van reduciendo su tamaño regularmente y es REITERADO porque hay varios niveles. Hay que utilizar una ESTRATEGIA para contabilizar cuántas veces se pueden meter unas muñecas dentro de otras hasta llegar a la más pequeña. Es un problema de LOGARITMOS (estilo ESTRATEGA).

Cada muñeca va reduciendo su tamaño en 2/3, es 1´5 veces más pequeña que la anterior. Se divide sucesivamente por 1´5 o se multiplica sucesivamente por 2/3, que es lo mismo, y se cuenta el número de veces que se puede hacer hasta llegar a 31´6. Entonces: 360·2/3=240; 240·2/3=160; 160·2/3=320/3; (320/3)·(2/3)=640/9; (640/9)·(2/3)=1280/27; (1280/7)·(2/3)=2560/81≈31´6 cm³ . En total hay 7 matrioskas.

Problema 3: Un albañil utilizó 4900 baldosas cuadradas de 20 cm. de lado para cubrir una habitación cuadrada. ¿Cuántos metros mide el lado de la habitación?

Es un problema INVERSO porque parte del total  de baldosas cuadradas que se van a poner en el suelo en filas y columnas. Es IRREGULAR porque no se tiene a priori el número de filas, puede variar en la aproximación de la solución. Es REITERADO, como es cuadrada la habitación, habrá igual número de filas y de columnas, y el número de baldosas será el producto de filas por columnas. Es un problema de RAÍCES CUADRADAS (estilo METÓDICO).

Se empieza suponiendo una cantidad de filas y columnas idénticas: filas=20, columnas=20, baldosas=202=400; filas =50, columnas=50, baldosas=2500;  filas=60, columnas=60, baldosas=3600; filas=60, columnas=70, baldosas=4900. Raíz(4900,2)=70. La longitud del lado de la habitación cuadrada serán las 70 baldosas que hay en una fila por 20 cm, 70·20=140 cm.

El inquietante caso de la niña que ahorraba para comprar un juguete y sabía resolver ecuaciones de primer grado

En el post anterior nos hemos encontrado con este problema:
Una niña tiene 4 euros y recibe una paga semanal de 5 euros, gastando cada semana x euros. Quiere comprar un juguete que cuesta 16 euros. Piensa juntar el dinero para dentro de 6 semanas que es su cumple. ¿Cuánto puede gastar fijo cada semana?

La ecuación es: 4+6(5-x)=16
Su resolución es:
4+30-6x=16
34-6x=16
-6x=-18
x=3
Puede gastar 3 euros todas las semanas, con lo que ahorra 2 euros, en total 12 euros, que sumados con los 4 que tenía hacen los 16.

Hasta aquí no hay problema, pero ¿que pasa si su abuela le dice que lo que gaste ella semanalmente se lo ingresa ella?.

Ahora la ecuación es :4+6(5-x)+6x=16
Su resolución:
4+30-6x+6x=16
0x=-18
0=-18
Esto significa que no hay solución. Pero no quiere decir que no pueda gastar nada, todo lo contrario puede gastar todo lo que quiera porque al final tiene 34 euros, mas de lo que necesita.

Pero si en lugar de tener una paga semanal de 5 euros fuera de 2 euros, con la ayuda de la abuela, ¿qué pasaría?

Ahora la ecuación es: 4+6(2-x)-6x=16
Su resolución:
4+12-6x-2x=16
16-6x+6x=16
0x=0
0=0
Esto significa que hay infinitas soluciones, dentro del rango. Puede gastar lo que quiera porque llega justo a los 16 euros, en 6 semanas.

¿Y si la paga es de 1 euro?
4+6(1-x)+6x=16
4+6-6x+6x=16
0x=6
0=6
No tiene solución. Pero ahora es cierto que gaste lo que gaste no consigue juntar los 16 euros, sólo consigue 10 euros.

La conclusión es que la información que nos da la solución de una ecuación, en el caso de que no exista, no nos dice por si sola si realmente el problema que intenta resolver tiene otra solución posible o no. Tal vez se pueda interpretar el signo del número que queda en el segundo miembro. Tal vez la ecuación no es el modelo adecuado y tenga que usar una inecuación. Al final, las matemáticas hay que usarlas con criterio porque sino los resultados pueden llevar a equívocos.

UNIDAD DIDÁCTICA: Resolver ecuaciones de primer grado

Motivación
Una ecuación de primer grado es una igualdad entre dos expresiones algebraicas con la variable x sólo con potencia uno. La solución de la ecuación es el valor de x que hace que la igualdad sea cierta.

Si digo, fui a la tienda de ropa, me compré tres pantalones de igual precio y una falda que cuesta 15 euros. No recuerdo el precio de cada pantalón, pero sí recuerdo que pagué con un billete de 50 euros y me devolvieron 5 euros, ¿puedo deducir el precio de cada pantalón?

Esto es una ecuación porque plantea una igualdad, el precio detallado de las prendas y el pago final con dinero en mano. La incógnita es el precio de un pantalón. Es de primer grado puesto que es el precio tal cual, no es al cuadrado ni al cubo. Las expresiones algebraicas que se igualan son: tres por el precio de un pantalón más 15 euros del precio de la falda (3x+15); el billete de 50 euros menos la devolución de 5 euros (50-5). La ecuación es 3x+15=50-5

La solución se puede deducir llevando las cuentas mentalmente: El pago fue de 50-5=45 euros. Si descontamos el precio de la falda se tiene lo que costaron los tres pantalones, 45-15=30 euros, y como eran tres, cada uno costó 30/3=10 euros. Se puede comprobar la solución: 3·10+15=50-5.

A veces las expresiones algebraicas pueden ser más complejas y no se puede hacer mentalmente, por lo que es necesario llevar al papel la ecuación para, con ayuda del cálculo algebraico, obtener la solución.

Experimentación
Cuando se plantea una ecuación se hace llevando una contabilidad donde alguna partida no sabemos su valor y se deja indicada. La resolución de la ecuación sería deshacer la contabilidad, poco a poco, hasta llegar a aislar esa partida desconocida.

Veamos un ejemplo:
Un mago le pide a un niño que piense un número entre 0 y 9. Y le dice que lo va a adivinar.
   a) Para el mago ese número se llama x.
A continuación le dice al niño que le sume 3 a ese número, en su cabeza.
   b) Para el mago, que lleva la contabilidad, van x+3.
Ahora le dice al niño que el resultado lo multiplique por 2.
   c) Para el mago van 2(x+3).
Ahora le dice que al resultado le sume 5.
  d) Para el mago van 2(x+3)+5.
Finalmente le pide el resultado al niño, y este le dice que sus cuentas dan 13.
En primer lugar la ecuación a resolver es: 2(x+3)+5=13
La solución la obtiene el mago deshaciendo el camino. De atrás para adelante.
El último paso fue sumar 5, pues ahora resta 5
  d) Para el mago su contabilidad vuelve a 2(x+3) y para el niño a 13-5=8
El penúltimo paso fue multiplicar por 2, pues ahora hay que dividir por 2.
  c) Para el mago le queda x+3, para el niño 8/2=4
En el anterior paso el mago pidió sumar 3, ahora hay que restar 3.
  b) Para el mago le queda x, y para el niño 4-3=1
Ya solo queda lo que dijo el mago, que pensara un número
  a) Para el mago era x, para el niño el 1
La solución es que el niño pensó en el 1

Conceptualización
Una ecuación tiene dos miembros, la expresión de la izquierda de la igualdad, el primer miembro, y la expresión de la derecha de la igualdad, el segundo miembro.
MIEMBRO 1= MIEMBRO 2
Durante la resolución se hacen operaciones sobre la ecuación de forma que se pasa de una ecuación a otra, equivalente, que mantiene la solución, pero más cercana a la última, x=a.
MIEMBRO' 1= MIEMBRO' 2
MIEMBRO'' 1= MIEMBRO '' 2
..................................................
x=a
Las operaciones permitidas que simplifican y mantienen la solución son:
1) Se pueden hacer las operaciones ordinarias siguiendo la jerarquía en cada miembro de la ecuación para simplificarlos.
2) Se puede sumar o restar el mismo número en ambos miembros de la ecuación.
3) Se puede multiplicar o dividir por el mismo número en ambos miembros de la ecuación (no se puede dividir por 0).

Por ejemplo:
Sea la ecuación 3(x-3)-7-x=4
Primero se quita el paréntesis (1):
3x-9-7-x=4
Ahora se simplifica el primer miembro (1)
2x-16=4
Ahora se suma 16 en ambos miembros (2)
2x=20
Ahora se divide por 2 ambos miembros (3)
x=10
Como la solución se mantiene en todos los pasos, resulta que x=10 es la solución del último paso, luego es la misma que la de la ecuación.

Procesamiento
Puede ocurrir que haya expresiones con x en ambos miembros. Las operaciones que se hacen en las ecuaciones para transformarlas en ecuaciones equivalentes más simples van aislando la x en el primer miembro y dejando un número en el segundo. La táctica es dejar los términos con x agrupados en el primer miembro y los términos numéricos en el segundo.

Por ejemplo,:
Sea la ecuación: 5(2x+6)=-2(x-3)+72
La primera tarea será quitar todos los paréntesis aplicando la propiedad distributiva:
10x+30=-2x+6+72
La siguiente tarea es restar 30. Ya se ve que desaparece el 30 del primer miembro y lo que aparece es -30 en el segundo. Es como si el +30 del primer miembro se desplazara al segundo como -30.
10x=-2x+72-30+6
Se simplifica el segundo miembro:
10x=-2x+48
Para pasar el -2x al primer miembro, se hace como con los números, se suma en ambos miembros +2x, con lo que desaparece el -2x del segundo miembro y aparece en el primero. Hay que pasar juntos el -2 y la x, no se puede pasar el-2 dividiendo porque el -2x está en una expresión que suma al 48.
10x+2x=48
Se agrupan las x en el primer miembro:
12x=48
Ahora hay que dividir por 12 ambos miembros, pero es como si el 12 que está en el primer miembro multiplicando pasara dividiendo al segundo.
x=48/12
Simplificando el segundo:
x=4

Entonces se pueden hacer cambios en las transformaciones permitidas sobre las ecuaciones:
2') Si un número o expresión algebraica está sumando o restando en un miembro puede pasar al otro cambiado de signo.
3') Si un número o expresión algebraica (no cero) está en un miembro multiplicando o dividiendo y no hay términos sumando o restando, puede pasar al otro dividiendo o multiplicando, respectivamente.

Mecanización
De forma automática hay que resolver las ecuaciones de primer grado.

Por ejemplo, resolver 3(2x+2)-4=5(x+2)+2
Primero, quitar paréntesis: 6x+6-4=5x+10+2
Segundo, pasar los términos o agrupar los semejantes. Si se toma la segunda opción queda, 6x+2=5x+12
Tercero, pasar los terminos en x al primer miembro y los otros al segundo, cambiando los signos:
6x-5x=12-2
Cuarto, agrupar términos semejantes: x=10

En este caso ya se llega a la solución.

Otro ejemplo, resolver 2(x+3)-4=2x+3
Primero, quitar paréntesis: 2x+6-4=2x+3
Segundo, agrupar términos semejantes: 2x+2=2x+3
pasar los términos en x al primer miembro y los otros al segundo, cambiando los signos:
2x-2x=3-6+4
Tercero, agrupar: 0x=1
En este caso queda 0=1, lo cual es absurdo.

La última igualdad es falsa, luego todas las igualdades anteriores lo son. La ecuación es la primera igualdad y es falsa para cualquier valor de x, eso significa que no hay ningún valor que haga

Otro ejemplo, resolver 4(x+2)-2=6x-2(x-3)
4x+8-2=6x-2x+6
4x+6=4x+6
4x-4x=6-6
0x=0
0=0

Esto significa que la ultima igualdad es siempre cierta independiente de la x, entonces la primera igualdad se cumple siempre par todo valor de x. La ecuación es una identidad y tiene infinitas soluciones.

Consolidación
De esta forma ya se puede resolver cualquier ecuación de primer grado.
Puede tener una, ninguna o infinitas soluciones, la forma de concluir es llegando a una ecuación equivalente de la forma x=a, 0=a ó 0=0, respectivamente.

• Se empieza por eliminar paréntesis,
• se agrupan términos semejantes que se estén sumando o restando,
• se pasan los términos en x al primer miembro y los que no la tienen al segundo, cambiando el signo
• se vuelven a agrupar términos semejantes,
• y se despeja x pasando su coeficiente al otro lado dividiendo si está multiplicando o multiplicando si está dividiendo.
• Si la última ecuación es una de los tres casos anteriores se concluye como se indica.

Ejemplo: -5(x+6)+4(x-2)=2x+1
-5x-30+4x-8=2x+1
-x-38=2x+1
-x-2x=38+1
-3x=39
x=39/-3
x=-13
solución única

Evaluación
Una niña tiene 4 euros, cada semana recibe 5 euros de paga y gasta una cantidad fija x. Quiere ahorrar para comprar un juguete que cuesta 16 euros. ¿Cuánto puede gastar si quiere tener el dinero dentro de 6 semanas?
Variable: x es lo que gasta fijo por semana
Ecuación: 4+6(5-x)=16
Resolución:
4+30-6x=16
34-6x=16
-6x=16-34
-6x=-18
x=-18/(-6)
x=3 euros semanales

Supongamos que quiere tener el dinero en 2 semanas
Ecuación: 4+2(5-x)=16
Resolución:
4+10-2x=16
14-2x=16
-2x=16-14
-2x=2
x=2/(-2)
x=-1
en lugar de gastar tiene que ingresar 1 euros a la semana aparte de los 5 euros

Supongamos que quiere gastar los 5 euros, ¿cuántas semanas tiene que estar ahorrando?
Variable: y es el número de semanas
Ecuación: 4+y(5-5)=16
4+0y=16
0y=12
0=12
no hay solución

Supongamos que sólo recibe de paga 2 euros
Variable: x es lo que gasta fijo por semana
Ecuación: 4+6(2-x)=16
4+12-6x=16
16-6x=16
-6x=-16+16
-6x=0
x=0/(-6)
x=0
no puede gastar nada

Supongamos que lo que gasta semanalmente lo puede volver a ahorrar porque se lo financian
Ecuación: 4+6(5-x)+6x=16
4+30-6x+6x=16
34+0x=16
0x=16-34
0x=-18
0=-18
no hay solución
En 6 semanas tiene 34 euros, no 16. Evidentemente junta más dinero de lo que necesita, lo que dice la ecuación es que exactamente 16 euros no los puede conseguir con este plan.

UNIDAD DIDÁCTICA: PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA

ORIENTACIÓN

En el tratamiento de imágenes es frecuente la necesidad de hacer un zoom de las mismas aumentando o disminuyendo su tamaño de manera que se mantenga la forma (por ejemplo las fotocopias ampliadas o reduccidas). La figura que se obtiene se dice que es semejante a la original.

Observa en la imagen las figuras semejantes obtenidas por ampliación o por reducción

EXPERIMENTACIÓN

Si tenemos una fotografía de forma rectangular, si un lado aumenta en una proporción el otro también debe de aumentar en la misma proporción, sino la figura resultante no mantiene la forma.

CONCEPTUALIZACIÓN

De forma más simple consideremos que las figuras son triángulos. Supongamos que dos triángulos son semejantes entonces los lados de uno se han transformado en los correspondientes homólogos del otro. Se tiene que cumplir que la razón de aumento o disminución de cada uno con su homólogo tiene que ser la misma (fig.1). Es decir, en los dos triángulos semejantes los tres lados son proporcionales.

Hay una propiedad geométrica que cumplen los triángulos semejantes: si se superponen los triángulos adquieren una configuración, denominada, de Thales, en la que dos lados están en linea y el tercero es paralelo (fig.2). Esto significa que dos triángulos semejantes tienen los tres ángulos iguales.

fig. 1

fig. 2

PROCESAMIENTO

Vamos a fijar estas ideas para lograr llegar a ver los triángulos semejantes en determinados casos. Haz un esfuerzo por visualizar la semejanza.

1) Indica, explicando el motivo, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. A)  El triángulo de lados 3, 5 y 7 cm es semejante a otro de lados 7,5; 12,5 y 16,8 cm.  B) Dos triángulos rectángulos son siempre semejantes. C) Dos triángulos rectángulos isósceles son siempre semejantes. D) En  dos  triángulos  semejantes,  la  razón  de  dos  alturas  correspondientes  es  igual  a  la  razón  de semejanza. E) Dos triángulos equiláteros son siempre semejantes.

MECANIZACIÓN

Entonces cuando tenemos triángulos semejantes la razón entre lados homólogos es la misma. Se puede comprobar también geométricamente si son semejantes viendo si los ángulos son iguales.

Con ayuda de la semejanza de triángulos se pueden hacer medidas de longitudes a las que no podemos acceder. Se trata de encontrar triángulos semejantes comprobando la igualdad de los ángulos y utilizar la igualdad de la razón de semejanza de los lados homólogos.

1) Entre  Sergio,  de  152  cm  de  altura,  y  un  árbol,  hay  un  pequeño  charco  en  el  que  se refleja su copa. Calcula la altura de dicho árbol sabiendo que las distancias que separan a Sergio del lugar de reflejo en el charco y del árbol son de 3,2 m y 10,7 m, respectivamente.

2) Una  torre  mide  100  m  de  altura.  En  un  determinado  momento  del  día,  una  vara vertical de 40 cm arroja una sombra de 60 cm. ¿Cuánto medirá la sombra proyectada en ese instante por la torre?

En la práctica la semejanza también se utiliza en las escalas de los mapas y planos. Un mapa es semejante a la realidad y la escala es la razón de semejanza. Si un mapa está en escala 1:1000 significa que una longitud L entre dos puntos representa en la realidad una longitud L’ , cumpliéndose que L/L’=1/1000, o sea, L’=1000·L

1) Lorena  presenta  este  plano  de  su  cocina  junto  con  el  tendedero  a  una  empresa  de reformas. ¿De qué superficie dispondrá si decide unir la cocina y el tendedero?

2) En un mapa, de escala 1:250 000, la distancia entre dos pueblos es de 1,3 cm. A)  ¿Cuál es la distancia real entre ambos pueblos? B)  ¿Cuál sería la distancia en ese mapa, entre otros dos pueblos que en la realidad distan 15 km?

CONSOLIDACIÓN
El nivel siguiente es la proporcionalidad entre áreas de figuras planas semejantes y volúmenes de figuras tridimensionales semejantes. Es fácil ver que cuando las figuras planas son semejantes la razón de proporcionalidad entre las áreas es el cuadrado de la razón de proporcionalidad entre longitudes. Si se trata de comparar volúmenes de figuras tridimensionales semejantes, la razón ahora es el cubo de la razón lineal.

1) Un arquitecto ha hecho una maqueta a escala 1:100 de un edificio destinado a oficinas, con forma de cubo cuya arista mide 70 m. Calcula la superficie de la planta y el volumen que el edificio tendrá en la maqueta.

2) Los lados de dos pentágonos regulares miden 7 cm y 5 cm, respectivamente. ¿Son semejantes? En caso afirmativo calcula la razón de semejanza entre sus áreas.

3) Un rectángulo tiene dimensiones 3 cm x 6 cm. Calcula el área y las dimensiones de otro rectángulo semejante a él, sabiendo que la razón entre sus áreas es de 9/4.

4) Una lata cilíndrica de fabada, que se anuncia para dos raciones, tiene un radio de 5 cm y una al tura de 15 cm. Otra lata de tamaño familiar, semejante a la anterior se anuncia para 6 personas. ¿Qué volumen y qué dimensiones deberá tener? ¿Qué relación existe entre las superficies de hojalata de una y otra lata?

5) En los muelles del Sena, en París, venden reproducciones de la Torre Eiffel que pesan 1,5 Kg y están elaboradas con el mismo material que la auténtica. Un folleto turístico indica que la Torre tiene 321 m de altura y pesa 7 millones de kilos. ¿Cuánto medirá la altura de la reproducción?

EVALUACIÓN

La clave está en utilizar dos figuras semejantes y establecer la proporción entre longitudes homólogas. Ahora con ayuda de los ejercicios anteriores ya te has formado un criterio de cómo abordar los siguientes problemas.

1) En una fotografía, María y Fernando miden 2,5 cm y 2,7 cm, respectivamente; en la realidad, María tiene una altura de 167,5 cm. ¿A qué escala está hecha la foto? ¿Qué altura tiene Fernando en la realidad?

2) Marcos ha realizado este plano de su habitación a escala 1:50. Calcula el área de la habitación y las dimensiones de la cama.

3) En un mapa, dos poblaciones aparecen separadas 7,5 cm. ¿Cuál será la escala de ese mapa si la distancia real entre ambas poblaciones es de 153 km? En ese mismo mapa, ¿cuál sería la distancia real entre dos poblaciones que distan 12,25 cm?

4) Una piscina tiene 2,3 m de ancho; situándonos a 116 cm del borde, desde una altura de 1,74 m, observamos que la visual une el borde de la piscina con la línea del fondo. ¿Qué profundidad tiene la piscina?

5) Calcula la altura de una casa sabiendo que en un determinado momento del día proyecta una sombra de 3,5 m y una persona que mide 1,87 m tiene, en ese mismo instante, una sombra de 85 cm.

6) En un triángulo rectángulo se inscribe un rectángulo cuya base es dos veces su altura. Los catetos del triángulo miden 5 cm y 7 cm, respectivamente. Calcula las dimensiones del rectángulo.

7) Dos caminos paralelos se unen entre sí por dos puentes, que a su vez se cortan en el punto O. Teniendo en cuenta las medidas de la figura, calcula la longitud de los dos puentes.

UNIDAD DIDÁCTICA: La distribución binomial

Orientación
Se va a empezar por el juego de los palitos.
El juego es para dos jugadores, cada uno con seis palitos decorados de forma similar a como se muestra en el gráfico:

Haz y envés

Por una cara están en blanco y por la otra decorados con motivos diversos y coloreados. También, deben de existir diez monedas o botones que forman la banca.
Los palitos se pueden construir con materiales de madera tipo soporte de helado o instrumento del médico para observar la garganta. Los pueden decorar los propios alumnos.
Cada jugador tira los seis palitos alternativamente.
Sólo hay tres jugadas ganadoras en cada tirada:
1) Salen todos los palitos con la cara decorada hacia arriba: gana tres monedas.
2) Todos salen con la cara sin decorar hacia arriba: gana dos monedas.
3) Tres salen con la cara decorada y tres sin ella: gana una moneda.
En cualquier otro caso no se gana nada.
Cuando se acaben las monedas de la banca se cobra del las monedas que tenga ganadas el contrario.
Gana el jugador que consiga las diez monedas.

Después de jugar varias partidas se pide a los alumnos que analicen el modelo matemático de probabilidades que subyace en el juego.

Experimentación
Se va a llamar X a la variable aleatoria discreta que cuenta el número de palitos que salen con la cara decorada hacia arriba. X puede tomar varios valores en cada lanzamiento: {0,1,2,3,4,5,6}

{X=2} representa el suceso que salieron 2 con la cara decorada hacia arriba y 4 con la cara sin decorar.
{X=0} representa el suceso que no salió ninguna con la cara decorada hacia arriba.

Los sucesos ganadores son:
{X=6} con 3 monedas
{X=0} con 2 monedas
{X=3} con una moneda

Sea p la probabilidad de que un palito salga con la cara decorada hacia arriba y q hacia abajo (p+q=1). En principio se puede suponer a priori que p=50%=0'5 y q=50%=0'5. Siempre se puede hacer un estudio de frecuencias relativas para cada palito y ver la tendencia para usar una probabilidad a posteriori.
También podemos suponer que cada palito sale con una u otra cara independientemente de cómo salgan los otros palitos.

Supongamos que tenemos numerados los palitos del 1 al 6 por necesidad de notación. Si el 4 sale decorado escribiremos d4, y sino, nd4. Así un lanzamiento de los 6 puede salir: d1-nd2-d3-d4-nd5-nd6
El suceso {X=6} es igual a d1-d2-d3-d4-d5-d6
El suceso {X=0} es igual a nd1-nd2-nd3-nd4-nd5-nd6
Y el suceso {X=3} tiene varias opciones, todas aquellas en las que salgan 3 decorados, como por ejemplo: d1-d2-d3-nd4-nd5-nd6

La probabilidad del suceso es igual al producto de probabilidades de los sucesos elementales cuando estos son independientes (teoremas de probabilidades compuestas), por ejemplo para  d1-d2-nd3-d4-nd5-nd6 será p(d1)·p(d2)·p(nd3)·p(d4)·p(nd5)·p(nd6).
Por lo tanto, se tiene como probabilidad para los dos primeros sucesos ganadores:
p{X=6}=p(d1)·p(d2)·p(d3)·p(d4)·p(d5)·p(d6)=p·p·p·p·p·p=p⁶ (0'5⁶=0'015625=1/64)
p{X=0}=p(nd1)·p(nd2)·p(nd3)·p(nd4)·p(nd5)·p(nd6)=q·q·q·q·q·q=q⁶ (0'5⁶=0'015625=1/64)

Falta ver los casos que entran en el suceso {X=3}

Conceptualización 
Todos los sucesos elementales que pueden ocurrir se pueden contabilizar con ayuda de un árbol binario, donde la primera opción es lo que puede ocurrir con el primer palito, salir d1 o nd1. A continuación, para cada una de las dos opciones, se pone lo que ocurre con el segundo palito, salir d2 o nd2, Desde estas cuatro opciones se ponen las dos opciones del tercer palito, d3 o nd3, y así sucesivamente hasta los seis palitos. Sale un árbol de 6 niveles con 64 nodos hoja. En el siguiente gráfico se muestra el árbol hasta el nivel 4:

El suceso {X=6} corresponde al caso de seguir siempre hacia arriba (el borde superior), y el suceso {X=0} al caso de seguir siempre hacia abajo (el borde inferior). El suceso {X=3} corresponde a varios itinerarios intermedios, todos aquellos que tengan 3 decorados con 3 no decorados. Por lo tanto cada camino se encuentra eligiendo tres posiciones de las seis para poner los decorados, el resto serán no decorados. ¿De cuántas maneras se pueden elegir 3 lugares en un conjunto de 6 posibles? Son tantas como combinaciones de 6 elementos tomadas de 3 en 3: C_6,3=20. La probabilidad de cada camino es un producto de tres probabilidades para los decorados por tres probabilidades para los no decorados, p³q³ (0'5³·0'5³=0'15625=1/64. Los distintos caminos son sucesos incompatibles, por lo que, en conjunto se suman para obtener la probabilidad conjunta.

Para el suceso {X=3}, p{X=3}=20·p³q³  (20·0'5³·0'5³=20·0'15625=0'3125=5/16=20/64)

Es decir, suponiendo la probabilidad 0'5, sacar tres monedas ocurre 1 vez de cada 64 lanzamientos. Sacar dos monedas, también. Y sacar una moneda ocurre 20 de cada 64 lanzamientos.

Procesamiento
Para averiguar todas las combinaciones de 6 tomados de 3 en 3 siguiendo el árbol se empieza por la parte superior y se van descendiendo por los ramales:
d1-d2-d3-nd4-nd5-nd6
d1-d2-nd3-d4-nd5-nd6
d1-d2-nd3-nd4-d5-nd6
d1-d2-nd3-nd4-nd5-d6
d1-nd2-d3-d4-nd5-nd6
d1-nd2-d3-nd4-d5-dn6
d1-nd2-d3-nd4-nd5-d6
d1-nd2-nd3-d4-d5-nd6
d1-nd2-nd3-d4-nd5-d6
d1-nd2-nd3-nd4-d5-d6
nd1-d2-d3-d4-nd5-nd6
nd1-d2-d3-nd4-d5-nd6
nd1-d2-d3-nd4-nd5-d6
nd1-d2-nd3-d4-d5-nd6
nd1-d2-nd3-d4-nd5-d6
nd1-d2-nd3.nd4-d5-d6
nd1-nd2-d3-d4-d5-nd6
nd1-nd2-d3-d4-nd5-d6
nd1-nd2-d3-nd4-d5-d6
nd1-nd2-nd3-d4-d5-d6

La cantidad de C_6,3=20. Cada unos de estos sucesos elementales tiene la misma probabilidad de suceder p³q³ porque en todos aparecen 3 decorados y 3 no decorados. Por lo tanto:
P{X=3}=C_6,3p³q³
y para los otros dos casos:
P{X=6}=C_6,6p⁶q⁰
P{X=0}=C_6,0p⁰q⁶

Mecanización
¿Cómo calcular cualquier la probabilidad  de otro suceso? Por ejemplo {X=2}. Los sucesos elementales que conforman este suceso sólo tienen 2 palitos decorados y 4 no decorados. El número de sucesos elementales es  C_6,2 y cada uno de ellos tiene de probabilidad p²q⁴, por lo tanto:
P{X=2}=C_6,2 p²q⁴
En general si hay r palitos decorados:
P{X=r}=C_6,r p^rq^n-r
Que es la fórmula general para calcular la probabilidad de casa suceso, siendo r={0,1,2,3,4,5,6}
Para el caso en que el número de palitos sea n
P{X=r}=C_n,r p^rq^n-r
Los resultados están ya calculados para distintos valores de n, r, p y q en las tablas de distribuciones binomiales.

Consolidación
Un experimento aleatorio cuyos sucesos elementales están constituidos por n sucesos individuales , como puede ser lanzar los seis palitos, es un experimento Binomial si:
1) Los sucesos individuales son del tipo éxito (salir decorado) o fracaso (no salir decorado)
2) Las probabilidades de éxito y fracaso se mantienen constantes para todos
P(éxito)=p, P(fracaso)=q, p+q=1
3) Los sucesos individuales son independientes, es decir lo que ocurre en un suceso individual no influye en los otros.

La variable aleatoria que cuenta el número de éxitos, X, se dice que es una variable aleatoria binomial y esto se expresa diciendo que X es B(n,p). En el juego de los palitos X es B(6,0'5). La función de probabilidad es  P{X=r}=C_n,r p^rq^n-r  , y se puede demostrar que la media=n·p y la varianza=n·p·q. Cualquier suceso que defina en la distribución binomial se puede estudiar su probabilidad a través de la función de probabilidad.

Evaluación
Para que un problema aleatorio sea del tipo binomial debemos de comprobar que es un experimento compuesto donde los n sucesos individuales, ocurre A (éxito), son independientes con la misma probabilidad de ocurrir, p, o no, q. La variable asociada X es la que cuenta el número de veces que ocurre A. Se tiene la función de probabilidad con la fórmula anterior. Ahora, todo esto, se puede aplicar para resolver los siguientes problemas:

1)      Los resultados de una encuesta sobre el nivel de aceptación de un determinado partido político han revelado que el 30% de la población es favorable a dicho partido, siendo desfavorable el resto.

En una encuesta realizada telefónicamente sobre 8 personas elegidas al azar, se desea saber la probabilidad de que:

a)      Únicamente tres sean favorables al partido.

b)      Al menos una persona sea favorable.

c)      A lo sumo dos sean desfavorables.

2)      Cierto medicamento contra una enfermedad provoca mejoría en el 60% de los casos. Si se receta a un grupo de 5 pacientes, cuál es la probabilidad de que:

a)      Los 5 pacientes mejoren.

b)      Al menos 4 mejoren.

c)      A lo sumo 2 no experimenten mejoría.

3)      Se analizan 10 empresas para decidir cuántas están en quiebra. La probabilidad de que una empresa esté en quiebra es 0’12.

a)      Calcula la probabilidad de que exactamente 2 de ellas estén en quiebra.

b)      ¿Cuál es el número esperado de empresas en quiebra?

c)      Halla la media y la desviación típica de la variable utilizada.

UNIDAD DIDÁCTICA: SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

MOTIVACIÓN:
Toda empresa tiene que saber cuál es la cifra de ventas anuales que debe de tener para nivelar gastos y a partir de ahí empezar a tener beneficios. A esta cantidad se le conoce como "punto de equilibrio".

Supongamos que una empresa tiene unos costos fijos en fabricar un determinado producto anualmente de 500 euros (estos costos son por tener la fábrica abierta). Si cada producto que fabrica cuesta 3 euros y fabrica x productos, tiene un costo variable de 3x euros. El coste total y es la suma del coste fijo más el variable:
y=500+3x
Ahora supongamos que los x productos los vende a 4 euros cada uno, los ingresos son 4x. Como queremos averiguar cuándo los ingresos son coincidentes con los costes de fabricación:
y=4x

Por lo tanto tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. El resultado de x es el número de productos que debe vender, e y el coste total de fabricación de esos x productos que es igual al ingreso por la venta de esos x productos. En ese momento la fabrica no pierde ni gana nada, pero sabe a partir de qué cantidad de productos o gasto, empieza a ganar dinero.

El inconveniente está en que hay que tener una forma de resolver un sistema.

ACTIVIDAD: Imaginar ejemplos de empresas que tienen que buscar el punto de equilibrio planteando sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

EXPERIMENTACIÓN:
Para resolverlo vamos simulando valores de producción x, y calculamos costes e ingresos hasta que coincidan

Nº de Productos	Coste	Ingreso
10	530	40
20	560	80
100	800	400
300	1400	1200
400	1700	1600
500	2000	2000

Entonces, a partir de 500 productos, un coste de producción de 2000 euros y de ingresos de 2000 euros, es cuando se empezaría a ganar dinero.

El inconveniente está en que puede ser muy largo el encontrar la solución y puede que no sean soluciones enteras.

ACTIVIDAD: Resolver los ejemplos de la actividad anterior con ayuda de tablas.

CONCEPTUALIZACIÓN:
Si representamos en una gráfica las dos ecuaciones con algunos de los valores de las tablas anteriores vemos que cuando coinciden Costes e Ingresos es en x=500. La gráfica puede llevar a imprecisión cuando los resultados son altos o no enteros.
Los gastos ya empiezan con 500 euros, en el eje Y para los pares (Nº de Productos, Gastos). Mientras que para los pares (Nº de Productos, Ingresos) empiezan en el origen de coordenadas. Conforme aumentan los productos los gastos se incrementan de 3 en 3, la recta tiene pendiente 3, mientras que los ingresos de 4 en 4, pendiente 4, por lo que es de esperar que los ingresos lleguen a alcanzar a los costes, en el punto de corte de las rectas (punto de equilibrio)
El punto de corte de las dos rectas (solución las ecuaciones lineales) se obtiene igualando las y:
y=500+3x=4x
despejando
500=4x-3x; x=500; y=4·500=2000

El sistema tiene solución única cuando las rectas se cortan en un punto. Si las rectas son paralelas el sistema no tiene solución. Y si la rectas son coincidentes hay infinitas soluciones.

El inconveniente es que encontrar la solución de forma gráfica no tiene precisión.

ACTIVIDAD: Representar gráficamente las ecuaciones de la actividad anterior y encontrar las soluciones de forma gráfica

RECURSOS: Utilizar una hoja de cálculo para la tabla y la representación gráfica

PROCESAMIENTO:
Cuando tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales, en general serán dos rectas que si vienen dadas por sus ecuaciones explícitas:
y=2x+4
y=-3x-6
se pueden resolver igualando las y:
2x+4=-3x-6; 2x+3x=-6-4; 5x=-10; x=-2; y=2(-2)+4=0

En general las rectas pueden estar definidas por ecuaciones implícitas:
2x+3y=-4
3x-5y=13
En cuyo caso podemos resolver el sistema por este proceso de igualación pasando a las ecuaciones explícitas, despejando y e igualando:
3y=-2x-4; y=(-2x-4)/3; -5y=-3x+13; 5y=3x-13; y=(3x-13)/5; (-2x-4)/3=(3x-13)/5; 5(-2x-4)=3(3x-13)
-10x-20=9x-39; -10x-9x=-39+20; -19x=-19; x=1; 2·(1)+3y=-4; 3y=-4-2; 3y=-6; y=-6/3=-2

Ante un sistema de ecuaciones lineales donde las rectas están definidas por las ecuaciones implícitas puede resultar engorroso despejar la y en las dos ecuaciones. Como el objetivo es convertir el sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas en uno de una ecuación y una incógnita, podemos despejar una vez una incógnita en una ecuación y sustituirla en la otra.

En el sistema anterior si se despeja y en la primera ecuación y se sustituye en la segunda,
y=(-2x-4)/3; 3x-5(-2x-4)/3=13; 9x+10x+20=39; 19x=19; x=1 
Con lo que se abrevian los cálculos

El inconveniente es que hay que llevar los cálculos con precisión sin cometer un error que ya se propagaría.

ACTIVIDAD: Plantear y resolver sistemas de ecuaciones lineales por igualación o sustitución. partir de soluciones enteras dadas para plantearlos.


MECANIZACIÓN:
Supongamos un sistema escrito en forma implícita:
a₁x+b₁y=c₁
a₂x+b₂y=c₂
y=(c₁-a₁x)/b_1; y=(c₂-a₂x)/b_2
Igualando
(c₁-a₁x)/b₁₌(c₂-a₂x)/b_2; b₂c₁-b₂a₁x=b₁c₂-b₁a₂x; -b₂a₁x+b₁a₂x=-b₂c₁+b₁c_2; x(a₂b₁-a₁b₂)=b₁c₂-b₂c_1
Ordenamos
x(a₁b₂-a₂b₁)=c₁b2-c₂b_{1
Y despejando}
x=(c₁b₂-c₂b₁)/(a₁b₂-a₂b₁)
si hacemos lo mismo con la y sale como fórmula:
y=(a₁c₂-a₂c₁)/(a₁b₂-a₂b₁)
Se puede mecanizar el proceso con ayuda de los coeficientes del sistema y los términos independientes, usando los productos cruzados.
Como es un cociente hay solución si a₁b₂-a₂b₁<>0

Por ejemplo:
-2x+5y=7
3x+2y=-1
No fijamos en los coeficientes de x e y. El denominador es el producto de las dos diagonales restado, y el numerador par x también pero usando termino independientes en lugar de los coeficientes de x. Para y se usa en el numerador el producto cruzado pero sustituyendo los coeficientes de y por los términos independientes.
x=(7·2-(-1)·5)/(-2·2-3·5)=-1
y=(-2·(-1)-3·7)/(-2·2-3·5)=1

El inconveniente está en que se puede perder el fundamento y no ser capaces de repetir el procedimiento.

ACTIVIDAD: Resolver los sistemas de ecuaciones lineales de la actividad anterior con ayuda de la fórmula

RECURSOS: Utilizar Microsoft Mathematics para resolver los sistemas y comprobar las soluciones

CONSOLIDACIÓN:
1º) En primer lugar cuando se tienen un sistema lineal de ecuaciones debemos de comprobar si a₁b₂-a₂b_{1 es cero.} Si fuese así indicaría que los coeficientes de las dos ecuaciones son proporcionales:
a₁b₂=a₂b₁
a₁/a₂=b₁/b₂

• Y si además los numeradores son distintos de cero entonces no puede haber solución, las rectas son paralelas.
•  Pero si los numeradores son cero es que las dos ecuaciones son proporcionales: a₁/a₂=b₁/b₂=c₁/c₂

<sub>Luego las dos ecuaciones son la misma recta, hay infinitas soluciones.

2º) Si el denominador no es cero es que las rectas se cortan en un punto, hay solución única.</sub>

Para solucionarla acudimos a la fórmula, o bien, elegimos los coeficientes de una de las dos variables y multiplicamos ambas ecuaciones por dichos coeficientes intercalados. Restando las ecuaciones resultantes tenemos una reducción del sistema a una sola incógnita y ya se puede resolver.

• En el caso de no solución desaparecerían las dos incógnitas.
• En caso de infinitas soluciones desaparecería todo.

Por ejemplo:
_4x-5y=-11
3x+2y=9
Multiplicamos la primera por 3 y la segunda por 4
12x-15y=-33
12x+8y=36
Restamos
-23y=-69; y=3
3x+6=9; x=1

El problema es cómo establecer esos coeficientes para construir los sistemas a partir del contexto de los problemas.

ACTIVIDAD: Resolver los sistemas de ecuaciones lineales de la actividad anterior por reducción

EVALUACIÓN:
Los problemas que se resuelven con sistemas de ecuaciones lineales usan dos variables. Las relaciones que existen suelen ser de proporcionalidad directa y la suma o resta da un valor conocido.
Cada ecuación puede referirse a conceptos diferentes, nº de productos y precios, o pesos y precios, ....
El método de resolución a emplear depende bastante de cómo estén escritas las ecuaciones. Antes de ponerse a resolverlo se debe de arreglar para que esté escrito en forma estandar.

Resolver los siguientes problemas:

1) Un tendero tiene café del tipo natural a 15 euros/kg y del tipo torrefacto a 10 euros/kg. Quiere preparar 20 kg de mezcla de ambos tipos y que le salga el precio a 12 euros/kg, ¿qué cantidad debe mezclar de cada tipo?

2) He comprado 5 latas de refresco y 4 botellas de agua por 6 €. Posteriormente, con los mismos precios he comprado 4 latas de refresco y 6 botellas de agua y me han costado 6,20 €. Halla los precios de ambas cosas.

3) En un examen de 20 preguntas la nota de Juan ha sido un 8. Si cada acierto vale un punto y cada error resta dos puntos, ¿cuántas preguntas ha acertado Juan?, ¿cuántas ha fallado?

UNIDAD DIDÁCTICA: La recursividad en el recuento

MOTIVACIÓN:
Supongamos que queremos contar cuantas monedas de un euro tenemos en un grupo en fila:

1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
Esto nos ha pasado alguna vez, por ejemplo cuando recogemos dinero en la escuela para hacer una excursión. Podemos contar en pequeños grupos y juntar los subtotales.
Actividad: Relata situaciones reales en las que hay que hacer recuentos

EXPERIMENTACIÓN:
Podemos ir contando de una en una desde el principio, pero lo que solemos hacer habitualmente, sobre todo para no equivocarnos, es contar no todo el grupo sino subgrupos más pequeños, por ejemplo de cinco en cinco:

1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1

En realidad sumamos de cinco en cinco mientras haya subgrupos y añadimos las últimas monedas restantes. Da un total de 33
Actividad: ¿Qué formas de recuento empleas usualmente?

CONCEPTUALIZACIÓN:
Reducimos el problema de contar a un tamaño más pequeño, el caso base es cuando hay menos de cinco monedas que contar y  al final podemos tener el recuento total.
El algoritmo queda así:

Total=0
Cuenta(el grupo que hay)
            si hay monedas suficientes tacha 5
            Total = Total+5
            Cuenta(el grupo que hay-5 tachadas)
                  sino
            Total=Total+ las monedas sobrantes
            fin si
fin Cuenta
Actividad: ¿Cómo ampliarías la estructura si además tienes que hacer el recuento automático del número de subgrupos?
PROCESAMIENTO:
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
Total=0
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
Total=0+5=5
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
Total=5+5=10
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
Total=10+5=15
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
Total=15+5=20
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
Total=20+5=25
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
Total=25+5=30
Monedas sobrantes=3
Total=30+3=33
MECANIZACIÓN:
Podemos esperar al final para contar.
Tachamos y cuando llegamos a las monedas sobrantes empezamos a contar
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
Ahora contamos el número de subgrupos de cinco que hay, salen 6, y sobran 3, por lo tanto el total de monedas de un euro que tenemos es: 5·6+3=33.

Total=5·número de subgupos de cinco+monedas sobrantes

Puede utilizarse un ábaco o regletas para tal fin si no se puede tachar lo que contamos.
Actividad: ¿Cónoces otras herramientas que se puedan utilizar para hacer un recuento?

CONSOLIDACIÓN:
Ante una nueva situación de recuento los pasos a seguir son:
1º. Elegir de cuanto en cuanto queremos contar. Lo habitual es contar de cinco en cinco, pero según lo que contemos y el tamaño también podemos variar esta cantidad. Si hay que contar 358 unidades podemos agrupar de 10 en 10, o de 20 en 20.
2º. A continuación ver el número que nos va a sobrar en el último paso. Si contamos de 10 en 10 sobraran menos de 10 en el último caso. Incluso se pueden hacer recuentos recursivos de 100 en 100 , pero en este caso hay que tener en cuenta que tengamos una buena técnica para no equivocarse.
3º. Hay contar bien el número de grupos y multiplicar por la cantidad que contamos por grupo. Y finalmente sumar lo que sobra.
Actividad: ¿Qué pasos seguirías si tuvieras que hacer el recuento de un número determinado de puntos del plano?
EVALUACIÓN:
¿En qué casos emplear un recuento recursivo?
Evidentemente si son pocas unidades se cuentan de seguido. A partir de cantidades de más de dos cifras se hace necesario hacerlo de forma recursiva.  También es importante asignar nombre a los subgrupos, por ejemplo lustros para años, docenas para productos alimenticios, .. Tiene que haber un compromiso entre la cantidad de cada subgrupo y el número de subgrupos, puesto que también hay que contar el número de subgrupos.

Actividad: ¿Ha habido distintas formas de contar según las civilizaciones? ¿El sistema de numeración decimal tiene que ver algo con el recuento?

Expandir y contraer, dos estrategias matemáticas

En muchas ocasiones interesa expandir las expresiones matemáticas, en otras contraerlas. Las reglas permiten hacer este proceso: por ejemplo, la regla del logaritmo del producto dice que, log(x·y) = log(x)+log(y) (esto es válido en cualquier base). Aplicar la regla de izquierda a derecha se puede considerar una expansión, mientras que hacerlo de derecha a izquierda sería una contracción. Pues bien, en determinados casos se aplica la expansión como cuando queremos simplificar cálculos haciendo sumas en lugar de productos, log(2·100) = log(2)+log(100) = 0' 0.301029996+2 = 2' 0.301029996 y el antilogaritmo es en este caso 200 (este caso es trivial pero ejemplifica el que fue uno de los propósitos iniciales de los logaritmos en sus comienzos (Neper)). Otras veces es necesario contraer como ocurre cuando se resuelve una ecuación logarítmica, como es el caso del siguiente ejemplo: log(x+3)+log(5) = log(x), log(5x+15) = log(x), 5x+15 = x, x = 15/4.

Entonces aparte de reglas también existen estrategias matemáticas que sería conveniente definir junto con las reglas, como puede ser la expansión o la contracción de expresiones matemáticas.

Las cuatro reglas cartesianas, ¿son suficientes?

1) Evidencia: No admitir jamás como verdadero cosa alguna sin conocer con evidencia que lo era.
2) Análisis: Dividir cada una de las dificultades que examinase en tantas partes como fuera posible y como requiriese para resolverlas mejor.
3) Síntesis: Conducir por orden los pensamientos, comenzando por los objetos más simples y más fáciles de conocer para ascender poco a poco, como por grados, hasta el conocimiento de los más compuestos.
4) Comprobación: Realizar en todo unos recuentos tan completos y unas revisiones tan generales que pudiese estar seguro de no omitir nada.

Estableciendo un paralelismo con el APC:

Evaluación: Establece los criterios para que las cosas estén bien hechas
Mecanización: Piensa los resultados para que se puedan automatizar
Conceptualización: Establece la estructura que soporta el conocimiento
Procesamiento: Explica como funcionan las cosas
Experimentación: Asocia el nuevo conocimiento con lo que ya has vivido
Consolidación: Establece un método para que se pueda volver a obtener el repetir
Motivación: Busca la utilidad de las cosas

Evidencia vs Evaluación
Análisis vs Mecanización
Síntesis vs Conceptualización
Comprobación vs Procesamiento

Faltarían las reglas que se corresponden con la experimentación, la consolidación y la motivación.
La correspondiente a la experimentación diría así:
5) Causa-efecto: Enlaza todos las razones de forma que de desarrolles un razonamiento válido desde la causa hasta el efecto.
La de la consolidación diría así:
6) Completitud: Establece una lista de situaciones diferentes con un hilo conductor de forma que se contemplen todos los casos.
Y para la motivación:
7) Relacionabilidad: Identifica y establece las relaciones espaciales posibles de forma que quede orientado el camino a seguir.

Recursividad, las matemáticas de la repetición

MOTIVACIÓN
La recursividad es una forma de resolver problemas basada en la repetición de la misma rutina disminuyendo la dificultad de la resolución de los mismos hasta llegar a un punto en que se resuelven fácilmente. Deshaciendo el camino se puede resolver el problema general. Esta forma de proceder está en la raíz de todas las matemáticas puesto que como vamos a ver está en la definición de la propia multiplicación.
EXPERIMENTACIÓN
Supongamos que tenemos que sumar diez veces tres:
Suma(10,3)=3+3+3+3+3+3+3+3+3+3
entonces podemos calcular primero la suma de nueve tres y sumarle otro tres:
Suma(10,3)=Suma(9,3)+3
y proceder así sucesivamente:
Suma(n,3)=Suma(n-1,3)+3
Hasta que al final podemos resolver el problema:
Suma(2,3)=Suma(1,3)+3=3+3=6
A partir de aquí se retrocede en el camino y se llega al resultado final que es 30.
CONCEPTUALIZACIÓN
Al resolver un problema usando la recursividad necesitamos averiguar cuál es el término general:
Suma(n,3)=Suma(n-1)+3
y cuál es el caso base:
Suma(1,3)=3
El término general nos indica como ir disminuyendo la dificultad del problema y el caso base cómo resolverlo en una situación sencilla.
PROCESAMIENTO:
Veamos como funciona el proceso:
Suma(10,3)=Suma(9,3)+3=(Suma(8,3)+3)+3=((Suma(7,3)+3)+3)+3=(((Suma(6,3)+3)+3)+3)+3=((((Suma(5,3)+3)+3)+3)+3)+3=(((((Suma(4,3)+3)+3)+3)+3)+3)+3=((((((Suma(3,3)+3)+3)+3)+3)+3)+3)+3=(((((((Suma(2,3)+3)+3)+3)+3)+3)+3)+3)+3= ((((((((Suma(1,3)+3)+3)+3)+3)+3)+3)+3)+3)+3=(((((((6+3)+3)+3)+3)+3)+3)+3)+3=((((((9+3)+3)+3)+3)+3)+3)+3=(((((12+3)+3)+3)+3)+3)+3=((((15+3)+3)+3)+3)+3=(((18+3)+3)+3)+3=((21+3)+3)+3=(24+3)+3=27+3=30
MECANIZACIÓN
Si queremos automatizar la ejecución debemos de establecer una cola de espera, donde el último en entrar es el primero en salir. La cola es esperar en este orden S(10,3), S(9,3), S(8,3), S(7,3), S(6,3), S(5,3), S(4,3), S(3,3), S(2,3), S(1,3). Ahora va saliendo desde el final y al último resultado le sumamos 3, S(1,3)=3, S(2,3)=6, S(3,3)=9, S(4,3)=12, S(5,3)=15, S(6,3)=18, S(7,3)=21, S(8,3)=24, S(9,3)=27, S(10,3)=30
CONSOLIDACIÓN
El primer paso es resolver el caso base, resolver el problema en su caso más sencillo, sumar una vez 3, S(1,3). A continuación hay que ver como se hace el siguiente caso más sencillo desde el paso anterior, sumar dos veces 3, S(2,3)=S(1,3)+3, el siguiente, S(3,3)=S(2,3)+3, así ya se puede sacar la fórmula del término general, S(n,3)=S(n-1,3)+3. A partir de ahí se va aplicando está fórmula repetidamente hasta completar el número de veces que se desea sumar 3.
EVALUACIÓN
¿Cuál es la clave para que el problema se pueda hacer de forma recursiva? Es la repetición como su propio nombre indica. Sumar tres diez veces solo se puede hacer sumando tres de uno en uno y acumulando los resultados, diez veces. En este caso es evidentemente la multiplicación de 10 por 3 que se tiene tabulada.
S(1,3)=3=1·3
S(2,3)=S(1,3)+3=3+3=2·3
S(3,3)=S(2,3)+3=S(1,3)+3+3=3+3+3=3·3
S(n,3)=n·3 (regla)
S(10,3)=10·3=30