¿En qué medida estamos en contacto con las matemáticas en nuestra vida cotidiana?
Me levanto a las 6:30 para entrar en el trabajo a las 8:00. Desayuno un café con 4 o 5 galletas. Estoy a las 7:20 en la parada de guagua para coger la línea 22. Suelen pasar una 2, una 25, una 81 y luego aparece la 22. El bono de 10 viajes me cuesta 13 euros. Trabajo de 8:00 a 13:00, aproximadamente, en turnos de 55 min. En el descanso de 30 min tomo un café que cuesta 70 cent. El centro de trabajo tiene 4 pisos y suelo estar en el 3º. Tardo unos 30 min en volver a casa, en la 22 o la 21. Si vuelvo en la 21 tengo que caminar aproximadamente 1 km.
Tengo un pendrive de 2 G en el que guardo los trabajos, un móvil con tarjeta de prepago con un saldo de 12 euros aproximadamente y un portátil de 10'' de pantalla, 1024 de RAM y 80 G. En el mercado suelo comprar café que está a 6 o 7 euros el kilo. El pescado está por término medio entorno a los 15 euros el kilo. Juego algunas veces a la lotería pero no tengo muchas esperanzas porque las probabilidades de que me toque son muy bajas. No estoy seguro de cuál es la lotería que me da más probabilidades de acertar. Mi equipo favorito va de 5º y estamos a mitad del campeonato. Me fijo en la bolsa cuando baja observando si la gráfica está en franco descenso. Estos días estoy fijándome en el mapa del tiempo, he aprendido a leer las borrascas y los anticiclones, la dirección y sentido de los vientos y los frentes cálidos y fríos. Ha habido un terremoto entre islas de magnitud 4 que apenas se ha sentido en la de aquí. El epicentro estaba localizado en el mar, lo he visto dibujado en la tele con ondas concéntricas. Son las 11:30 y me tengo que ir a dormir para poder hacerlo con 7 horas al menos.
lunes, 8 de febrero de 2010
domingo, 7 de febrero de 2010
Casos no permitidos
Las operaciones matemáticas presenta toda una serie de casos especiales que pueden cerrar el paso o dar lugar a nuevos resultados.
- Así por ejemplo, en las fracciones no se permite que el denominador sea 0, aunque sí lo puede ser el numerador. No se permite en las fracciones: 4/0, 5/0, -3/0,.... El caso es que como la fracción es una división no se puede dividir por 0 --¿qué entenderíamos por 4 caramelos repartidos entre 0 niños?.
- Caso curioso es el hecho de que 1=0.99999...., porque duplica la notación de todos los números reales. Así 2=1.999999...., 3.45=3.4499999..., ...Aunque está permitida esta duplicidad se obvia evitando la notación decimal con los nueves. Es fácil comprobar que 1=0.99999...., ya que si x=0.99999..., entonces 10x=9.99999..., y restando 10x-x=9x=9, luego, x=1.
- En los reales no se permiten radicandos negativos en raíces pares, pero sí se permite si estamos en los números complejos. No se permite en los reales: sqrt(-3), sqrt(-5),....; pero estas expresiones sí tienen sentido en los números complejos porque se define la unidad imaginaria, i=sqrt(-1). Las raíces cuadradas de los números negativos no pueden existir en los reales ya que por definición el resultado tiene que ser un número que elevado al cuadrado dé el radicando, pero un número al cuadrado es positivo y el radicando estamos diciendo que es negativo.
- Las potencias de base negativa tienen muchas limitaciones. En ningún caso se permite en los reales base negativa y exponente irracional: (-2)sqrt(2), (-5)pi,... Sin embargo se puede calcular (-3)4/3. Las potencias de exponente fraccionario se pueden calcular siempre que la raíz correspondiente esté permitida. El caso es que las potencias pares de números negativos, son positivas, y las impares, negativas, pero cuando el exponente es irracional no hay manera de saber si es par o impar.
- Los logaritmos de números negativos tampoco se pueden calcular. En ningún caso se permite utilizar en los reales argumento negativo: log(-3), ln(-5),... El logaritmo es el exponente al que elevar la base para que nos dé el número del argumento. En este caso no se pueden calcular los logaritmos porque las bases (10 y e) son números positivos y nunca podemos calcular potencias de base positiva que den negativo.
lunes, 1 de febrero de 2010
Matemáticas visuales (todo al detalle)
La calculadora suele funcionar con una precisión de 10 dígitos lo cual implica que los resultados que tienen más de estos dígitos hay que expresarlos en notación científica. Si tenemos que realizar una operación del tipo, 245x1234567890, nos encontramos que en el display aparece 3.024691331x1011. Pero, ¿cuál es el resultado exacto?. Vamos a lograr el objetivo de multiplicar con todas las cifras con la calculadora.
Para realizar las operaciones trabajaremos fragmentando el multiplicando y multiplicamos en cada tramo de forma que podamos ver en el display todas las cifras.
Dividimos en grupos de dos cifras (se pueden coger más cifras siempre y cuando los productos que se hagan quepan en el display):
R=245x1234567890=
245x(12x108+34x106+56x104+78x102+90)=
245x12x108+245x34x106+245x56x104+245x78x102+245x90
Cada operación particular se realiza en la calculadora por separado:
245x12=2940
245x34=8330
245x56=13720
245x78=19110
245x90=22050
¿Cómo arreglamos el resultado final? Sumando con la calculadora en columnas.
R=
294 000 000 000+
008 330 000 000+
000 137 200 000+
000 001 911 000+
000 000 022 050=
---------------------
302 469 133 050
Para realizar las operaciones trabajaremos fragmentando el multiplicando y multiplicamos en cada tramo de forma que podamos ver en el display todas las cifras.
Dividimos en grupos de dos cifras (se pueden coger más cifras siempre y cuando los productos que se hagan quepan en el display):
R=245x1234567890=
245x(12x108+34x106+56x104+78x102+90)=
245x12x108+245x34x106+245x56x104+245x78x102+245x90
Cada operación particular se realiza en la calculadora por separado:
245x12=2940
245x34=8330
245x56=13720
245x78=19110
245x90=22050
¿Cómo arreglamos el resultado final? Sumando con la calculadora en columnas.
R=
294 000 000 000+
008 330 000 000+
000 137 200 000+
000 001 911 000+
000 000 022 050=
---------------------
302 469 133 050
domingo, 24 de enero de 2010
Matemáticas generadas (todo está en la idea)
Etimología: Fracción=rotura
Concepto: Una fracción es la razón entre la parte y el todo.
Si una tarta está dividida en 13 raciones y se comen 5, decimos que se han comido las 5/13 partes de la tarta. Si esas trece raciones se dividiesen a la mitad y se comiese el doble de antes, se habrían comido las 10/26 partes de la tarta, que coinciden con las 5/13 partes. La segunda fracción es la amplificada de la primera y la primera es la simplificada de la segunda.
Es cualquier caso es tan importante conocer la parte como el todo. Por eso sumar o restar fracciones no es tan trivial como pretenden algunos, porque tenemos que disponer de un todo común y referenciar cada parte a ese todo común.
Si en un grupo las 2/5 partes son aficionados del equipo A y las 3/8 partes del equipo B, juntos ¿qué fracción suman?. Suponemos que es excluyente ser aficionado de A y B.
Como el todo (denominador) no coincide en ambos casos es que se han simplificado las fracciones, luego debemos amplificarlas. El total en el primer caso tendría que ser un múltiplo de 5 y en el segundo de 8. Un múltiplo común de 5 y 8 es 40, y es el menor múltiplo común. Podemos suponer que es 40 el total para ambos casos; la parte también cambia, ahora hay que amplificar las fracciones para que tengan denominador 40.
Concepto: Una fracción es la razón entre la parte y el todo.
Si una tarta está dividida en 13 raciones y se comen 5, decimos que se han comido las 5/13 partes de la tarta. Si esas trece raciones se dividiesen a la mitad y se comiese el doble de antes, se habrían comido las 10/26 partes de la tarta, que coinciden con las 5/13 partes. La segunda fracción es la amplificada de la primera y la primera es la simplificada de la segunda.
5/13=10/26
Es cualquier caso es tan importante conocer la parte como el todo. Por eso sumar o restar fracciones no es tan trivial como pretenden algunos, porque tenemos que disponer de un todo común y referenciar cada parte a ese todo común.
Si en un grupo las 2/5 partes son aficionados del equipo A y las 3/8 partes del equipo B, juntos ¿qué fracción suman?. Suponemos que es excluyente ser aficionado de A y B.
Como el todo (denominador) no coincide en ambos casos es que se han simplificado las fracciones, luego debemos amplificarlas. El total en el primer caso tendría que ser un múltiplo de 5 y en el segundo de 8. Un múltiplo común de 5 y 8 es 40, y es el menor múltiplo común. Podemos suponer que es 40 el total para ambos casos; la parte también cambia, ahora hay que amplificar las fracciones para que tengan denominador 40.
2/5=16/40 y 3/8=15/40.
Entonces, respecto a 40, la parte de los aficionados al equipo A son 16 y la parte de los aficionados al B son 15, entonces los dos grupos suman una parte conjuntamente de 31 personas de un total de 40, o sea, son las 31/40 partes del grupo.
2/5+3/8=16/40+15/40=31/40
sábado, 16 de enero de 2010
Matemáticas contadas (todo con nombre)
Los conjuntos numéricos han ido apareciendo conforme las operaciones numéricas han ido siendo imposibles de resolver, planteando en cada caso la necesidad de sus ampliaciones. Empezando con los números naturales {1,2,3,4,...}, la suma (2+3=5; 7+8=15; ...) es una operación cerrada en este conjunto numérico porque elegidos dos números naturales cualesquiera el resultado es otro número natural. Con los naturales la suma se puede hacer siempre. También la multiplicación, que es hacer sumas repetidas, es cerrada para los números naturales, el producto de dos naturales es un natural (3·5=15; 7·4=28; ...).
Si sólo sumásemos o multiplicásemos, con los números naturales ya tendríamos todo resuelto, pero resulta que hay otra operación inmediata a la suma, la resta. Si restamos dos naturales, a veces el resultado es un natural (7-3=4; 4-3=1; ...), pero a veces no (5-5=?; 4-6=?). Hacen falta nuevos números para poder cerrar el problema de la resta, es por lo que aparecen los números negativos, y se amplían los naturales (que pasan a ser los positivos) con el cero y los negativos, dando lugar a los llamados números enteros {...-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}. Con los enteros tenemos los números necesarios para hacer todo tipo de restas con naturales (5-5=0; 4-6=-2). Además estas tres operaciones se extienden en este nuevo conjunto numérico (-3-5=-8; (-4)·7=-28; 8+(-10)=-2; ...) consiguiendo con ello que sean cerradas en los enteros.
Si sólo sumásemos, restásemos o multiplicásemos con los números enteros tendríamos todo resuelto, pero resulta que después de la multiplicación viene la división (24:3=8; (-12):(-4)=3; ...), y hay divisiones que no tienen resultado en el conjunto de los enteros (4:7=?; 23:5=?; ..). Esto plantea la necesidad de ampliar el último conjunto numérico, hay que introducir las fracciones (4/5; -2/5; ...), y con ellas podemos hacer todas las divisiones (4:7=4/7; 23:5=23/5; ...). Este nuevo conjunto numérico se llama ahora el conjunto de los números racionales, está formado por los enteros y por las fracciones agrupadas en clases, las que forman distintas fracciones que son equivalentes entre si. Para evitar este pequeño lío, les buscamos una nueva notación a los irracionales y los escribimos en forma de número decimal concluyendo que los números racionales son los números decimales exactos (4.5; 3.889;7.0;-3.55; ...), los decimales periódicos puros (5.66666...; -3.56565656....; 9.120120120....) y los decimales periódicos mixtos (4.5633333....; 67.5923232323....).
Si sólo sumásemos, restásemos, multiplicásemos o dividiésemos, con los números racionales ya tendríamos resuelto todo, las cuatro operaciones son cerradas en este conjunto pero resulta que después de estas cuatro operaciones aún viene la radicación, el cálculo de raíces. Ya los pitagóricos sabían que raíz de 2 no es una fracción. Se necesitan los números irracionales para completar a los racionales para poder hacer estas raíces. Los irracionales son los números de infinitos decimales no periódicos (23.12123123412345....; 4.45673438956034302043...; ...). Los irracionales y los racionales, o sea, todos los números en notación decimal, forman los llamados números reales. Aún así no se resuelve el problema de las raíces porque en este conjunto numérico no se pueden calcular las raíces pares de los números negativos.
Si sólo sumásemos o multiplicásemos, con los números naturales ya tendríamos todo resuelto, pero resulta que hay otra operación inmediata a la suma, la resta. Si restamos dos naturales, a veces el resultado es un natural (7-3=4; 4-3=1; ...), pero a veces no (5-5=?; 4-6=?). Hacen falta nuevos números para poder cerrar el problema de la resta, es por lo que aparecen los números negativos, y se amplían los naturales (que pasan a ser los positivos) con el cero y los negativos, dando lugar a los llamados números enteros {...-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}. Con los enteros tenemos los números necesarios para hacer todo tipo de restas con naturales (5-5=0; 4-6=-2). Además estas tres operaciones se extienden en este nuevo conjunto numérico (-3-5=-8; (-4)·7=-28; 8+(-10)=-2; ...) consiguiendo con ello que sean cerradas en los enteros.
Si sólo sumásemos, restásemos o multiplicásemos con los números enteros tendríamos todo resuelto, pero resulta que después de la multiplicación viene la división (24:3=8; (-12):(-4)=3; ...), y hay divisiones que no tienen resultado en el conjunto de los enteros (4:7=?; 23:5=?; ..). Esto plantea la necesidad de ampliar el último conjunto numérico, hay que introducir las fracciones (4/5; -2/5; ...), y con ellas podemos hacer todas las divisiones (4:7=4/7; 23:5=23/5; ...). Este nuevo conjunto numérico se llama ahora el conjunto de los números racionales, está formado por los enteros y por las fracciones agrupadas en clases, las que forman distintas fracciones que son equivalentes entre si. Para evitar este pequeño lío, les buscamos una nueva notación a los irracionales y los escribimos en forma de número decimal concluyendo que los números racionales son los números decimales exactos (4.5; 3.889;7.0;-3.55; ...), los decimales periódicos puros (5.66666...; -3.56565656....; 9.120120120....) y los decimales periódicos mixtos (4.5633333....; 67.5923232323....).
Si sólo sumásemos, restásemos, multiplicásemos o dividiésemos, con los números racionales ya tendríamos resuelto todo, las cuatro operaciones son cerradas en este conjunto pero resulta que después de estas cuatro operaciones aún viene la radicación, el cálculo de raíces. Ya los pitagóricos sabían que raíz de 2 no es una fracción. Se necesitan los números irracionales para completar a los racionales para poder hacer estas raíces. Los irracionales son los números de infinitos decimales no periódicos (23.12123123412345....; 4.45673438956034302043...; ...). Los irracionales y los racionales, o sea, todos los números en notación decimal, forman los llamados números reales. Aún así no se resuelve el problema de las raíces porque en este conjunto numérico no se pueden calcular las raíces pares de los números negativos.
lunes, 4 de enero de 2010
Matemáticas metódicas (todo paso a paso)
Los algoritmos permiten obtener paso a paso resultados de manera consistente y duradera. Un algoritmo básico es el de Euclides que permite obtener el máximo común divisor de dos números a partir de un proceso iterativo. Con ayuda de una tabla se van poniendo las divisiones sucesivas a realizar en la fila del medio, los cocientes en la fila superior y los restos en la inferior y seguimos el hilo de los datos que se obtiene:
Algoritmo de Euclides para el cálculo del máximo común divisor de dos números (D y d, con D>d):
1) Ponemos los datos del dividendo, D, y el divisor, d, en dos celdas consecutivas de la fila central y efectuamos la división, obteniendo un cociente, C, y un resto, r. El cociente se pone encima del divisor d y el resto debajo.
2) Se pasa el resto a la derecha del divisor y ahora se realiza de nuevo la división siendo D=d y d=r.
3) Se sigue repitiendo el paso 2 hasta que el resto de la división sea 0. En ese caso, el penúltimo resto es el máximo común divisor buscado.
mcd(45,12)=3
El algoritmo es correcto gracias a que mcd(D,d)=mcd(d,r). Esto es así porque el máximo común divisor de D y d también es un divisor de r, puesto que: Si mcd(d,d)=m, entonces, D=mD' y d=md'. Por la división euclidea D=dC+r. Sustituyendo D y d, queda: mD'=md'C+r, y despejando r, r=m(D'-d'C), lo cual establece que m también es divisor de r.
Algoritmo de Euclides para el cálculo del máximo común divisor de dos números (D y d, con D>d):
1) Ponemos los datos del dividendo, D, y el divisor, d, en dos celdas consecutivas de la fila central y efectuamos la división, obteniendo un cociente, C, y un resto, r. El cociente se pone encima del divisor d y el resto debajo.
2) Se pasa el resto a la derecha del divisor y ahora se realiza de nuevo la división siendo D=d y d=r.
3) Se sigue repitiendo el paso 2 hasta que el resto de la división sea 0. En ese caso, el penúltimo resto es el máximo común divisor buscado.
mcd(45,12)=3
El algoritmo es correcto gracias a que mcd(D,d)=mcd(d,r). Esto es así porque el máximo común divisor de D y d también es un divisor de r, puesto que: Si mcd(d,d)=m, entonces, D=mD' y d=md'. Por la división euclidea D=dC+r. Sustituyendo D y d, queda: mD'=md'C+r, y despejando r, r=m(D'-d'C), lo cual establece que m también es divisor de r.
jueves, 31 de diciembre de 2009
Matemáticas relacionales (todo vinculado)
El área de un triángulo rectángulo como vínculo común permite obtener las áreas de otras figuras planas estableciendo la acción adecuada con esta orientación: hacer la conveniente división de la figura en triángulos rectángulos y combinar sus áreas. Así, un triángulo equilátero (o un isósceles) está formado por dos triángulos rectángulos de base b/2 y altura a, su área será: A=((b/2)·a)(1/2)·2=(b·a)/2.
Un rectángulo se divide en dos triángulos rectángulos por la diagonal, su área es: A=(b·a)(1/2)2=b·a. Lo mismo pasa con el cuadrado en el que a=b, quedando entonces su área, A=a·a=a2.
Un pentágono regular se divide en 5 triángulos isósceles, su área será: A=(5·b·a)/2=(p·a)/2, ya que 5·b=p es el perímetro del pentágono. El valor de a se llama apotema. Cualquier otro polígono regular de más lados también tiene esta fórmula.
Para un triángulo obtusángulo podemos suponer que su área se obtiene restando el área de un triángulo rectángulo de base b1+b2 y altura a de otro de base b1 y altura a. A=(b1+b2)·a/2- b1 ·a/2= b2·a/2.
Para el rombo, descomponiéndolo en cuatro triángulos rectángulos como se ve en la figura, su área queda: A=4·(b/2)(a/2)/2=(b·a)/2=(d·D)/2, siendo d y D las diagonales menor y mayor, respectivamente.
Para un trapecio (equilátero, isósceles o escaleno), dividiéndolo en dos triángulos de igual altura por una de las diagonales (ya no se necesita que sean rectángulos), tenemos: A=(B·a)/2+(b·a)/2=(B+b)·h/2, siendo a=h la altura, B la base mayor y b la menor.
Un rectángulo se divide en dos triángulos rectángulos por la diagonal, su área es: A=(b·a)(1/2)2=b·a. Lo mismo pasa con el cuadrado en el que a=b, quedando entonces su área, A=a·a=a2.Un pentágono regular se divide en 5 triángulos isósceles, su área será: A=(5·b·a)/2=(p·a)/2, ya que 5·b=p es el perímetro del pentágono. El valor de a se llama apotema. Cualquier otro polígono regular de más lados también tiene esta fórmula.
Para un triángulo obtusángulo podemos suponer que su área se obtiene restando el área de un triángulo rectángulo de base b1+b2 y altura a de otro de base b1 y altura a. A=(b1+b2)·a/2- b1 ·a/2= b2·a/2.
Para el rombo, descomponiéndolo en cuatro triángulos rectángulos como se ve en la figura, su área queda: A=4·(b/2)(a/2)/2=(b·a)/2=(d·D)/2, siendo d y D las diagonales menor y mayor, respectivamente.
Para un trapecio (equilátero, isósceles o escaleno), dividiéndolo en dos triángulos de igual altura por una de las diagonales (ya no se necesita que sean rectángulos), tenemos: A=(B·a)/2+(b·a)/2=(B+b)·h/2, siendo a=h la altura, B la base mayor y b la menor.
martes, 29 de diciembre de 2009
Matemáticas prácticas (todo demostrado por escrito)
Un ejemplo: Juan tiene 500 euros en el banco y en el plazo de 5 años amplia su capital hasta 550 euros, ¿que rendimiento le ha generado el capital? y ¿a qué interés tenía ese capital?.
Se define el rédito, r, como el rendimiento generado por el capital, lo que se ha incrementado en proporción al capital inicial. Si C1 es el capital inicial y C2 el final, la fórmula del rédito es: r=(C2-C1)/C1. Se expresa en tanto por uno o por ciento.
En este caso: r=(550-500)/500=50/500=0'1=10%. Lo cual demuestra que el capital se incrementó un 10% del capital inicial.
Se define el interés, i, como el rédito por unidad de tiempo. Entonces la fórmula del interés es: i=r/t.
En este caso, i=0'1/5=0'02=2%. Lo cual demuestra que el capital se incrementó el 2% del capital inicial en cada uno de los 5 años.
Formulario para calcular el rédito y el interés:
Se define el rédito, r, como el rendimiento generado por el capital, lo que se ha incrementado en proporción al capital inicial. Si C1 es el capital inicial y C2 el final, la fórmula del rédito es: r=(C2-C1)/C1. Se expresa en tanto por uno o por ciento.
En este caso: r=(550-500)/500=50/500=0'1=10%. Lo cual demuestra que el capital se incrementó un 10% del capital inicial.
Se define el interés, i, como el rédito por unidad de tiempo. Entonces la fórmula del interés es: i=r/t.
En este caso, i=0'1/5=0'02=2%. Lo cual demuestra que el capital se incrementó el 2% del capital inicial en cada uno de los 5 años.
Formulario para calcular el rédito y el interés:
| (C1)Capital inicial | (C2)Capital final | (t)Tiempo transcurrido | (r)Rédito=(C2-C1)/C1 | (i)Interés=r/t |
|---|---|---|---|---|
sábado, 28 de noviembre de 2009
Cegados para las matemáticas
CUANDO LA PASIÓN NO PERMITE VER LA RAZÓN:
Hay chicos que parecen que están cegados para el aprendizaje matemático (y otros aprendizajes intelectuales), las causas pueden ser diversas pero la resultante es el comportamiento de ceguera ante las propuestas de aprendizaje. No son capaces de percibir esa realidad y por contra suelen desempeñar una frenética actividad en contra del aburrimiento que les provoca el aprendizaje. Si realizásemos el experimento de hacer asistir a clase a un buen estudiante con los ojos tapados, sin la posibilidad de ver la pizarra, ni el cuaderno, ni a profesor, ni a compañeros, probablemente con el paso de los días tendríamos los mismos resultados que aporta cualquier chico del que hablamos inicialmente. No son alumnos irrecuperables como éstos se consideran, no tienen una neurona de menos como llegan a decir, solamente hay que averiguar la causa de su ceguera, y, tal vez, lavándole los ojos recuperen la vista.
Hay chicos que parecen que están cegados para el aprendizaje matemático (y otros aprendizajes intelectuales), las causas pueden ser diversas pero la resultante es el comportamiento de ceguera ante las propuestas de aprendizaje. No son capaces de percibir esa realidad y por contra suelen desempeñar una frenética actividad en contra del aburrimiento que les provoca el aprendizaje. Si realizásemos el experimento de hacer asistir a clase a un buen estudiante con los ojos tapados, sin la posibilidad de ver la pizarra, ni el cuaderno, ni a profesor, ni a compañeros, probablemente con el paso de los días tendríamos los mismos resultados que aporta cualquier chico del que hablamos inicialmente. No son alumnos irrecuperables como éstos se consideran, no tienen una neurona de menos como llegan a decir, solamente hay que averiguar la causa de su ceguera, y, tal vez, lavándole los ojos recuperen la vista.
sábado, 21 de noviembre de 2009
Empaquetando cubos
Una caja P(x) la puedo llenar con 5 cubos de volumen x3, con 2 paralelepípedos de volumen 1·x2 y con 4 cubos de volumen 1. Otra caja Q(x) la puedo llenar con 3 cubos de volumen x3, con 4 paralelepípedos de volumen 1·x2 pero me sobran 4 cubos de volumen 1. Si junto las cajas en una tercera, ¿qué cantidad de piezas tienen que caber al menos?.
jueves, 19 de noviembre de 2009
El espacio como escena
Dados los siguientes polinomios: P(x)=2x3+3x2-4x+3 y Q(x)=-3x3+4x2-5x-2; calcular su suma: P(x)+Q(x).
ORIENTACION:
Hay que considerar que P(x) y Q(x) son dos posiciones en el papel y que en todo momento los polinomios son una serie de posiciones ocupadas por los monomios. Hay que aproximar los monomios semejantes.
CAMINO:
En el lugar de P(x) y de Q(x) ponemos la expresión polinómica que les corresponde:
P(x)+Q(x)=2x3+3x2-4x+3 + (-3)x3+4x2-5x-2
Reordenamos juntando los monomios de igual grado:
P(x)+Q(x)=2x3-3x3 + 3x2+4x2 + (-4)x-5x + 3-2
Realizamos las operaciones entre los monomios de igual grado:
P(x)+Q(x)=-x3+7x2-9x+1
ORIENTACION:
Hay que considerar que P(x) y Q(x) son dos posiciones en el papel y que en todo momento los polinomios son una serie de posiciones ocupadas por los monomios. Hay que aproximar los monomios semejantes.
CAMINO:
En el lugar de P(x) y de Q(x) ponemos la expresión polinómica que les corresponde:
P(x)+Q(x)=2x3+3x2-4x+3 + (-3)x3+4x2-5x-2
Reordenamos juntando los monomios de igual grado:
P(x)+Q(x)=2x3-3x3 + 3x2+4x2 + (-4)x-5x + 3-2
Realizamos las operaciones entre los monomios de igual grado:
P(x)+Q(x)=-x3+7x2-9x+1
viernes, 13 de noviembre de 2009
Propuesta metodológica (8)
Un repositorio de ficheros de Maxima para alumnos de Bachillerato y ESO
Cálculo de los máximos y mínimos relativos de una función polinómica de tercer grado
Cálculo de puntos de inflexión para una función polinómica de cuarto grado
Integrales racionales
Área entre dos curvas
Ecuación de primer grado con paréntesis
Ecuación de segundo grado completa
Cálculo de los máximos y mínimos relativos de una función polinómica de tercer grado
Cálculo de puntos de inflexión para una función polinómica de cuarto grado
Integrales racionales
Área entre dos curvas
Ecuación de primer grado con paréntesis
Ecuación de segundo grado completa
martes, 3 de noviembre de 2009
Conseguir el conocimiento
The two galaxies happen to be oriented so that they appear to mark the number 10. The left-most galaxy, or the "one" in this image, is relatively undisturbed apart from a smooth ring of starlight. It appears nearly on edge to our line of sight. The right-most galaxy, resembling a zero, exhibits a clumpy, blue ring of intense star formation. The galaxy pair was photographed on October 27-28, 2008. Arp 147 lies in the constellation Cetus, and it is more than 400 million light-years away from.http://hubblesite.org/
¡Qué fuerte! ¿Como conseguir un 10 como este en Matemáticas? Pero, ¿cuantos kilómetros hay para ir hasta la constelación Cetus (La ballena)?. Y, yendo a la velocidad del mejor cohete posible, ¿cuánto tiempo tardaríamos?
La velocidad de escape del planeta Tierra es de 40221 Km/h. La del Sol es de 3204000 km/h. Eso quiere decir que para escapar de la atracción terrestre y del Sol hay que ir por encima de esas velocidades, respectivamente. Vamos a suponer que tenemos un cohete que nos permite salir del Sistema Solar a 3204000 km/h, ¿cuánto tardaríamos en llegar a Cetus?La velocidad de la luz suponemos que es 3·105 km/s, que en km/h sería, 3·105·3600 = 1,08·109 km/h. La luz tarda 400 millones de años en llegar desde la constelación Cetus hasta nosotros, o sea, 4·108·365·24 = 3,504·1012 horas. Por tanto hay 3,504·1012·1,08·109 = 3,784·1021 km de distancia. Un cohete que consiguiese salir con la velocidad de escape necesaria para salir del Sistema Solar tardaría 3,784·1021 /3,204·106 = 1,181·1015 horas = 1,181·1015/(365·24) = 1,348·1011 años. Un buen puñado de años. Tal vez haya un atajo.
Actividad hecha con el Maxima
domingo, 1 de noviembre de 2009
Construir el conocimiento
Definición: Una división entre naturales es exacta cuando el resto es cero:
Ejemplo: 45 dividido entre 3 da de cociente 15 y de resto 0 y por lo tanto es una división exacta.
Definición: Un número tiene por divisor a otro número cuando la división por ese número es exacta.
Ejemplo: 25 tiene por divisor al 5 porque al dividir 25 entre 5 da de resto 0.
Ejemplo: 24 no tiene por divisor al 5 porque el resto de la división de 24 entre 5 es 4.
Proposición: El 1 es divisor de cualquier número:
Demostración: Es obvio que al dividir cualquier número entre 1 da una división de resto cero.
Proposición: Todo número es divisor de sí mismo.
Demostración: Es obvio que al dividir cualquier número entre sí mismo da división de resto cero.
Definición: Un número primo es aquel que solo admite como divisores al mismo número o la unidad.
Ejemplo: El 2 es primo, el 3 es primo, el 5 es primo.
Ejemplo: El 4 no es primo porque es divisible por 2, y el 9 tampoco es primo porque es divisible por 3.
Definición: Un número que no sea primo se dice compuesto.
Ejemplo: El 14 es compuesto
Proposición: Todo número compuesto admite algún número primo como divisor.
Demostración: Si es compuesto admite un divisor distinto de 1 y del propio número. Si este divisor no es primo entonces es compuesto y a su vez admitirá un divisor primo o compuesto. Si seguimos así llegaremos a que en algún momento el divisor tiene que ser primo porque en última instancia llegaríamos a que sólo admite al 1 o al propio número como divisor y por lo tanto es primo.
Ejemplo: El 42 es compuesto y admite al 6 como divisor. Pero el 6 admite al 3 como divisor que es primo y por tanto el 3 también es divisor primo de 42.
Teorema: Existen infinitos números primos.
Demostración: Suponemos que existen sólo un número finito de números primos que numeramos así: p1, p2, p3, ...pn. Si consideramos el número que resulta de multiplicar todos esos números primos y sumarle el uno tendremos un nuevo número: q= p1· p2· p3· ...·pn+1; pues resulta que ese nuevo número también es primo, porque si lo dividimos por cualquiera de los primos pi da de resto 1; y si lo dividimos por cualquier número compuesto distinto de 1 y de q tampoco puede dar exacto porque sino habría un primo divisor. Como q es mayor que cualquier pi tal como se construyó estaríamos diciendo que hay más de n números primos contradiciendo la hipótesis de partida de que sólo había n. Entonces no podemos aceptar que haya un número finito de números primos.
Ejemplo: 45 dividido entre 3 da de cociente 15 y de resto 0 y por lo tanto es una división exacta.
Definición: Un número tiene por divisor a otro número cuando la división por ese número es exacta.
Ejemplo: 25 tiene por divisor al 5 porque al dividir 25 entre 5 da de resto 0.
Ejemplo: 24 no tiene por divisor al 5 porque el resto de la división de 24 entre 5 es 4.
Proposición: El 1 es divisor de cualquier número:
Demostración: Es obvio que al dividir cualquier número entre 1 da una división de resto cero.
Proposición: Todo número es divisor de sí mismo.
Demostración: Es obvio que al dividir cualquier número entre sí mismo da división de resto cero.
Definición: Un número primo es aquel que solo admite como divisores al mismo número o la unidad.
Ejemplo: El 2 es primo, el 3 es primo, el 5 es primo.
Ejemplo: El 4 no es primo porque es divisible por 2, y el 9 tampoco es primo porque es divisible por 3.
Definición: Un número que no sea primo se dice compuesto.
Ejemplo: El 14 es compuesto
Proposición: Todo número compuesto admite algún número primo como divisor.
Demostración: Si es compuesto admite un divisor distinto de 1 y del propio número. Si este divisor no es primo entonces es compuesto y a su vez admitirá un divisor primo o compuesto. Si seguimos así llegaremos a que en algún momento el divisor tiene que ser primo porque en última instancia llegaríamos a que sólo admite al 1 o al propio número como divisor y por lo tanto es primo.
Ejemplo: El 42 es compuesto y admite al 6 como divisor. Pero el 6 admite al 3 como divisor que es primo y por tanto el 3 también es divisor primo de 42.
Teorema: Existen infinitos números primos.
Demostración: Suponemos que existen sólo un número finito de números primos que numeramos así: p1, p2, p3, ...pn. Si consideramos el número que resulta de multiplicar todos esos números primos y sumarle el uno tendremos un nuevo número: q= p1· p2· p3· ...·pn+1; pues resulta que ese nuevo número también es primo, porque si lo dividimos por cualquiera de los primos pi da de resto 1; y si lo dividimos por cualquier número compuesto distinto de 1 y de q tampoco puede dar exacto porque sino habría un primo divisor. Como q es mayor que cualquier pi tal como se construyó estaríamos diciendo que hay más de n números primos contradiciendo la hipótesis de partida de que sólo había n. Entonces no podemos aceptar que haya un número finito de números primos.
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