Una caja P(x) la puedo llenar con 5 cubos de volumen x3, con 2 paralelepípedos de volumen 1·x2 y con 4 cubos de volumen 1. Otra caja Q(x) la puedo llenar con 3 cubos de volumen x3, con 4 paralelepípedos de volumen 1·x2 pero me sobran 4 cubos de volumen 1. Si junto las cajas en una tercera, ¿qué cantidad de piezas tienen que caber al menos?.
sábado, 21 de noviembre de 2009
Empaquetando cubos
Una caja P(x) la puedo llenar con 5 cubos de volumen x3, con 2 paralelepípedos de volumen 1·x2 y con 4 cubos de volumen 1. Otra caja Q(x) la puedo llenar con 3 cubos de volumen x3, con 4 paralelepípedos de volumen 1·x2 pero me sobran 4 cubos de volumen 1. Si junto las cajas en una tercera, ¿qué cantidad de piezas tienen que caber al menos?.
jueves, 19 de noviembre de 2009
El espacio como escena
Dados los siguientes polinomios: P(x)=2x3+3x2-4x+3 y Q(x)=-3x3+4x2-5x-2; calcular su suma: P(x)+Q(x).
ORIENTACION:
Hay que considerar que P(x) y Q(x) son dos posiciones en el papel y que en todo momento los polinomios son una serie de posiciones ocupadas por los monomios. Hay que aproximar los monomios semejantes.
CAMINO:
En el lugar de P(x) y de Q(x) ponemos la expresión polinómica que les corresponde:
P(x)+Q(x)=2x3+3x2-4x+3 + (-3)x3+4x2-5x-2
Reordenamos juntando los monomios de igual grado:
P(x)+Q(x)=2x3-3x3 + 3x2+4x2 + (-4)x-5x + 3-2
Realizamos las operaciones entre los monomios de igual grado:
P(x)+Q(x)=-x3+7x2-9x+1
ORIENTACION:
Hay que considerar que P(x) y Q(x) son dos posiciones en el papel y que en todo momento los polinomios son una serie de posiciones ocupadas por los monomios. Hay que aproximar los monomios semejantes.
CAMINO:
En el lugar de P(x) y de Q(x) ponemos la expresión polinómica que les corresponde:
P(x)+Q(x)=2x3+3x2-4x+3 + (-3)x3+4x2-5x-2
Reordenamos juntando los monomios de igual grado:
P(x)+Q(x)=2x3-3x3 + 3x2+4x2 + (-4)x-5x + 3-2
Realizamos las operaciones entre los monomios de igual grado:
P(x)+Q(x)=-x3+7x2-9x+1
viernes, 13 de noviembre de 2009
Propuesta metodológica (8)
Un repositorio de ficheros de Maxima para alumnos de Bachillerato y ESO
Cálculo de los máximos y mínimos relativos de una función polinómica de tercer grado
Cálculo de puntos de inflexión para una función polinómica de cuarto grado
Integrales racionales
Área entre dos curvas
Ecuación de primer grado con paréntesis
Ecuación de segundo grado completa
Cálculo de los máximos y mínimos relativos de una función polinómica de tercer grado
Cálculo de puntos de inflexión para una función polinómica de cuarto grado
Integrales racionales
Área entre dos curvas
Ecuación de primer grado con paréntesis
Ecuación de segundo grado completa
martes, 3 de noviembre de 2009
Conseguir el conocimiento
The two galaxies happen to be oriented so that they appear to mark the number 10. The left-most galaxy, or the "one" in this image, is relatively undisturbed apart from a smooth ring of starlight. It appears nearly on edge to our line of sight. The right-most galaxy, resembling a zero, exhibits a clumpy, blue ring of intense star formation. The galaxy pair was photographed on October 27-28, 2008. Arp 147 lies in the constellation Cetus, and it is more than 400 million light-years away from.http://hubblesite.org/
¡Qué fuerte! ¿Como conseguir un 10 como este en Matemáticas? Pero, ¿cuantos kilómetros hay para ir hasta la constelación Cetus (La ballena)?. Y, yendo a la velocidad del mejor cohete posible, ¿cuánto tiempo tardaríamos?
La velocidad de escape del planeta Tierra es de 40221 Km/h. La del Sol es de 3204000 km/h. Eso quiere decir que para escapar de la atracción terrestre y del Sol hay que ir por encima de esas velocidades, respectivamente. Vamos a suponer que tenemos un cohete que nos permite salir del Sistema Solar a 3204000 km/h, ¿cuánto tardaríamos en llegar a Cetus?La velocidad de la luz suponemos que es 3·105 km/s, que en km/h sería, 3·105·3600 = 1,08·109 km/h. La luz tarda 400 millones de años en llegar desde la constelación Cetus hasta nosotros, o sea, 4·108·365·24 = 3,504·1012 horas. Por tanto hay 3,504·1012·1,08·109 = 3,784·1021 km de distancia. Un cohete que consiguiese salir con la velocidad de escape necesaria para salir del Sistema Solar tardaría 3,784·1021 /3,204·106 = 1,181·1015 horas = 1,181·1015/(365·24) = 1,348·1011 años. Un buen puñado de años. Tal vez haya un atajo.
Actividad hecha con el Maxima
domingo, 1 de noviembre de 2009
Construir el conocimiento
Definición: Una división entre naturales es exacta cuando el resto es cero:
Ejemplo: 45 dividido entre 3 da de cociente 15 y de resto 0 y por lo tanto es una división exacta.
Definición: Un número tiene por divisor a otro número cuando la división por ese número es exacta.
Ejemplo: 25 tiene por divisor al 5 porque al dividir 25 entre 5 da de resto 0.
Ejemplo: 24 no tiene por divisor al 5 porque el resto de la división de 24 entre 5 es 4.
Proposición: El 1 es divisor de cualquier número:
Demostración: Es obvio que al dividir cualquier número entre 1 da una división de resto cero.
Proposición: Todo número es divisor de sí mismo.
Demostración: Es obvio que al dividir cualquier número entre sí mismo da división de resto cero.
Definición: Un número primo es aquel que solo admite como divisores al mismo número o la unidad.
Ejemplo: El 2 es primo, el 3 es primo, el 5 es primo.
Ejemplo: El 4 no es primo porque es divisible por 2, y el 9 tampoco es primo porque es divisible por 3.
Definición: Un número que no sea primo se dice compuesto.
Ejemplo: El 14 es compuesto
Proposición: Todo número compuesto admite algún número primo como divisor.
Demostración: Si es compuesto admite un divisor distinto de 1 y del propio número. Si este divisor no es primo entonces es compuesto y a su vez admitirá un divisor primo o compuesto. Si seguimos así llegaremos a que en algún momento el divisor tiene que ser primo porque en última instancia llegaríamos a que sólo admite al 1 o al propio número como divisor y por lo tanto es primo.
Ejemplo: El 42 es compuesto y admite al 6 como divisor. Pero el 6 admite al 3 como divisor que es primo y por tanto el 3 también es divisor primo de 42.
Teorema: Existen infinitos números primos.
Demostración: Suponemos que existen sólo un número finito de números primos que numeramos así: p1, p2, p3, ...pn. Si consideramos el número que resulta de multiplicar todos esos números primos y sumarle el uno tendremos un nuevo número: q= p1· p2· p3· ...·pn+1; pues resulta que ese nuevo número también es primo, porque si lo dividimos por cualquiera de los primos pi da de resto 1; y si lo dividimos por cualquier número compuesto distinto de 1 y de q tampoco puede dar exacto porque sino habría un primo divisor. Como q es mayor que cualquier pi tal como se construyó estaríamos diciendo que hay más de n números primos contradiciendo la hipótesis de partida de que sólo había n. Entonces no podemos aceptar que haya un número finito de números primos.
Ejemplo: 45 dividido entre 3 da de cociente 15 y de resto 0 y por lo tanto es una división exacta.
Definición: Un número tiene por divisor a otro número cuando la división por ese número es exacta.
Ejemplo: 25 tiene por divisor al 5 porque al dividir 25 entre 5 da de resto 0.
Ejemplo: 24 no tiene por divisor al 5 porque el resto de la división de 24 entre 5 es 4.
Proposición: El 1 es divisor de cualquier número:
Demostración: Es obvio que al dividir cualquier número entre 1 da una división de resto cero.
Proposición: Todo número es divisor de sí mismo.
Demostración: Es obvio que al dividir cualquier número entre sí mismo da división de resto cero.
Definición: Un número primo es aquel que solo admite como divisores al mismo número o la unidad.
Ejemplo: El 2 es primo, el 3 es primo, el 5 es primo.
Ejemplo: El 4 no es primo porque es divisible por 2, y el 9 tampoco es primo porque es divisible por 3.
Definición: Un número que no sea primo se dice compuesto.
Ejemplo: El 14 es compuesto
Proposición: Todo número compuesto admite algún número primo como divisor.
Demostración: Si es compuesto admite un divisor distinto de 1 y del propio número. Si este divisor no es primo entonces es compuesto y a su vez admitirá un divisor primo o compuesto. Si seguimos así llegaremos a que en algún momento el divisor tiene que ser primo porque en última instancia llegaríamos a que sólo admite al 1 o al propio número como divisor y por lo tanto es primo.
Ejemplo: El 42 es compuesto y admite al 6 como divisor. Pero el 6 admite al 3 como divisor que es primo y por tanto el 3 también es divisor primo de 42.
Teorema: Existen infinitos números primos.
Demostración: Suponemos que existen sólo un número finito de números primos que numeramos así: p1, p2, p3, ...pn. Si consideramos el número que resulta de multiplicar todos esos números primos y sumarle el uno tendremos un nuevo número: q= p1· p2· p3· ...·pn+1; pues resulta que ese nuevo número también es primo, porque si lo dividimos por cualquiera de los primos pi da de resto 1; y si lo dividimos por cualquier número compuesto distinto de 1 y de q tampoco puede dar exacto porque sino habría un primo divisor. Como q es mayor que cualquier pi tal como se construyó estaríamos diciendo que hay más de n números primos contradiciendo la hipótesis de partida de que sólo había n. Entonces no podemos aceptar que haya un número finito de números primos.
sábado, 31 de octubre de 2009
Contar el conocimiento
Los numerales arábigos:
Calculistas vs abaquistas:
Es de todos conocidos que las representaciones numéricas de los números que empleamos nos llegaron con los árabes a Europa a través de la invasión por el sur de España, por eso se les llaman también números arábigos, y que a su vez éstos los habían extraído de los hindúes. La genealogía de los numerales actuales empieza con las formas de representar los números en la civilización hindú de los 
Brahmi (300 a.C), pasa a los Gwalior (500 d.C) y de ahí a los árabes. Éstos tienen dos ramas, los orientales (800) y los occidentales (950), estos últimos son los que vienen a España. Matemáticos árabes como al-Sizji (945-1020), al-Biruni (973-1048) o al-Banna al-Marrakushi (1256-1321) difunden con sus tratados estos nuevos numerales que llegan a occidente. Aunque suele corresponder a al-Khwarizmi (780-850), por parte árabe, y a Leonardo de Pisa (Fibonacci, 1170-1250), por parte europea, todo el protagonismo del traspaso.
Brahmi (300 a.C), pasa a los Gwalior (500 d.C) y de ahí a los árabes. Éstos tienen dos ramas, los orientales (800) y los occidentales (950), estos últimos son los que vienen a España. Matemáticos árabes como al-Sizji (945-1020), al-Biruni (973-1048) o al-Banna al-Marrakushi (1256-1321) difunden con sus tratados estos nuevos numerales que llegan a occidente. Aunque suele corresponder a al-Khwarizmi (780-850), por parte árabe, y a Leonardo de Pisa (Fibonacci, 1170-1250), por parte europea, todo el protagonismo del traspaso.Calculistas vs abaquistas:
En el transcurso histórico los números van sufriendo transformaciones en su forma de escribirlos. Hay varios factores que influyen en esta evolución. Uno de ellos es el sentido de la escritura, según se escriba de izquierda a derecha o al revés, de arriba abajo o al revés, esto influye en la grafía, de ahí que los primeros números árabes occidentales y orientales sólo difieren en un giro de 90º. Otra de las influencias es el medio de cálculo que se emplea, por ejemplo, en Europa desde el principio de milenio hasta varios siglos después, se desarrolló toda una lucha entre los calculistas con ábaco y los que usaban las cifras árabes trazadas sobre la arena. El dibujar las cifras en un tablero de arena o polvo (Gobar) permitía escribir y borrar varias veces, mejorando el proceso de cálculo, y este fue un factor importante para que los numerales árabes se impusieran a los ábacos.
Modas y futuro:
También han influido determinadas escuelas y personajes de diversos ámbitos, como los discípulos de Pitágoras, sobre el año mil, que ponen de moda los números ápices, A. Durero sobre el 1500 que diseña unos números geométricos o Gutenberg que en esa época los tiene que diseñar junto con la letra gótica en las prensas de su imprenta. Lo curioso es que los diez dígitos que empleamos hoy en día alcanzan su tipografía actual hace poco más de 500 años, y ya nos hemos familiarizado con ellos, aunque con la llegada de los ordenadores ya les hemos visto con nuevo aspecto, pero cabe preguntarse si no seguirán evolucionando en el futuro, puesto que cada época también les reviste de su impronta.
Modas y futuro:
También han influido determinadas escuelas y personajes de diversos ámbitos, como los discípulos de Pitágoras, sobre el año mil, que ponen de moda los números ápices, A. Durero sobre el 1500 que diseña unos números geométricos o Gutenberg que en esa época los tiene que diseñar junto con la letra gótica en las prensas de su imprenta. Lo curioso es que los diez dígitos que empleamos hoy en día alcanzan su tipografía actual hace poco más de 500 años, y ya nos hemos familiarizado con ellos, aunque con la llegada de los ordenadores ya les hemos visto con nuevo aspecto, pero cabe preguntarse si no seguirán evolucionando en el futuro, puesto que cada época también les reviste de su impronta.
viernes, 30 de octubre de 2009
Completar conocimiento
Resolver las operaciones con números enteros en TODOS los casos:
LISTA:
a) 2+3; 3+6; 2+9; 5+5 (suma de dos números naturales a+b con a<=b).
b) 4+2; 7+2; 6+6; 8+1 (suma de dos números naturales a+b con a>b).
c) 5-3; 6-2; 8-4; 7-7 (resta de dos números naturales a-b con a>=b).
d) 5-7; 4-9; 3-8; 5-9 (resta de dos números naturales a-b con |a|<=b).
e)-3+4; -5+5; -2+7; -1+4 (suma de un entero negativo con otro positivo a+b con |a|<=b).
f) -4+2; -6+2; -5+3; -7+1 (suma de un entero negativo con otro positivo a+b con |a|>b).
g) -8+(-1); -6+(-3); -6+(-6); -7+(-2) (suma de un entero negativo con otro negativo a+b con |a|>=|b|).
h) -3+(-7); -2+(-5); -3+(-9); -1+(-5) (suma de un entero negativo con otro negativo a+b con |a|<|b|).
i) 4-(-3); 8-(-2); 5-(-5); 6-(-3) (resta de un entero positivo con otro negativo a-b con a>=|b|).
j) 3-(-5); 5-(-8); 2-(-3); 1-(-6) (resta de un entero positivo con otro negativo a-b con a<|b|).
k) -4-(-3); -6-(-1); -6-(-2); -8-(-8) (resta de un entero negativo con otro negativo a-b con |a|>=|b|).
l) -3-(-6); -1-(-5); -4-(-7); -2-(-9) (resta de un entero negativo con otro negativo a-b con |a|<|b|).
El HILO CONDUCTOR son las sumas y restas de enteros distinguiendo si los números son positivos o negativos y si el primer número de la operación en valor absoluto es mayor o igual que el segundo en valor absoluto o no.
LISTA:
a) 2+3; 3+6; 2+9; 5+5 (suma de dos números naturales a+b con a<=b).
b) 4+2; 7+2; 6+6; 8+1 (suma de dos números naturales a+b con a>b).
c) 5-3; 6-2; 8-4; 7-7 (resta de dos números naturales a-b con a>=b).
d) 5-7; 4-9; 3-8; 5-9 (resta de dos números naturales a-b con |a|<=b).
e)
f) -4+2; -6+2; -5+3; -7+1 (suma de un entero negativo con otro positivo a+b con |a|>b).
g) -8+(-1); -6+(-3); -6+(-6); -7+(-2) (suma de un entero negativo con otro negativo a+b con |a|>=|b|).
h) -3+(-7); -2+(-5); -3+(-9); -1+(-5) (suma de un entero negativo con otro negativo a+b con |a|<|b|).
i) 4-(-3); 8-(-2); 5-(-5); 6-(-3) (resta de un entero positivo con otro negativo a-b con a>=|b|).
j) 3-(-5); 5-(-8); 2-(-3); 1-(-6) (resta de un entero positivo con otro negativo a-b con a<|b|).
k) -4-(-3); -6-(-1); -6-(-2); -8-(-8) (resta de un entero negativo con otro negativo a-b con |a|>=|b|).
l) -3-(-6); -1-(-5); -4-(-7); -2-(-9) (resta de un entero negativo con otro negativo a-b con |a|<|b|).
El HILO CONDUCTOR son las sumas y restas de enteros distinguiendo si los números son positivos o negativos y si el primer número de la operación en valor absoluto es mayor o igual que el segundo en valor absoluto o no.
martes, 27 de octubre de 2009
Generar conocimiento
IDEA: Los números primos se definen como aquellos que sólo admiten dos divisores diferentes, el 1 y el propio número. Así 7 es primo porque DIV(7)={1,7}. ¿Pero qué pasa si catalogamos los números según la cantidad de divisores que tienen?
TRONCO: Tendríamos:
Con un sólo divisor:
El 1; DIV(1)={1}
Que llamaremos 1-primo.
Con sólo dos divisores:
2; DIV(2)={1,2}
3; DIV(3)={1,3}
5; DIV(5)={1,5}
...........
Todos los números primos, que desde ahora llamaremos 2-primos.
Con sólo tres divisores:
4; DIV(4)={1,2,4}
9; DIV(9)={1,3,9}
16; DIV(25)={1,5,25}
..............
Los llamaremos 3-primos.
RAMA: Los 3-primos son los cuadrados de los números primos.
Con sólo cuatro divisores:
6; DIV(6)={1,2,3,6}
8; DIV(8)={1,2,4,8}
10; DIV={1,2,5,10}
...............
Los llamaremos los 4-primos.
RAMA: Dentro de los 4-primos están los cubos de los números primos, como por ejemplo el 8 y el 27. También están los que son producto de dos primos diferentes, como por ejemplo el 6 y el 10.
Y así sucesivamente
RAMA: Se van formando una serie de secuencias de p-primos:
1-primos: 1
2-primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13,.....
3-primos: 4, 9, 25, 49, 121, 169,.....
4-primos: 6, 8, 10, 14, 15,.........
5-primos: 16, 81, ......
6-primos: 12, 18, 20,.....
¿Se pueden relacionar las series?
TRONCO: Tendríamos:
Con un sólo divisor:
El 1; DIV(1)={1}
Que llamaremos 1-primo.
Con sólo dos divisores:
2; DIV(2)={1,2}
3; DIV(3)={1,3}
5; DIV(5)={1,5}
...........
Todos los números primos, que desde ahora llamaremos 2-primos.
Con sólo tres divisores:
4; DIV(4)={1,2,4}
9; DIV(9)={1,3,9}
16; DIV(25)={1,5,25}
..............
Los llamaremos 3-primos.
RAMA: Los 3-primos son los cuadrados de los números primos.
Con sólo cuatro divisores:
6; DIV(6)={1,2,3,6}
8; DIV(8)={1,2,4,8}
10; DIV={1,2,5,10}
...............
Los llamaremos los 4-primos.
RAMA: Dentro de los 4-primos están los cubos de los números primos, como por ejemplo el 8 y el 27. También están los que son producto de dos primos diferentes, como por ejemplo el 6 y el 10.
Y así sucesivamente
RAMA: Se van formando una serie de secuencias de p-primos:
1-primos: 1
2-primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13,.....
3-primos: 4, 9, 25, 49, 121, 169,.....
4-primos: 6, 8, 10, 14, 15,.........
5-primos: 16, 81, ......
6-primos: 12, 18, 20,.....
¿Se pueden relacionar las series?
sábado, 24 de octubre de 2009
Un diccionario de doble sentido
Mis alumnos (1º ESO) han hecho un diccionario con palabras de uso matemático y de uso común. Ahí va:
Palabra --> en el uso matemático --> en el uso común
Palabra --> en el uso matemático --> en el uso común
- área --> de la figura --> el área está protegida
- base --> de la figura --> tú tienes que tener una base
- cateto --> del triángulo --> eres un cateto
- coma --> 0'4 --> ortográfica
- cono --> figura --> un helado de cono
- cuadrado --> figura --> ese tío está cuadrado
- cubo --> 43 --> guárdalo en ese cubo
- entero --> número --> la leche es entera
- división --> operación --> la carrera se dividió
- igual --> 4+5=9 --> esta persona es igual que yo
- lista --> secuencia --> eres muy lista
- más --> 3+5 --> esto es más que eso
- menos --> 10-5 --> tú eres menos grande que yo
- multiplicación --> operación --> esa gente se multiplica
- número --> número --> yo soy el número uno
- operación --> 10+20=30 --> esta operación ha sido un éxito
- paréntesis --> operar --> ortográfico
- pié --> 0'3048m --> parte del cuerpo
- potencia --> 72 --> cualidad de la persona
- primo --> número --> Alex es primo de Ángel
- producto --> 6·7 --> este producto sirve para comer
- resultado --> 4+4=8 --> el resultado del partido
- tabla --> multiplicar --> de madera
- triángulo --> figura --> el triángulo es un instrumento musical
jueves, 22 de octubre de 2009
Sumar significativamente
Una pareja de patos cría en el mes de marzo alrededor de 10 polluelos. Si los patos pueden criar durante 10 años, ¿cuántos descendientes llegaría a haber en 4 años de una pareja suponiendo que sobrevivieran todos en ese período y que los nuevos patos criasen al año de nacer? ¿Cuántos si el indice de mortalidad es del 50% anual?
Número de descendientes contabilizados en relación causa-efecto:El primer año: 10 patos
El segundo año: 10 patos de la primera pareja+ la primera pareja = 11 parejas a criar=>110 nuevos patos
El tercer año: 11 parejas del año pasado+ 110 nuevas parejas= 121 parejas a criar=>1210 nuevos patos
El cuarto año: 121 parejas del año pasado+1210 nuevas parejas= 1331 parejas a criar=>13310 nuevos patos.
El número de parejas a criar cada año es un número "redondo", ¡es un número capicúa!
Número total de patos viviendo en los cuatro años sin contar consortes= 1+10+110+1210+13310=14641 (otro número capicúa)
¡Es una buena cantidad de patos!, se puede decir que la Naturaleza en generosa, pero el caso es que no todos sobreviven.
Kant: La ley causal rige siempre y de manera absoluta simplemente porque la razón del hombre capta todo lo que sucede como una relación causa-efecto.
Número de descendientes contabilizados en relación causa-efecto:El primer año: 10 patosEl segundo año: 10 patos de la primera pareja+ la primera pareja = 11 parejas a criar=>110 nuevos patos
El tercer año: 11 parejas del año pasado+ 110 nuevas parejas= 121 parejas a criar=>1210 nuevos patos
El cuarto año: 121 parejas del año pasado+1210 nuevas parejas= 1331 parejas a criar=>13310 nuevos patos.
El número de parejas a criar cada año es un número "redondo", ¡es un número capicúa!
Número total de patos viviendo en los cuatro años sin contar consortes= 1+10+110+1210+13310=14641 (otro número capicúa)
¡Es una buena cantidad de patos!, se puede decir que la Naturaleza en generosa, pero el caso es que no todos sobreviven.
Kant: La ley causal rige siempre y de manera absoluta simplemente porque la razón del hombre capta todo lo que sucede como una relación causa-efecto.
sábado, 17 de octubre de 2009
Multiplicar con engranajes
Un sistema está formado por tres engranajes de 16, 8 y 12 dientes, respectivamente. La rueda de 16 dientes gira en sentido horario a razón de 3 vueltas por segundo. ¿En qué sentido y a qué velocidad gira la rueda de 12 dientes?
Cada rueda transmite a la que le sigue un sentido de giro y una velocidad:
Regla 1: El sentido de giro se invierte de una rueda a otra.
Regla 2: La velocidad que transmite una rueda a la siguiente es k veces su propia velocidad, siendo k la razón entre el número de dientes entre la rueda que transmite y la que recibe.
Por tanto, por la regla 1, como el sentido de giro de la rosa es horario, el de la rueda intermedia verde es antihorario y el de la última rueda naranja es horario.
Por la regla 2, la velocidad de la rueda intermedia es 16/8=2 veces la inicial, o sea, el doble que la inicial, 6 vueltas por segundo. La rueda naranja girará con una velocidad 8/12=2/3 veces la verde, por tanto gira a (2/3)·6=4 vueltas por segundo.
Cada rueda transmite a la que le sigue un sentido de giro y una velocidad:Regla 1: El sentido de giro se invierte de una rueda a otra.
Regla 2: La velocidad que transmite una rueda a la siguiente es k veces su propia velocidad, siendo k la razón entre el número de dientes entre la rueda que transmite y la que recibe.
Por tanto, por la regla 1, como el sentido de giro de la rosa es horario, el de la rueda intermedia verde es antihorario y el de la última rueda naranja es horario.
Por la regla 2, la velocidad de la rueda intermedia es 16/8=2 veces la inicial, o sea, el doble que la inicial, 6 vueltas por segundo. La rueda naranja girará con una velocidad 8/12=2/3 veces la verde, por tanto gira a (2/3)·6=4 vueltas por segundo.
domingo, 11 de octubre de 2009
Hallar la raiz
Vamos a empezar por poner una columna desde el 1 al 10. A su derecha ponemos columnas, cada columna es la raíz cuadrada de la anterior izquierda (usando la calculadora), consiguiendo con ello que los resultados cada vez se parezcan más. Con la raíz cuarta coinciden en las unidades y con la raíz treintaidosava en las unidades y las décimas.
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}-->(32)rango [1.00,1.076]
{{1,2,3,4},{5,6,7,8,9,10}}-->(16)rangos [1.00, 1.092] [1.105,1.156]
{{{1,2},{3,4}},{{5,6,7,8},{9,10}}}-->(8)rangos [1.00,1.092] [1.146,1.190] [1.222,1.298] [1.315,1.335]
Se puede hacer lo mismo si los parecidos sólo se hacen en las unidades, cogiendo las dos primeras columnas.
Al final tenemos un árbol que nos dice, por ejemplo, que la raíz octava de 5 y de 7 coinciden en las unidades y las décimas, o que la raíz dieciseisava de 6 y de 9 coinciden en las unidades y las décimas.
Las sucesivas raíces cuadradas de dos números naturales cualesquiera cada vez se van pareciendo más hasta que llegan a ser coincidentes en 1 (¡si pudiésemos hacer infinitas veces la raíz cuadrada!).
- Así el 1, 2, 3 y 4 tienen su raíz dieciseisava coincidiendo en las unidades y en las décimas; el 5, 6, 7, 8, 9, y 10, tienen su raíz dieciseisava coincidiendo en las unidades y las décimas.
- El 1 y el 2, tienen su raíz octava coincidiendo en las unidades y las décimas; también para el 3 y el 4 ocurre lo mismo; para el 5, 6, 7 y 8; y para el 9 y el 10.
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}-->(32)rango [1.00,1.076]
{{1,2,3,4},{5,6,7,8,9,10}}-->(16)rangos [1.00, 1.092] [1.105,1.156]
{{{1,2},{3,4}},{{5,6,7,8},{9,10}}}-->(8)rangos [1.00,1.092] [1.146,1.190] [1.222,1.298] [1.315,1.335]
Se puede hacer lo mismo si los parecidos sólo se hacen en las unidades, cogiendo las dos primeras columnas.
Al final tenemos un árbol que nos dice, por ejemplo, que la raíz octava de 5 y de 7 coinciden en las unidades y las décimas, o que la raíz dieciseisava de 6 y de 9 coinciden en las unidades y las décimas.
Las sucesivas raíces cuadradas de dos números naturales cualesquiera cada vez se van pareciendo más hasta que llegan a ser coincidentes en 1 (¡si pudiésemos hacer infinitas veces la raíz cuadrada!).
1∞
miércoles, 7 de octubre de 2009
Simplificar es dividir
Mosaico de una casa romana de Pompeya. ¿Qué deducimos de la imagen?
Análisis: Vamos a considerar los seis cuadrados diferentes que hay antes de la escena de caza del jabalí. Los dos primeros cuadrados contienen figuras que tienen en común 4 hojas; los siguientes tienen 6 partes diferenciadas, 6 hojas a la izquierda y 6 triángulos en el de la derecha; en los dos cuadrados siguientes hay 8 hojas en el de la derecha y una figura de un laurel con tres ramas a la izquierda.
Proposición:La secuencia es 4,4; 6,6; 8,8.
Demostración: El laurel con tres ramas tiene que ser un 8, en romano VIII; la V por lo de la victoria que representa la corona de laurel y los tres palitos por las tres ramas. c.q.d.
Según OCCAM la solución más simple suele ser la correcta.
Análisis: Vamos a considerar los seis cuadrados diferentes que hay antes de la escena de caza del jabalí. Los dos primeros cuadrados contienen figuras que tienen en común 4 hojas; los siguientes tienen 6 partes diferenciadas, 6 hojas a la izquierda y 6 triángulos en el de la derecha; en los dos cuadrados siguientes hay 8 hojas en el de la derecha y una figura de un laurel con tres ramas a la izquierda.
Proposición:La secuencia es 4,4; 6,6; 8,8.
Demostración: El laurel con tres ramas tiene que ser un 8, en romano VIII; la V por lo de la victoria que representa la corona de laurel y los tres palitos por las tres ramas. c.q.d.
Según OCCAM la solución más simple suele ser la correcta.
martes, 6 de octubre de 2009
El espacio es potencial
¿Cuantos cubos pequeños hay en el cubo grande?
Obviamente 2·2·2=23.
Ahora, ¿con cuántos segmentos de igual longitud se construye esta figura?
Si se consideran los segmentos grandes, hay 9 verticales, 9 horizontales y 9 hacia atrás: 9+9+9=3·32=33.
Cada segmento grande está formado por dos pequeños, luego en total hay 2.33
Si separamos los 23 cubos pequeños, ¿cuántas aristas diferentes hay?
Como cada cubo pequeño tiene 3·22 aristas y son 23 cubos, pues habrá 3·22·23=3·25 aristas.
Luego, al juntar todos los cubos pequeños para formar el grande se comparten 3·25-2.33 aristas
Obviamente 2·2·2=23.
Ahora, ¿con cuántos segmentos de igual longitud se construye esta figura?
Si se consideran los segmentos grandes, hay 9 verticales, 9 horizontales y 9 hacia atrás: 9+9+9=3·32=33.
Cada segmento grande está formado por dos pequeños, luego en total hay 2.33
Si separamos los 23 cubos pequeños, ¿cuántas aristas diferentes hay?
Como cada cubo pequeño tiene 3·22 aristas y son 23 cubos, pues habrá 3·22·23=3·25 aristas.
Luego, al juntar todos los cubos pequeños para formar el grande se comparten 3·25-2.33 aristas
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